Analisi Matematica I - Teoremi e corollari

Teoremi e Corollari

Teorema di Esistenza della Radice n-esima

Sia a ∈ ℝ⁺ ∪ {0} e n ∈ ℕ.

È un unico x ∈ ℝ⁺ ∪ {0} xⁿ = a. Tale numero viene detto radice n-esima aritmetica di a e viene denotato con n√a.

Teorema di Esistenza del Logaritmo

Siano a, b ∈ ℝ⁺ tali che a ≠ 1, l'unica soluzione dell'equazione esponenziale a^x = b viene detta logaritmo in base a di b e viene denotata con log_a b.

Teorema dell'Unicità del Limite

Sia (x_n)_n regolata se

Dim: Prendo lim x_n = l e lim x_n = u.

Supponiamo per assurdo l ≠ u. Cerco

Scelgo ε en opportuno ε > 0: l < z < u ₂ l - u ₂ < u - z < u - x_n < u

tale che ∀ ε > 0

1. ∀ n ≥ N₁ si è ∈ B(l, ε) ∀ n ≥ N₂
2. ∋ = lim x_n
3. ∀ R ∃ N: x_u ∈ B(l, r) ∀ x_u con Z limitato.

Si ha che x_n ∈ B(l, x_u) ∩ B(u, x_t)

Assurdo perché per costruzione B(l, r) ∩ B(u, r) = ∅

Teorema della Permanenza del Segno Generalizzata

Sia

lim x_u = M e si ∀ H ≤ L ⇔ x_n > L

M, L ∈ ℝ

Dim: Per ipotesi:

∀ Z ∃N ∀ x ∈ ℝ si riduce H - Z < x_u < H₂

Invero M > L basta ad ognire L < H₂ per dimostrare la tesi.

Teorema della permanenza del segno

Se lim_n x_n = l > 0   c.f.   x_n > 0

Se lim_n x_n = l < 0   c.f.   x_n < 0

_NB. x_n > 0, x_n < 0

Supponiamo che l < 0 per x_n > 0

per il teorema della permanenza

è del segno gen. l < 0. FALSO perché per l'ipotesi x_n > 0

Teorema di confronto

Siano {a_n}, {b_n}, {c_n} tre successioni di numeri reali.

1. ∃ k ∈ IN: a_n ≤ b_n ≤ c_n e lim_n c_n = L → lim_n b_n = L
2. ∃ k ∈ IN: a_n ≤ b_n e lim_n a_n = +∞ → lim_n b_n = +∞
3. ∃ k ∈ IN: a_n ≥ b_n e lim_n b_n = -∞ → lim_n a_n = -∞
4. ∃ k ∈ IN: a_n b_n   f_n ≥ 0   a_n b_n due successioni regolari

⇒ lim a_n = lim b_n

Dim 1

Esplicitando le definizioni di limite per a_n e c_n:

∀ ε > 0   ∃ n ∈ IN : |c-2 < a_n < ε+2|   ∀ n > k₁

∀ ε > 0   ∃ n ∈ IN : l-ε < c_n < l+ε ∀ n > k₂

la heni porta provato solo dopo aver acquisito

ε > 0   ∃ θ ∈ IN :

l-ε < b_n < l+ε ∀ n > k₃

Posevamo ε = δ   ⇒ b_n ∈ ε in i, trovamo necessariamente

fra l-ε-δ e l+ε+δ

b_n si trova nello stesso intorno e ciò è garantito anche

dall'ipotesi: a_n ≤ b_n   ∀ n > k₁ ⊕

A partire dove ∈ max \{v₁, v₂ v₁ v₂\}

Se definiamo v₃ possiamo valutare le irraggiungimento   ∴

la definizione di limite tale che:

ε-δ < a_n ≤ b_n ≤ c_n < l+δ

cio' significa che firmato posso determinare K ∈ IN

l-ε < b_n < l+ε ∀ n > h₃

Dim 2, 3, 4

∀ k > 0   ∃ n ∈ IN : K < a_n f_n ≥ ∀

∀ K > 0   ∃ n ∈ IN : H < a_n ≠ b_n ≠ ∀

Così troviamo (x_n) ϵ {X|x₀} x_n → x₀

|f(x_n) - K| < ε ∀n

f(x_n) → K

Teorema di derivazione della funzione inversa

Sia f: (a, b) → R, invertibile, continua e derivabile in x₀ ϵ (a, b)

Supponiamo che f'(x₀) ≠ 0

=> f^-1: f → (a, b) è derivabile in y₀ = β(x₀) e

D[f^-1](y₀) = 1/f'(x₀)

Dim.

