Teoria per esame di analisi I

1) INSIEMI NUMERICI (Teoria)

Def: un insieme si dice CAMPO NUMERICO se in esso introduco due operazioni dette somma e prodotto tali che valgono le seg. propr.

• R1 (Somma)
• Prop. ASSOCIATIVA (x+y)+z = x+(y+z)
• Prop. COMMUTATIVA x+y = y+x
• 1. ELEMENTO NEUTRO (0) x+0 = x
• R2 (Prodotto)
• Prop. ASSOCIATIVA
• Prop. COMMUTATIVA
• 2. el. NEUTRO
• INVERSO
• DISTRIBUTIVA

→ (Relazione d’ordine) è detta tra due relazioni d’ordine totale se è compatibile con le strutture algebriche cioè → se ≢ allore a+c ≡ c+E→ a≡c allore a≡c+o

Def: si dice CAMPO NUMERICO ORDINATO un insieme in cui sono definite due operazioni (somma e prodotto) e una relazione d'ordine che soddisfano tutte le proprietà R1,R2,R3; Un insieme con le proprietà R1,R2,R3 è detto CAMPO se tutti n,≧3 valgono per Q e valgono anche  < ≧0 ≠0. I sono CAMPI ORDINATI

1(RQ)  → ha un numero razionale  ≠1 ed.possiamo razionale∫ m2, dove m ha un denominatore (QN)

(Sum.) Supponiamo per assurdo che esiste un numero n ≠0 tale che ∪ nonsono scrivere m: con cal. minima, suppon. des rzaibr>ore la frazione m^ già ridotta al minimo termine, ponia

(mn) si può dire di un al breve e questo

(m = 2) m2=2m → per cui m alora m è pari possiamo scrivere → 2x IvK= → altrare la relazionar m^≡ 2m+1 è

(2k) m≡≡ 2m;  m^≡2k per cui m^≡ pari ma allora anche  esausta di re ponì è questo- Considero perché

possiamo  supposto che m m^ es è ai minimi finetti

Def: sia E≠ x si dice che E aggiunto se esistsa Elemetix m↔a ≠ M talche ∀x∈s rifle m ≦ 0 tale che f(x₀) ≥ f(x), ∀x ∈ B(x₀, ε)

lo stesso modo si definisce per il min → cambiano i versi delle disequazioni

la f(x) ha un punto di massimo relativo (relativamente all'intorno prescelto) oppure assoluto quando: f'(x) cambia segno in tale punto

Teorema del limite centrale

Se X è una generica variabile aleatoria che ha media finita μ = E(X) = μ e varianza finita σ² = Var(X) = σ², allora il limite della media di un gran numero di copie indipendenti e identicamente distribuite di X sarà distribuito normalmente nella media μ = E(X) e varianza σ²/n

Rettangolo di accettazione

Se f(x,y) è fittizia come prima ma n invece che finito (numericamente

∞) è grande, allora:

• Se f(x,y) ≤ h(dopo averlo attivato)
• Simulo una variabile aleatoria unif.
• Estraggo n dati
• f(x,y) ≤ h
• La somma accettata dei rettangoli per le aree di fittizia → genera un numero elevato di σ² box attesi(NULLA QUANDO POSSIAMO CALCOLARE)

ESSENZE DEL TEORICO: PREGIO

• 4 estrazioni sui fatti
• f indica partiziona (coseno della formula di lebesgue)
• n più uti un (Z al quadrato/n)

α deve essere = che darà riscontro per ALLINEARE tutte le percentuali

numeri di E(X) ≥ n

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• Estraggo prima un numero casuale tra 1 e x tramite requisiti statistici

Condizione di integrabilita' della funzione continua

F: D -> R funzione continua in un intervallo chiuso e limitato I = [a,b].

Definizione: Sia definita una funzione continua f in un intervallo limitato.

Proprietà: Se F continua su [a,b] allora esiste una primitiva.

Teorema: Se f continua su [a,b] allora esiste una primitiva F (x)

Teorema: funzione integrata f(x) e F'(x)=f(x) allora F(x) è la primitiva

Integrale definito, f esiste e la primitiva è unica (a meno di costanti)

Teorema fondamentale del calcolo integrale

Primitiva: se F è continua su I e f(x)=F'(x) verifica l'integrale definito.

Calcolo integrale

• Funzione continua f(x)
• Integrale definito da a a b / primitiva se continua su I e derivabile
• La disuguaglianza è utilizzata per verificare continuità.

Se f(x) è continua in [a,b], allora esiste l'integrale di a a b f(x) dx

Esempio numerico

f(x) = x ^ 2; verifica: calcolare integrale da 0 a 1 di f. Primitiva F(x)=1/3 x^3

Esercizio: Integrale definito da 0 a n (f funzione continua e positiva)

Conclusione

F' derivata è pure una primitiva di f.