Analisi matematica - teoremi

RADICI COMPLESSE

DATA L'EQUAZIONE Z_h = W e sia W €Ç e h = 2, 3, … allora:

• SE W = 0 → Z = 0
• SE W ≠ 0 → SI HANNO n SOLUZIONI COMPLESSE E DISTINTE

Z = ¹⁄_h√ |W|e^{i(logW + 2kπ)}⁄_h con k = 0, …, (n-1)

DIMOSTRAZIONE

Z_n = W ⇔ |Z_n| = W log(|Z_n|) = logW + 2kπ ⸫ log|z| = ^{logW + 2kπ}⁄_h

PER k = 0, …, (n-1) TROVO TUTTE LE n-SOLUZIONI DISTINTE.

GEOMETRICAMENTE LE SOLUZIONI Z_h CORRISPONDO A n PUNTI EQUIDISTANTI DAL CENTRO DELLA CIRCONFERENZA CON RAGGIO ¹⁄_n√|W|

es: h = 5

Z ⁵⁄₃ = WZ = ¹⁄₃√|W|

17. EQ. DIFFERENZIALI

¹ ORDINE LINEARE

SE:

a = 0

• ψ' = f(x) [ψ' = x²] soluzione banale

Y = ∫x² dx

f(x) = 0

• ψ' + aψ = 0 [ψ' = 2χψ]
• omogenea
• variabili separabili

a ≠ 0

f(x) ≠ 0

• ψ' + aψ = f(x) non omogenea

METODO VARIAZIONE DELLA COSTANTE

ψ' + 4ψ = (3χ + 1)

A = ∫adx = ∫4dx = 4χ

e^A = e^4χ

ψ' e^4χ + 4ψ e^4χ = (3χ + 1)e^4χ

• (ψ e^4χ)' = 3χ • e^4χ + e^4χ
• ψ e^4χ = ∫3χe^4χ + e^4χ dx
• *saltati tutti i pass.
• 3/4 χ e^4χ + 1/16 e^4χ + Ce^-4χ

soluzione

Y = 3/4 χ + 1/16 + Ce^-4χ

FUNZIONI PRIMITIVE

SIA I⊂R UN INTERVALLO E SIA f:I→R UNA FUNZIONE f:I→R SI DICE PRIMITIVA DI f IN I, SE F è DERIVABILE IN I E:

F'(x) = f(x), ∀x ∈ I

FAMIGLIA DI FUNZIONI PRIMITIVE

1° TEOREMA DEL CALCOLO INTEGRALE

[A(x+h) - A(x)] / h = (1 / h) [∫_x^x+h f(t)dt - ∫_a^x f(t)dt] =

= (1 / h) [∫_x^x+h f(t)dt - ∫_a^x f(t)dt] =

= (1 / h) ∫_x^x+h f(t)dt =

MEDIA DELL'INTERVALLO (x, x+h) E CHE CONTIENE UN PUNTO x* : f(x*)=^_f

FACCIO IL LIMITE h→0

lim_h→0 (A(x+h) - A(x)) / h = lim_h→0 f(x*) = f(x)

POICHè LA FUNZIONE f è CONTINUA

lim_h→0 x* = x

LA DERIVATA DI A(x) è:

lim_h→0 (1 / h) ∫_x^x+h f(t)dt = lim_h→0 f(x*) = f(x)

QUINDI

∫ f(x) = u PRIMITIVA DI f

F(x) : F'(x) - f(x) € f(a,b)→R CONTINUA

Algebra delle derivate

-Siano I un intervallo; x₀ ∈ I; f, g: I → ℝ

-Se f e g sono derivabili in x₀ anche le funzioni αf (∀α ∈ ℝ), (f + g), (f - g), (f • g) e (f/g) (g ≠ 0), sono derivabili in x₀ e risulta:

(αf)' = α • f'(x₀)

(f ± g)' (x₀) = f'(x₀) ± g'(x₀)

(fg)' (x₀) = f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀)

(f/g)' (x₀) = (f'(x₀)g(x₀) - f(x₀)g'(x₀))/( [g(x₀)]²)

Quindi x → x₀, ad esempio (svil. Ser. Taylor)

f(x)g(x) = [f(x₀) + f'(x₀) (x - x₀) + o(x - x₀)] • [g(x₀) + g'(x₀) (x - x₀) + o(x - x₀)] =

= f(x₀)g(x₀) + (f'(x₀) • g(x₀) + f(x₀) • g'(x₀) ) (x - x₀) + o(x - x₀).

