Analisi matematica - teoremi

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Esercizi di Analisi matematica per l’esame del professor Demeio. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le equazioni differenziali, il metodo di variazione della costante, il metodo di …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Demeio Lucio

Università Università Politecnica delle Marche - Ancona

A.A. 2013-2014

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Radici complesse

Data l'equazione Z^h = W e sia h = 2, 3, ... allora:

Se W = 0 → Z = 0
Se W ≠ 0 → si hanno n soluzioni complesse e distinte:

Z = |W|^1/h e^{i(arg W + 2kπ)/h} con k = 0, ..., (h - 1)

Dimostrazione

Z^h = W → |Z|^h = |W|

arg(Z^h) = arg(W) + 2kπ

arg(Z) = [arg(W) + 2kπ] / h

Per k = 0, ..., (n - 1) trovo tutte le h soluzioni distinte.

Geometricamente le soluzioni Z^h corrispondono a n punti equidistanti dal centro della circonferenza con raggio |W|^1/h

Es: n = 5

Z⁵ = W

Z = |W|^1/5

Radici complesse

Data l'equazione Z^h = W e sia W ∈ ℂ e h = 2, 3, … allora:

Se W = 0 → Z = 0
Se W ≠ 0 → Si hanno n soluzioni complesse e distinte:

Z = |W|^1/he^{i(arg W + 2kπ)/h} con k = 0, …, (n-1)

Dimostrazione

Z^h = W → |Z|^h = W

arg(Z^h) = arg W + 2kπ

arg |Z| = (arg W + 2kπ) / h

Per k = 0, …, (n-1) trovo tutte le h-soluzioni distinte.

Geometricamente le soluzioni Z_h corrispondono a n punti equidistanti dal centro della circonferenza con raggio |W|^1/h

n = 5

Z⁵ = W → Z = ⁵√W

Eq. differenziali 1^o ordine lineare

Se:

a = 0
ϕ' = f(x) [ ϕ' = x² ] Soluzione Banale
Y = ∫x²dx
f(x) = 0
ϕ' + aϕ = 0 [ ϕ' = 2xϕ ] Omogenea - Variabili Separabili a ≠ 0
f(x) ≠ 0
ϕ' + aϕ = f(x) Non Omogenea

Metodo variazione della costante

ϕ' + 4ϕ = (3x + 1)

A = ∫adx = ∫4dx = 4x

E^A = e^4x

ϕ/e^4x + 4ϕ/e^4x = (3x + 1) e^4x

(4e^4x)' = 3x·e^4x + e^4x

4e^4x = ∫3x·e^4x + e^4xdx

4e^4x = 3/4 x e^4x + 1/16 e^4x + Ce^-4x

Y = 3/4 x + 1/16 + Ce^-4x Soluzione

Teorema - Metodo variazione della costante (Eq. Diff. Non Omogenee)

Sia I &subset; R un intervallo a,b ∈ G(I) e A(x) una primitiva di a in I.

(i) Tutte le soluzioni dell'equazione non omogenea y' = ay + b in I sono:

Y(x) = (C + k(x)) e^A(x), C &in; R
dove k(x) è una primitiva di b(x)e^-A(x) in I.

(ii) Dati x₀ &in; I e y₀ &in; R, la funzione:

ψ(x) = (y₀ + ∫_x₀^xb(s)e^{-∫_x₀^sa(t)dt}ds)e^{∫_x₀^xa(s)ds})

è l'unica soluzione del problema di Cauchy:

{ y' = ay + b
{ ψ(x₀) = y₀

Dimostrazione

lim_x→∞ x^α/a^x=0 ∀α∈ℝ, a>1

Se α<0 il limite è immediato (non è una forma indeterminata).

Se α>0 invece:

x^α/a^x=(√x/a^x)^2α=(√x/x^log₂a/2α)^2α=(√2α/log₂a √x/2^y)^2α == (2α/log₂a)^α . (√y/2^y)^2α

Abbiamo posto y=(x log₂a)/(2α) ovvero x=2αy/log₂a

Poiché α>0 e log₂a> >0 y→+∞ per x→+∞ .

Funzioni primitive

Sia I un intervallo e sia f:I→ℝ

Una funzione F:I→ℝ si dice primitiva di f in I, se F è derivabile in I e F'(x) = f(x), ∀x ∈ I

Famiglia di funzioni primitive

1° Teorema del calcolo integrale

A(x+h) - A(x) = ¹/_h [∫_x^x+h f(t)dt - ∫_x^x+h f(t)dt] = ¹/_h [∫_x^x+h f(t)dt] = media dell'intervallo (x, x+h) e che contiene un punto x*: f(x*) = f

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