Lezioni, Analisi matematica I

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Appunti di Analisi matematica I per l’esame del professor Engel. Gli argomenti trattati sono i seguenti: come rappresentare un insieme, il fattoriale e i coefficienti binomiali, la …

Esame Analisi matematica I

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Engel Klaus

Università Università degli studi di L'Aquila

A.A. 2014-2015

86 pagine

Appunto

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Estratto del documento

1

Un insieme = un raggruppamento di elementi A, B, ...., Z

Insieme si indica con la lettera grande!

Significato dei simboli:

∀ = per ogni
∃ = esiste
∃! = esiste uno e uno
⇔ = se e solo se (doppia implicazione)
∥ = o/v (traduzione)
∈ = appartiene
∉ = non appartiene
⊂ = inclusione stretta
⊃ = potrebbe coincidere (inclusione coincidente)

Note per rappresentare un insieme

Note intese

A: = {1, 2, 3} - insieme enumerabile

Elementi ripetuti

Insieme vuoto - A=ø

ø: = {}

Operazioni tra insiemi

A ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B} - l'unione tra A e B
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B} - l'intersezione tra A e B
A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B} - la differenza tra A e B
A x B = {(x, y) : x ∈ A, y ∈ B} - prodotto cartesiano

1

Un insieme = Un raggruppamento di elementi, Al e ….

Insieme si indica con la lettera grande!

Significato dei simboli

∀ = per ogni
∃ = esiste
∃! = esiste uno!
⇐ = implicazione
⇔ = se e solo se (doppia implicazione)
↔ = oppure
↔ = o traduzione
∈ = appartiene
∉ = non appartiene
⊂ = inclusione stretta
⊆ = potrebbe coincidere (inclusione coincidente)

Come rappresentare un insieme?

A = {1, 2, 3} = insieme numerabile
Elementi

Insieme vuoto → A = ϕ ϕ := {}

Operazioni tra insiemi

A ∪ B = {x : x ∈ A oppure x ∈ B} → unione tra A e B
A ∩ B = {x : x ∈ A e x ∈ B} → intersezione tra A e B
A \ B = {x : x ∈ A e x ∉ B} → differenza tra A e B
A × B = {(x,y) : x ∈ A, y ∈ B} → prodotto cartesiano

Esempio:

A := {x, 2, 3}

B := {2, 4, 6}

A ∪ B := {x, 2, 3, 4, 6} → prende elementi comuni e non comuni

A ∩ B := {2} → solo elementi comuni

A \ B := {x, 3} → appartengono ad A, ma non sono in B

A x B := {(x, 2), (x, 4), (x, 6), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 2), (3, 4), (3, 6)}

A x B ≠ B x A e A \ B ≠ B \ A infatti

B \ A := {4, 6} → appartengono a B, ma non sono in A

B x A := {(2, x), (2, 2), (2, 3), (4, x), (4, 2), (4, 3), (6, x), (6, 2), (6, 3)}

Nota

Insieme vuoto → ∅ ≠ {∅} → qui c'è un elemento!

Fattoriale e Coefficienti Binomiali

Definiamo il modulo di x ∈ ℝ:

|x| = { x se x ≥ 0-x se x < 0

Osservazioni con x, y ∈ ℝ

|x| ≥ 0
|x| = 0 ⇔ x = 0
|x| ≤ l ⇔ -l ≤ x ≤ l
|-x| = x
|x| · |y| = |x · y|
|x + y| ≥ |x| + |y|
| |x| - |y| | ≤ |x - y|

A cosa serve?

Per il calcolo di distanze tra 2 punti

x, y ∈ ℝ|x-y| = distanza tra x e y sulla retta reale

Il Fattoriale

Definiamo il fattoriale di m ∈ ℕ

m! := { 1 se m = 0

1⋅2⋅3⋅...⋅m se m > 0

Per esempio: 4! = 4⋅3⋅2⋅1 = 24

Osservazioni

m! è il numero di permutazioni di m oggetti distinti.

a, b, c: esistono 3 oggetti quindi 3! = 6 permutazioni:

a b c
a c b
b a c
b c a
c a b
c b a

Il Coefficiente Binomiale

Definiamo m, k ∈ ℕ con 0 ≤ k ≤ m

(m k) = m! / k! (m-k)! = m⋅(m-1)⋅...⋅(m-k+1) / k!

si legge m su k e non è m! / k!

Esempio:

(4 2) = 4⋅3 / 2⋅1 = 4⋅3 / 2⋅1 = 6

Probabilità che su 4 numeri esca il numero 2 è di 1/6

q4,2 = 0,16 = 0,16⋅100 = (1x4)

Nota: il coefficiente binomiale è sempre intero!

1) _nC_k = (n) = 1

3) _nC_n = (m) = 1

^x_n

K0123401111212131331414641

Formula del Binomio di Newton

La piramide...

Per esempio

K = 1+2+3+...+m

Proprieta

∑_k=m^m a_k = ∑_k=m+1^m+1 (sottr.)+val = ∑_k=m^m a_k

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