Analisi matematica I - teoria e esercizi

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Appunti di Analisi matematica I per l’esame del professor Boieri. Gli argomenti trattati sono i seguenti: i numeri reali, l'estremo superiore e inferiore, le relazioni e le funzioni, la …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria dell'informazione iii

Dal corso del Prof. Boieri Paolo

Università Politecnico di Torino

A.A. 2013-2014

123 pagine

Appunto

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Estratto del documento

Lezione 1 - Logica e insiemi

Una proposizione è un enunciato a cui possiamo attribuire un valore di verità: vero o falso. m_proposizione = p

Connettivi logici

Con due o più proposizioni se ne possono costruire altre mediante i connettivi logici: congiunzione (Λ) vera se P e Q sono vere, falsa se P o Q è falsa, e disgiunzione (V) vera quando almeno una tra P e Q è vera (falsa se entrambe sono false).

P ⇒ Q (vero solo perché P è vera e Q falsa) R ⇒ Q

H_p ⇒ T_h (vero se significa utili cond.). I_mprensione logica P ⇒ Q

P Q P ⇒ Q ¬Q ¬P ¬Q ⇒ ¬P
V V V F F
V F F F F
F V V V V
F F V V V

Dimostrazioni

Omettendo si dimostra la tesi portando a delle tesi secondarie ritenute precedentemente dimostrate:

Contronominale ⇒ per dimostrarlo basta dimostrare che ¬Q ⇒ ¬P.
Per assurdo ⇒ per dimostrarlo basta dimostrare che (PΛ¬Q) ⇒ ¬P e che (PΛ¬Q) ⇒ RΛ¬R.

Predicati

Un predicato è un enunciato che contiene una variabile libera. Ad un predicato possiamo attribuire infiniti valori.

Universale (∀): globalità.
Esistenziale (∃): esistenza.

Esempio: variabili da identificare e la formulazione delle proprietà.

Un predicato con chiare variabili libere è detto onda predicamentale. Insiemi costituiti da oggetti denominati gli elementi della nostra proprietà (le elencazioni del contesto con un tutto unico); tali oggetti si → Insieme costituito di tutti gli elementi di. Se X è un elemento di E, si scrive X∈E mentre se manca X∉E.

Insiemi numerici

In matematica:

N (naturale).
Z (interi).
Q (razionali) ^p_q ∈ Z, q ≠ 0 e Z primitiva [no > non hanno elementi in comune].
R (reali = costituiti di numeri razionali e irrazionali).

Lezione 1 - Logica e insiemi

Una proposizione è un enunciato a cui possiamo attribuire un valore di verità: vero o falso.

Negare: ¬P

Connettivi logici

Con due o più proposizioni se ne possono costruire altre mediante i connettivi logici: congiunzione (Λ) (vera se P e Q sono vere, falsa se P o Q è falsa) e disgiunzione (V) (vera quando almeno una tra P e Q è vera/falsa se entrambe sono false).

If P ⇒ Q _Hp (Ipotesi) _Th (Tesi) se e solo se implicazione logica P ⇒ Q

P Q P ⇒ Q ¬Q ¬P ¬Q ⇒ ¬P
V V V F F
V F F F F
F V V V V
F F V V V

Dimostrazioni

Diretta ⇒ dimostra la tesi partendo dalle ipotesi e utilizzando assiomi e teoremi precedentemente dimostrati.
Contronominale ⇒ per dimostrare P ⇒ Q, dimostra che ¬Q ⇒ ¬P.
Per assurdo ⇒ per dimostrare che P ⇒ Q, dimostra che (PΛ¬Q) ⇒ ∅.

Predicati

Un predicato è un enunciato che contiene variabili libere. Ad un predicato possiamo associare i quantificatori:

Universale ∀ (per ogni).
Esistenziale ∃ (esiste).

La variabile di un predicato è l'insieme dei suoi significatori e la totalità dei suoi proprietà. Un predicato con chiare variabili libere è detto enunciato particolarmente in funzione di oggetti, elementi e istanze della nostra paraonda del discorso e assumerà con ciò con il tutto cerchio; tali oggetti sono detti elementi dell'insieme (G. Cantor).

Se X è un elemento di E, si scrive X∈E mentre se non lo è, si scrive X∉E.

Insiemi numerici in matematica

N (naturale).
Z (interi).
Q (razionali) ≡ a/b ∈ Q b ≠ 0 a e b primi fra loro e non devono esistere altri divisori in comune.
R (reali) ≡ costituito di numeri razionali e irrazionali).

Sottoinsiemi e potenza

Dato un insieme I, E è un sottoinsieme se ogni elemento di E appartiene anche a I. Se un elemento di I non appartiene a E, allora E è un sottoinsieme proprio di I; se allora gli insiemi sono uguali. L'insieme dei sottoinsiemi si chiama potenza ed è formato dalle parties.

Se un insieme ha n elementi, allora il suo insieme potenza ne ha 2ⁿ

Operazioni tra insiemi

Dato _{A, B insiemi di base}:

Unione _{A ∪ B}
Intersezione _{A ∩ B}
Simmetrica AΔB = (A \ B) ∪ (B \ A) = (A ∪ B) \ (A ∩ B)
Complementare A^c = (A)

C(A ∪ B) = (CA) ∩ (CB)
C(A ∩ B) = (CA) ∪ (CB)

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Lezione 2 - I numeri reali

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