Teoremi e corollari
Teorema di esistenza della radice n-esima
Sia a ∈ ℝ⁺, n ∈ ℕ, ∃ un unico x ∈ ℝ⁺ tale che xn = a. Tale numero viene detto radice n-esima aritmetica di a e viene denotato con n√a.
Teorema di esistenza del logaritmo
Siano a, b ∈ ℝ⁺: a≠1, ∃! t l’unica soluzione dell’equazione esponenziale at=b viene detta logaritmo in base a di b e viene denotata con logab.
Teorema dell’unicità del limite
Sia {xn} n regolare se
Dim: Prendo lim xn=l e lim xn=u. Sia opportuno per assurdo tengo l* l ≠ u. l* l = l* l = u. Scelgo un opportuno ε>0 tale che l-l2 2 2 2 2 ε₁ >0.
- ∃≥∈ℕ: xn ∈ B(l, r) ∀{xn} r = lim = u/2
- ∃r∈ℕ: xn ∈ B(l, r) ∀{xn} con z firmato sia xsetonacci {uσ}
Si ha che xn∈ B(l,r)∩B(u,r). Assurdo perché per costruzione B(l, r) ∩ (B(l, r1) = ∅
Teorema della permanenza del segno generalizzata
Sia lim xn= H e sia H>L.
Dim: Per ipotesi: ∀ε≥0 ∃N∈ℕ: ∀N>n residue H-ε n < H+ε. Essendo H>L basta scegliere ε 0 ∃ n ∈ ℕ - ε < xₙ < ℓ + ε ∈ ℝ ∀ n > n₁ xₙ₀ → ℓts ∃ h, k ∈ ℝ, h ≤ xₙ₀ ≤ k. In particolare scelgo ε = 1 ∃ x₁ ∈
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