Y = q + mx

{ q= f(x₀)g(x₀)

m = [f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀)]

Derivate

La derivata è il coeff. angolare della retta

\[ \lim_{{h \to 0}} \frac{{f(x+h) - f(x)}}{h} = f'(x) \]

Rapporto incrementale

P.ti di non derivabilità

• Punto Angoloso
  • \[ f'(x_0) \ne f'(x_0) \]
• Cuspide
  • \[ f'(x) = +\infty \]
  • \[ f'(x) = -\infty \]
  • Valori finiti
• Flesso a t.q. verticale
  • \[ f'(x) = \pm \infty \]

Sia \[ f:I \to R \]

Derivabile in \[ x_0 \] se e solo se \[ f(x) \] continua in \[ x_0 \]

Siano:

x₁ il minimo di g(x) e

x₂ il max di g(x)

1. Entrambi dovessero cadere agli estremi dove g vale zero, la funzione dovrebbe essere costante con g(x) = 0, ∀x ∈ [a, b]. Quindi g'(x) = 0 su ∏ [a, b] e quindi f'(x) = (f(b) - f(a)) / (b - a).
2. Almeno uno dei due punti cade all'interno di (a, b), poniamo x₁, allora esso è un punto critico → g'(x₁) = 0, quindi c = x₁ e è il punto cercato (max o min).

   [c = x₁] è il punto individuato dalla retta parallela alla corda g(x), tangente alla funzione f(x).

TEOR. DI DE L'HOPITAL

VIENE UTILIZZATO PER RISOLVERE ALCUNI TIPI DI FORME INDETERMINATE DEI LIMITI.

SIANO, AD ESEMPIO, f,g: [a,b) → R DUE FUNZ. DERIVABILI IN (a,b) E SIANO f(a) = f(b) = 0.

ALLORA

^lim_x→a⁺ f(x)/g(x) = 0/0 SI PUÒ SCRIVERE

^lim_x→a⁺ f(a) + f'(a) (x - a) + o(x - a) / g(a) + g'(a) (x - a) + o(x - a) = ^lim_x→a⁺ f'(a)(x - a) + o(x - a) / g'(a) (x - a) + o(x - a)

= ^lim_x→a⁺ f'(a) / g'(a).

GENERALIZZIAMO IL RISULTATO CON DE L'HOP

SIA I = (a,b) E f,g: I → R DUE FUNZ. DERIVAB. CON g'(x) ≠ 0 ∀x ∈ (a,b), SIA:

^lim_x→a⁺ f(x) = ^lim_x→a⁺ g(x) = 0 OPPURE ± ∞ (QUINDI f(x)/g(x) FORMA INDETERMINATA PER x→a⁺) E

^lim_x→a⁺ f'(x)/g'(x) = l ∈ R^* ALLORA {g(x) ≠ 0 / x→a⁺}

^lim_x→a⁺ f(x)/g(x) = l

Funzioni convesse

Funzione convessa

Sia I un intervallo e sia f : I → ℝ; la funzione f si dice convessa se, ∀x₁, x₂ ∈ I, il segmento che unisce i punti (x₁, f(x₁)), (x₂, f(x₂)) sta sopra il grafico della funzione. Graficamente:

Una funzione convessa può anche non essere derivabile in alcuni punti.

TEORIA in sintesi

Sia y = f(x) una funzione continua nell'intervallo [a,b], sappiamo che sotto tali condizioni esiste l'integrale definito fra a e b della funzione f(x) e graficamente tale integrale rappresenta l'area della parte di piano (TRAPEZOIDE) delimitata dal grafico della funzione, dall'asse delle ascisse e dalle rette di equazione x = a e x = b.

Nel caso in cui la funzione assegnata non sia continua nell'intervallo di integrazione, oppure almeno uno degli estremi di integrazione non sia finito si parla di INTEGRALE IMPROPRIO.

In sostanza l'integrale improprio rappresenta l'estensione del concetto di integrale definito per funzioni che presentino un numero finito di punti discontinuità nell'intervallo di integrazione, oppure per funzioni il cui intervallo di integrazione risulti illimitato.

Gli integrali impropri si classificano in:

1. Integrali impropri di I tipo o specie se almeno uno degli estremi di integrazione non è finito.
2. Integrali impropri di II tipo o specie se nell'intervallo di integrazione si ha almeno un punto di discontinuità.
3. Integrali impropri che sono contemporaneamente di I e II tipo.