Formulario di Analisi Matematica II

Per il teorema di Schwartz:

3 3 2 2 1 1

= ; = ; =

̅ ̅ ̅)

( ) = + (

1 2 3

̅ = + +

( ) ( ) ( )

1 2 3

(̅ ) = + + =

1 2 3

= + + + + +

1 2 3

= ( , , )

̅ ( )

= ( , , ) , , = + +

1 2 3 1 2 3

1 2 3 1 2 3

(̅ )

= ( , , )= + +

̅ ̅

( )

=

̅

̅ ̅

̅

̅ || ||

= = ̅ − ̅ + =

| | | | | |

1 3

2 3 1 2

1 2 3

3 2 1 3 2 1

=( − , − , − )

3 2 1 3 2 1

̅

= − , − , − )=

(

3 2 1 3 2 1

= − , − , −

( )

3 2 1 3 2 1

̅ )

( = − )+ − + − )=

( ( ) (

3 2 1 3 2 1

= − + − + −

3 2 1 3 2 1

̅

= , , − , − , − )=

( )(

3 2 1 3 2 1

= − )+ − )+ − )=

( ( (

3 2 1 3 2 1

= − + − + −

() =

= ( , , )

̅

̅ ̅

2 2 2 2 2 2

| |

̅

() = = ̅ ( − ) − ̅ ( − ) + ( − )

| |

Per il teorema di Schwartz:

2 2 2 2 2 2

= ; = ; −

INTEGRALI CURVILINEI/CAMPI VETTORIALI

ESERCIZIO 1 γ(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) γ : [t ,t ]→R 3

(, , )

∫ A B

′

|| ()||

∫ ((), (), ())

ESERCIZIO 2

F = ( F , F , F ) γ(t) = ( x(t), y(t), z(t) ) γ : [t ,t ]→R 3

1 2 3 A B

̅ ̅ (())

(, ) = ∫ ′()

ESERCIZIO 3

F = ( F , F ) VERTICI DEL TRIANGOLO A, B e C

1 2 () = + ( − )

1 2 1

Parametrizzazione della curva: {

() = + ( − )

1 2 1

Γ : γ (t) = ( x(t), y(t), z(t) ) t ∈ [0,1]

1 1

̅ ̅

) ())

(, = ∫ ′()

(

1 1 1

Verifica del teorema di Gauss-Green nel piano, provando che

2 1

̅ +

(, ∂ ) = ∬ −

( )

INTEGRALI DOPPI

INTERVALLO Y SEMPLICE

D = { (x,y) ∈ R | a ≤ x ≤ b , g (x) ≤ y ≤ g (x) }

2 1 2

INTERVALLO X SEMPLICE

D = { (x,y) ∈ R | c ≤ y ≤ d , h (y) ≤ x ≤ h (y) }

2 1 2

FORMULE DI RIDUZIONE ℎ ()

1. D è x semplice ⇒ 2

(, ) = (∫ (, ) )

∬ ∫

ℎ ()

1

()

2. D è y semplice ⇒ 2

(, ) = (∫ (, ) )

∬ ∫

()

1

PASSAGGIO ALLE COORDINATE POLARI

= cos dx dy ρ dρ dθ

→

{ = sin

D = { (ρ, θ) ∈ R | a ≤ θ ≤ b , φ (θ) ≤ ρ ≤ φ (θ) }

2 1 2

∬ (, ) = ∬ ( cos , sin )

(,)