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Analisi Capitolo Primo
Insiemi
Un raggruppamento di elementi A, B, C, ... Z
- Insieme si indica con la lettera grande!
Significato dei simboli
- ∀ - per ogni
- ∃ - esiste
- ∃! - esiste uno e uno soltanto
- → - implicazione
- ↔ - se e solo se (doppia implicazione)
- ⊕ - o (disgiunzione)
- ∈ - appartiene
- ∉ - non appartiene
- ⊂ - inclusione stretta
- ⊆ - potrebbe coincidere (inclusione coincidente)
Note: Rappresentare un insieme
- A = {1, 2, 3} - Insieme numerabile
- Elementi
- Insieme vuoto - A φ
- φ = {}
Operazioni tra insiemi
- • A ∪ B = {x | x ∈ A oppure x ∈ B} - Unione tra A e B
- • A ∩ B = {x | x ∈ A e x ∈ B} - Intersezione tra A e B
- • A \ B = {x | x ∈ A e x ∉ B} - La differenza tra A e B
- • A × B = {(x, y) | x ∈ A, y ∈ B} - Prodotto cartesiano
Esempio
A = { x, 2, 3 }
B = { 2, 4, 6 }
A ∪ B = { x, 2, 3, 4, 6 }
→ Prende elementi comuni e non comuni
A ∩ B = { 2 }
→ Solo elementi comuni
A \ B = { x, 3 }
→ Appartengono ad A, ma non sono in B
A × B = { (x, 2) (x, 4) (x, 6) (2, 2) (2, 4) (2, 6) (3, 2) (3, 4) (3, 6) }
A × B ≠ B × A e A \ B ≠ B \ A
Infatti,
B \ A = { 4, 6 }
→ Appartengono a B ma non sono in A
B × A = { (2, x) (2, 2) (2, 3) (4, x) (4, 2) (4, 3) (6, x) (6, 2) (6, 3) }
Nota
Insieme vuoto → ∅ ≠ {∅} → Qui c'è un elemento!
Formula del binomio di Newton
(a+b)m = Σ(k=0 a m) C(m, k) ak bm-k
(a + b)3 = (3 2 1)(a + b) = 3.0 ab2 = 1a3 = b3 + 3ab2
1 2 1 (a + b)2 = a2b + 12ab + 1a3 = b3 + 3ab + 1a2
(a + b)5 = 5.55 10a4 = a5b5 + 5a4b + 10a3 + 10a2b3 + 5a5b + x 0.55
Piramide di Tartaglia
- 1 → (a+b)0
- 11 1 → (a+b)
- 1 2 1 → (a+b)2
- 1 3 3 1 → (a+b)3
- 1 4 6 4 1 → (a+b)4
- 1 5 10 10 5 1 → (a+b)5
- 1 6 15 20 15 6 1 → (a+b)6
- Principio di Induzione (tutto legato ai numeri naturali)
L'induzione si basa sul concetto di verificare che tutte le affermazioni siano vere per un numero infinito di affermazioni
Base: A(m0) = si sostituisce a m un numero "m0" solitamente piccolo come "1" oppure "0" e si verifica se la prima affermazione è vera.
A(3) = 1+2+3 =
=
- è verificato per m0=3
Stia è verificato per i numeri che vanno da "0 a 100"?
Per dimostrare abbiamo bisogno di un secondo passo cioè il passo induttivo.
