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Videolezioni Analisi
Lezione 1. Logica e insiemi
Una proposizione è un enunciato a cui possiamo attribuire un valore di verità: vero o falso
*** (P, Q, R, ...) ***
Da due o più proposizioni se ne possono costruire altre mediante i connettivi logici: congiunzione (^, vero se P^Q è vera, falsa se P o Q false) e disgiunzione (v, vero quando almeno uno tra P e Q è vero/falso se entrambi falsi).
P => Q (falso quando P è vero e Q è falso) *** (v.vogli altri casi) ***
implicazione logica
P => Q
~~~ PQP => QQ => P!PP v QP => !Q!P => !Q VVVFFVFF VFFVFVVV FVVFVVFV FFVVVFVV ~~~
**Dimostrazioni** = dimostrata la tesi partendo dalle tesi e utilizzando assioni e t...
**teoremi precedentemente dimostrati**
=> contronominale => per dimostrare P=>Q si dimostra che !Q => !P
- per assurdo -> per dimostrare che P=>Q si dimostra che (P^ !Q) => R e che (P^ !Q) =>!R allora (P^!Q) => R^!R
**Un predicato è un enunciato che contiene una variabile libera. Ad un predicato posso attribuire le *** qualificatori
- universale (a)
- esistenziale (€)
Ex: "ogni elemento di un insiem o A e tramite la scelta e qualificazione e La stabilita della properietà"
in predicato con due variabili libere è detto anche relazione
insiame ordinato di collettivi di oggetti, determinati da relazioni della nostra percezione, addo detto continuo, corpi comuni, come in tutto cenesio; tale oggetto si *** elementi detto campo (Gacano))
x E un elemento di E *** year x e E juntos a bend E =(E con tisho) e^.
INSIEMI NUMERICI IN MATEMATICA
- N (naturale)
- Z (interi)
- Q (razionali (z + 0 specifico Q no non stessi in comune)
- R (reali costrutt di numeri razionali non razionali)
2)
Dato un insieme I e una relazione ECI su ogni elemento di E appartiene a anche a I
ECI è un elemento di I appartiene ad E (E in sottoinsieme proprio di I)
ECI = ECI allora gli insiemi sono uguali I=E
L'insieme dei sottoinsiemi si chiama potenza o insieme delle parti
Ex {a,b,c}
insieme potenza = {, {a},{b},{c},{a,b},{a,c},{b,c},{a,b,c}}
se E ha n elementi, allora il suo insieme potenza ha 2n
Dati A e B insiemi di basi
- unione A∪B
- intersezione A∩B
- differenza A\B
- differenza simmetrica (A△B)
(A△B) = (A\B)∪(B\A) = (A∪B) ∖ (A∩B)
Complementare A
Ac=C\A ={x∈m | x∉A}
C(A∪B) = (CA)∩(CB) C(A∩B) = (CA)∪(CB) [leggi di De Morgan]
6
Un insieme che non ammette maggioranti non è limitato superiormente. Es. Z non è limitato superiormente Un insieme che non ammette minoranti non è limitato inferiormente Es. (-1)^n + n non è limitato inferiormente A è limitato superiormente = ammette maggiorante A è limitato inferiormente = ammette minorante A è limitato = limitato superiormente, limitato inferiormente Esempio: 1/2 = 0. Bt A ñ R boolean (0;3] A limita superiormende e inferiormente Proprietà dell’estremo superiore/inferiore:
- l’insieme dei maggioranti (—oo, a] insieme dei minoranti
- un insieme ammette massimo — non ammette massimo
- (—oo, a] ammette supremo — limitato superiormente
- inf A=0
- sup A=3
Il massimo/minimo è soltanto coincidere coma l’estremo superiore/inferiore
Sia z = sup A A limitato superiormente
- z è un maggiorante boolean x boolean z
- boolean epsilon ~ E X znE (a riducente z=supa A
Analagomente si dimostra non un x boolean dei maggioranti If massimo boolean {0,3} z = sup. Supongo che XLeña c a massimo da A:
- V boolean x boolean x boolean E
- boolean E x boolean X boolean X boolean
Completezza di Radical - ogni insieme limitato superiormente ammette estremo superiore finito.
Lezione 6 - La funzione composta
ESTREMO SUPERIORE DI UNA FUNZIONE
c è una limitazione superiore o maggiorante per f {in} A se ∀ x ∈ A, f(x) ≤ c
ESTREMO INFERIORE DI UNA FUNZIONE
d è una limitazione inferiore o minorante per f {in} A se ∀ x ∈ A, f(x) ≥ c
FUNZIONE LIMITATA
es e unico x - π/2, π/2 e limitato sia superiormente che inferiormente.
sup per x ∈ R max assoluto max nell intervallo
FUNZIONI MONOTONE
f: dom f ⊆ R {->} R per tutte le funzioni crescenti, ∀ x1, x2 ∈ I, x1 ≥ x2, f(x1) ≤ f(x2)
funzioni decrescenti, ∀ x1, x2 ∈ I, x1 ≥ x2, f(x1) ≥ f(x2)
strettamente crescenti, ∀ x1, x2 ∈ I, x1, x2, f(x1) < f(x2)
strettamente decrescenti, ∀ x1, x2 ∈ I, x1, x2, f(x1) > f(x2)
FUNZIONI COMPOSTE
funzioni, dom f {->} X, Y g dom g {->} Y {->} Z, dove le funzioni g o f, f e g le funzioni g o f definite tomando dom
Limite infinito per x→x₀
∀ M > 0, ∃δ > 0 / ∀ ε ∈ dom(f), 0 < |x - x₀| < δ ⇒ |f| > A
limx→x₀ f(x) = +∞
∀Δ > 0, ∃ δ > 0 / ∀ε ∈ dom(f), 0 < |x - x₀| < δ ⇒ |f(x)| > A
Limite destro e sinistro
limx→x₀ f(x) = +∞
limx→x₀ f(x) = ∞
limx→x₀⁻ f(x) = ∞
limx→x₀ f(x) = ∞
Lezione 11 - Teoremi sui limiti parte I e II
Definizione generale limite Il punto viene ** calcoliamo il limite > δ ** sec la per ** x0 valore del limite: ** indicato con ** [t → ∞], (valore limite) I (**) e l'intorno del punto limite
lim f(x) = λ x → x0 I(λ) != I(x) ∀x ∈ dom f x ∈ I(x) (x = I(δ)) => [β (x) ∈ I(λ)
Teorema dell'unicità del limite
Supponiamo che f ammetta limite ≤ per x tendente a a X (ellisse f non ha altri limiti se X tendente ad n. altri denomina il limite in unica [a e l, b unitario ogn non ammette limiti, perché i sui limiti ovviamente ** sono diversi
lim (β)X = l1 e lim f(x) = l2 l1!= l2 ε>0 ∋ δ > 0 : β ∈ dom β∋ β (|x|-x0|δ)=> [β(ƒ) 1 - l] 1 ε
∀ ε>0, ∋ δ >0 ∈ ρο ∀χ ∈ dom [β(|x|-xo)2 ] β(x) < l, [a_ε (li-l2,e.d"]
Teorema di permanenza del segno
Supponiamo che f ammetta a limite ≤ [x -> X] -> ** Si β>0 , βx0 x-1 lim β(x) = β0
∀ ε>0 I-1x0 &β (ε1)=1 => β(|x|-ε) {
- E-Ρ δ > 0∀ Υx ∈ dom
- [] x|x
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