Per il teorema di continuità della funzione inversa

f^-1 è continua in f^-1.

Per ipotesi esiste finito lim_{x → x0} β(x) - β(x₀) / x-x₀ = f'(x₀)

Poiché f è invertibile abbiamo che f(x) ≠ f(x₀) se x ≠ x₀

x-x₀ / f(x) - β(x₀) ∀x ϵ (a, b)|xx₀

lim_{x → x0} x - x₀ / f(x) - β(x₀) = 1 / f'(x₀)

Possiamo considerare la funzione reciproca del rapporto incrementale:

∃ ε > 0 ∃ δ > 0: ① x ϵ (a, b) ② x ≠ x₀ e ③ |x - x₀| < δ

|x - x₀ / β(x) - β(x₀) - 1 / f'(x₀)| < ε

f^-1 è continua in f^-1.

In particolare è continua in y₀ = β(x₀)

II PARTE

Proviamo che sup f ∈ _Gf

Supponiamo per assurdo che sup f ∉ _Gf

f(x) ≤ sup f ∀ x ∈ X

sup f > f(x) ≥ 0 ∀ x ∈ X

Definiamo g : X ➔ ℝ g(x) := 1 / sup f - f(x) ∀ x ∈ X

g è ben definita perché il denominatore è diverso da zero (in particolare positivo) ∀ x ∈ X

g è rapporto di due funzioni continue in X delle quali quella al denominatore è diversa da zero in tutto X ⇒ g è continua in tutto X

Ripetendo la dimostrazione per la prima parte segue che g è limitata in particolare superiormente

Sia H un maggiorante per g.

1. 1 / sup f - f(x) ≤ H ∀ x ∈ X
2. sup f - f(x) ≥ 1 / H
3. sup f - 1 / H ≥ f(x)
4. sup f - 1 / H è maggiorante di f.

Assurdo perché essendo H > 0, 1 / H > 0, sup f - 1 / H < sup f e quindi abbiamo trovato un maggiorante più piccolo del sup f ⇒ sup f ∉ _Gf

TEOREMA DELL'ESISTENZA DEGLI ZERI

Se una funzione è continua in un intervallo ed assume valori di segni opposti, assume valore zero.

Sia f: (a, b) ➔ ℝ continua

Teorema di continuità della funzione inversa

Sia \( f: (a,b) \to \mathbb{R} \) continua ed invertibile, allora \( f^{-1}: f(a,b) \to (a,b) \) è continua.

Dim. Per il teorema di Darboux \( f(a,b) \) è un intervallo \( (c,d) \). Per la Prop 1 costantemente monotona. Per la Prop 2 \( f^{-1} \) è costantemente monotona (dello stesso tipo).

Teorema di continuità della funzione composta

Sia \( f : A \to \mathbb{R} \) \( g : B \to \mathbb{R} \) \( f(g) = A \)

Poniamo definita \( f \mathrel{\ circ } g : B \to \mathbb{R} \)

Allora, se \( B \subseteq D_{B} \) e \( g \) è continua in \( x_0 \) (cioè \( \lim_{x \to x_0} g(x) = g(x_0) \)) Supponiamo che \( f \) sia continua in \( y_0 = g(x_0) \)

\( f \circ g \) è continua in \( x_0 \) \( \lim_{x \to x_0} {f(g(x)) = f(g(x_0))} \)

Teorema della media dell'integrale

Sia \( f : [a,b] \to \mathbb{R} \) continua e dunque integrabile

\( \therefore \exists c \in [a,b] \)

\( f(c) = \frac{1}{c-a} \int_a^b f(x) \, dx \)

Dim. Essendo continua per il teorema di Weierstrass \( m \le f(x) \le M \quad m := \inf f \quad M := \sup f \)

Per la proprietà dell'integrale si può scrivere:

\( \int_a^b dx = \int_a^b f(x)dx \le \int_a^b M dx \)

\( m \int_a^b dx \le \int_a^b f(x) dx \le M \int_a^b dx \)

\( m (b-a) = \int_a^b f(x) dx \le M(b-a) \)