3 CASI SI RIPETUTANO PER LE SUCCESSIONI:
- SUCCESSIONI CONVERGENTI:
Def: SI DICE CONVERGENTE AL LIMITE l SE PER OGNI ε>0
ESISTE m0∈N TALE CHE
|l - am|<ε PER OGNI m≥m0
NUMERO PICCOLO PICCOLO
lim am=l
m→∞
SE SI TROVA NELL'INTERVALLO (l - ε, l + ε) NON COMPAES, IL LIMITE CONVERGE
- VERIFICA:
lim 1 = 0 QUINDI 1 - 1
n→∞ n ε m>
∃ m0∈N TALE CHE m0≥1
QUINDI lim 1=0 IN ALTRE PAROLE (1)
m→∞ m (m)m≥1 è INFINITESIMA
• IN POCHE PAROLE FISSANDO m0 GLI ALTRA VALORA CON m≥m0 DEVONO DIMOSTRARE CHE IL LIMITE è CONVERGENTE, CIEÈ CHE 1 È CONTINUARE RINDERA DA ε
3
An = (-1)n / 2n + 1
m=0 -> 1/2
m=1 -> 1/3
m=2 -> 1/6
m=3 -> 1/12
m PARI -> (2k) k∈N
A1 = (-1)2k / (2+(2k)2) k∈N -> 1 / 2+(2k)2 , k∈N
Dimostrazione:
I interi pari diminuiscono all’aumentare di m
1 / 2+(2k)2 -> 1 / 2+(4k2) -> 1 / 2+(4k2+8(k+1))
m DISPARI -> (2k+1) k∈N
A2 = (-1)2k+1 / 2+(2k+2)2 , k∈N -> 1 / 2+(2k+2)2 , k∈N
Dimostrazione:
I interi dispari aumentano all’aumentare di m
OR
1 / 2+(2k+2) < 1 / 2+(2k+4)2
Se non fosse per il segno negativo sarebbe il contrario.
Soluzione
max A = sup A1 max A1 = 1 / 2
min A1 = min A1 inf A2 = 1 / 3
(3)
∑k=1n k = m(n+1)
BASE:
A(n) ∑k=1n k = n(n+1)/2 = m(n+1)/2 VERA
PASO INDUCCIONO:
A(n+1) ∑h=1n+1 h = ∑k=1n k + (n+1)
(m+1)(m+2)/2
∑h=1n+1 h = m(m+1)/2
= (m+1)(m+2)/2
VERA
(4) n >= 2m-1
BASE INDUTIVA:
A(2) 1. 2 = 2 > 21 VERA
P. PASO INDUTIVO:
A(m+1) (m+1).b > 2m
(m+1).1 = (m+1)(m+1) 1/2
m(m+1) != 2.suprem m+ 1
>&sub>2m
>= (2.suprem) -> VERA
PROPRIETA: (m+1) = (m+1).m
LIMITI E ORDINAMENTO
Teorema del Confronto: Se an ≤ bn, allora l1 = l per an → l1 e bn → l2
Teorema dei Carabinieri
Inoltre se cn = cmbn per m e N e l1 = l allora cn = l
Essendo un inverso
lim cn = 0
m → +∞
Altro esempio
lim (√a)0 = 1
m → +∞
Annzo am: ∀an-1 è comunque maggiore o uguale a zero
√a = 1 + am ∀m ∈ N
Disuguaglianza o formula: (f(x))m ≤ tm x → m
(1 + am)m ≤ t + m
a ≤ t + m om
o2/m3 ≤ am
Metodo di sostituzione
Per esempio, in una funzione: 2m³-5m²-3m-1
Il suo asintotico è quello con il grado maggiore quindi:
2m³ 5m² -3m -11 → bcm
N in un'altra funzione: m+5
Il suo asintotico è sempre il termine a grado maggiore
m≠5 N≠m
Ora se eseguono un rapporto:
am 2m³-5m²-3m-11 m 2m³ bcm
m+5³ b3 b3
Sì si elevà alla terra per riqualificare
Quindi: am/bm = am/bm = 2
Proposizione
limm→∞ 1Am
(1cm Am=m) → Am-1
Am = m-m-1
Am =1/m =1/m!
limm→∞ N≠m = 1 = limm→∞ N=m
Serie di Mengoli
1/2 + 1/3 + 1/4 + 1/5 + ... + 1/m = Σ (1/k(k+1)), k=1 to ∞
Per induzione si dimostra che
Sm = Σ (1/k(k+1)) k=1 to m = 1 - 1/m+1
Base induttiva
A(1) = Σ (1/k(k+1)) k=1 to 1 = 1 - 1/1+1 = 1/2 = 1/2
Passo induttivo
Σ (1/k(k+1)) k=1 to m+1 = (1 - 1/m+1) + 1/m+1 = m+1/m+2
Proprietà delle sommatorie
Σ (1/k(k+1)) k=1 to m+1 + 1/(m+1)(m+2) = 1 - 1/m+1 + 1/(m+1)(m+2)
= (m+1)(m+2)-(m+2)+1 / (m+1)(m+2)
= m2+m+1 / (m+1)(m+2)
= (m+1)2 / (m+1)(m+2) = m+1/m+2 → Verificata!
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