Analisi matematica I - spazi vettoriali

Gli Spazi Vettoriali

questi sconosciuti

Siano: K=R o C

• V

• un insieme V V

+¿

• la somma che associa a due elementi di un terzo elemento di

∙ V

• il prodotto di uno scalare (reale o complesso) per un elemento di .

K

;+; ∙)

(V

La terna è detta spazio vettoriale (o lineare) su se

v v

+u=u+

1) La somma è commutativa v w=u w)

( )+

+u +(v+

2) La somma è associativa v v=v

+0=0+

3) Esiste l'elemento nullo per la somma u=u+(−u)=0

−u+

4) Esiste l'opposto λ( v λv

+u)=λu+

1) Il prodotto di uno scalare è distributivo rispetto alla somma

C λ+ α u=λu+ αu

( )

2) Il prodotto di uno scalare è distributivo su λ(αu)=α (λu)

3) Il prodotto per uno scalare è associativo 1∙ u=u

4) Esiste l'elemento neutro per il prodotto

Esempi di spazi vettoriali:

n

V =R

1) insieme dei piani e le sue operazioni

V =M (R)

2) insieme delle matrici e le sue

m , n

operazioni

V p polinonio , grado p

( )

={ <n }

3) insieme dei polinomi e le sue

operazioni

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori. u ,u , … , u

v

Un vettore si dice combinazione lineare dei vettori se esistono scalari

1 2 n

λ , λ , … , λ v u λ u …+ λ u

=λ + +

tali che .

1 2 n 1 1 2 2 n n

2 1, 0

( )

R

Per esempio, ogni elemento di si scrive come combinazione lineare dei vettori e

0, 1

( ) . λ u λ u …+ λ u λ , λ , … , λ

+ + =0 =0

Se abbiamo solo quando tutti parliamo di

1 1 2 2 n n 1 2 n λ

indipendenza lineare. Se la relazione vale anche con uno o più diverso da 0 i vettori

sono linearmente dipendenti.

Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

B u , u , … ,u

{ } V

è una base di se

1 2 n u

1) I vettori sono linearmente indipendenti

V

2) B è un sistema di generatori di (ogni vettore di v si può scrivere come

∀ ∃

vϵV λ 1< j<n : v=λ u λ u λ u

( ) + +…+

combinazione lineare dei vettori in B, cioè j 1 1 2 2 n n

Teorema: Esiste sempre ed è unica la rappresentazione di un vettore in una base

data.

∀ ∃!

v λ , λ , … , λ :v= λ u λ u …+ λ u

( ) + +

1 2 n 1 1 2 2 n n

L'esistenza è implicita dalla definizione stessa di base.

α

Assumiamo che esistano altri coefficienti tali che

v u u α u u λ u λ u

=α +α +…+ =λ + +…+ .

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

Portiamo tutti i termini allo stesso membro e mettiamo in evidenza:

α

¿

α .

2− λ u α λ u

¿ ( )

(¿ ) +…+ − =0

2 2 n n n

¿

¿

Siccome B è una base i suoi coefficienti u sono linearmente indipendenti questa relazione è

u

verificata solo quando tutti i coefficienti degli sono pari a zero:

⟺ ⟺

α u α α

( )

−λ =0 −λ =0 =λ C.V.D.

n n n n n n n

Abbiamo quindi dimostrato che i coefficienti in una base esistono sempre e sono unici: essi

c v λ , λ , … , λ

( ) =( )

prendono in nome di componenti o coordinate di V in B: .

B 1 2 n

⟨ ⟩

c v B= 0,1 , 1,0

( ) =v ( ) ( )

Se la base è detta canonica (es: .

B

Lemma di Steinitz: Un sistema che contiene più vettori di quanti ne contenga la base

è linearmente dipendente.

{ }

T v , v , … , v

1 2 m m>n

dato con implica ==========> T linearmente

B u ,u , … , u

{ }

1 2 n

dipendente Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

Essendo B una base possiamo scrivere ogni v come una combinazione lineare di B:

{ v u u …+a u

=a +a +

1 11 1 21 2 n1 n

v u u …+a u

=a +a +

2 12 1 22 2 n2 n

…

v u u u

=a +a +…+a

m 1m 1 2m 2 nm n

Ma, sempre perché B è una base, i suoi vettori devono essere linearmente indipendenti:

λ v λ v λ v

+ +…+ =0

1 1 2 2 m m

Sostituiamo

λ u a u a u λ u a u a u λ a u u u

(a + +…+ )+ (a + +…+ )+…+ ( +a +…+a )=0

1 11 1 21 2 n1 n 2 12 1 22 2 n2 n m 1m 1 2m 2 nm n

Facciamo i calcoli e mettiamo in evidenza i vari u

λ a λ a …+ λ a a λ a λ a u a λ a λ a

( + + )u +(λ + +…+ ) +…+(λ + +…+ )u =0

1 11 2 12 m 1m 1 1 21 2 22 m 2m 2 1 n1 2 n2 m nm n

Per essere T linearmente indipendente, esso deve avere tutti i coefficienti di u pari a zero

{ λ a λ a λ a

+ +…+ =0

1 11 2 12 m 1m

λ a λ a …+ λ a

+ + =0

1 21 2 22 m 2m

…

λ a λ a λ a

+ +…+ =0

1 n1 2 n2 m nm λ

Otteniamo così un sistema di m equazioni ed n incognite in . Siccome m>n per ipotesi,

λ

avremo un sistema di infinite soluzioni. Esistendo dunque anche soluzioni diverse da

zero, il sistema T è linearmente dipendente. C.V.D.

Teorema della base: Tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero

di vettori (= dimensione)

B u ⟺

B

( ) m≤ n

(v )

è base di V e è linearmente indipendente per il Lemma di

1 n 2 m

Steinitz

B u ⟺

B

( ) n ≤m

(v )

è linearmente indipendente e è base di V per il Lemma di

1 n 2 m

Steinitz n=m n=m

Quindi per forza . C.V.D. Questo numero prende il nome di dimensione di V e

dim V

si indica con

Teorema: basta che B sia linearmente indipendente perché sia una base.

Dimostriamo che B è anche generatrice in uno spazio V con dimV=n:

∃ λ , λ , … , λ , λ λ u λ u λ v

+…+ + =0

non tutti nulli tali che :

1 2 n n+1 1 1 n n n+1 λ , λ , … , λ

Visto che B è linearmente indipendente per ipotesi tutti i suoi coefficienti 1 2 n

λ

saranno pari a zero. Siccome i coefficienti devono essere non tutti nulli, dovrà essere

n +1

Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

diverso da zero

v u …+ λ u

−λ =λ +

n+1 1 1 n n λ

Allora potremo scrivere v come combinazione lineare degli elementi di B usando −λ n+1

come coefficienti

λ λ

1 n

v u u

= +