Analisi matematica I - spazi vettoriali

R

Per esempio, ogni elemento di si scrive come combinazione lineare dei vettori e

0, 1

( ) . λ u λ u …+ λ u λ , λ , … , λ

+ + =0 =0

Se abbiamo solo quando tutti parliamo di

1 1 2 2 n n 1 2 n λ

indipendenza lineare. Se la relazione vale anche con uno o più diverso da 0 i vettori

sono linearmente dipendenti.

Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

B u , u , … ,u

{ } V

è una base di se

1 2 n u

1) I vettori sono linearmente indipendenti

V

2) B è un sistema di generatori di (ogni vettore di v si può scrivere come

∀ ∃

vϵV λ 1< j<n : v=λ u λ u λ u

( ) + +…+

combinazione lineare dei vettori in B, cioè j 1 1 2 2 n n

Teorema: Esiste sempre ed è unica la rappresentazione di un vettore in una base

data.

∀ ∃!

v λ , λ , … , λ :v= λ u λ u …+ λ u

( ) + +

1 2 n 1 1 2 2 n n

L'esistenza è implicita dalla definizione stessa di base.

α

Assumiamo che esistano altri coefficienti tali che

v u u α u u λ u λ u

=α +α +…+ =λ + +…+ .

1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n

Portiamo tutti i termini allo stesso membro e mettiamo in evidenza:

α

¿

α .

2− λ u α λ u

¿ ( )

(¿ ) +…+ − =0

2 2 n n n

¿

¿

Siccome B è una base i suoi coefficienti u sono linearmente indipendenti questa relazione è

u

verificata solo quando tutti i coefficienti degli sono pari a zero:

⟺ ⟺

α u α α

( )

−λ =0 −λ =0 =λ C.V.D.

n n n n n n n

Abbiamo quindi dimostrato che i coefficienti in una base esistono sempre e sono unici: essi

c v λ , λ , … , λ

( ) =( )

prendono in nome di componenti o coordinate di V in B: .

B 1 2 n

⟨ ⟩

c v B= 0,1 , 1,0

( ) =v ( ) ( )

Se la base è detta canonica (es: .

B

Lemma di Steinitz: Un sistema che contiene più vettori di quanti ne contenga la base

è linearmente dipendente.

{ }

T v , v , … , v

1 2 m m>n

dato con implica ==========> T linearmente

B u ,u , … , u

{ }

1 2 n

dipendente Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

Essendo B una base possiamo scrivere ogni v come una combinazione lineare di B:

{ v u u …+a u

=a +a +

1 11 1 21 2 n1 n

v u u …+a u

=a +a +

2 12 1 22 2 n2 n

…

v u u u

=a +a +…+a

m 1m 1 2m 2 nm n

Ma, sempre perché B è una base, i suoi vettori devono essere linearmente indipendenti:

λ v λ v λ v

+ +…+ =0

1 1 2 2 m m

Sostituiamo

λ u a u a u λ u a u a u λ a u u u

(a + +…+ )+ (a + +…+ )+…+ ( +a +…+a )=0

1 11 1 21 2 n1 n 2 12 1 22 2 n2 n m 1m 1 2m 2 nm n

Facciamo i calcoli e mettiamo in evidenza i vari u

λ a λ a …+ λ a a λ a λ a u a λ a λ a

( + + )u +(λ + +…+ ) +…+(λ + +…+ )u =0

1 11 2 12 m 1m 1 1 21 2 22 m 2m 2 1 n1 2 n2 m nm n

Per essere T linearmente indipendente, esso deve avere tutti i coefficienti di u pari a zero

{ λ a λ a λ a

+ +…+ =0

1 11 2 12 m 1m

λ a λ a …+ λ a

+ + =0

1 21 2 22 m 2m

…

λ a λ a λ a

+ +…+ =0

1 n1 2 n2 m nm λ

Otteniamo così un sistema di m equazioni ed n incognite in . Siccome m>n per ipotesi,

λ

avremo un sistema di infinite soluzioni. Esistendo dunque anche soluzioni diverse da

zero, il sistema T è linearmente dipendente. C.V.D.

Teorema della base: Tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero

di vettori (= dimensione)

B u ⟺

B

( ) m≤ n

(v )

è base di V e è linearmente indipendente per il Lemma di

1 n 2 m

Steinitz

B u ⟺

B

( ) n ≤m

(v )

è linearmente indipendente e è base di V per il Lemma di

1 n 2 m

Steinitz n=m n=m

Quindi per forza . C.V.D. Questo numero prende il nome di dimensione di V e

dim V

si indica con

Teorema: basta che B sia linearmente indipendente perché sia una base.

Dimostriamo che B è anche generatrice in uno spazio V con dimV=n:

∃ λ , λ , … , λ , λ λ u λ u λ v

+…+ + =0

non tutti nulli tali che :

1 2 n n+1 1 1 n n n+1 λ , λ , … , λ

Visto che B è linearmente indipendente per ipotesi tutti i suoi coefficienti 1 2 n

λ

saranno pari a zero. Siccome i coefficienti devono essere non tutti nulli, dovrà essere

n +1

Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

diverso da zero

v u …+ λ u

−λ =λ +

n+1 1 1 n n λ

Allora potremo scrivere v come combinazione lineare degli elementi di B usando −λ n+1

come coefficienti

λ λ

1 n

v u u

= +…+ C.V.D

1 n

−λ −λ

n n+1

+1 W V

Un sottoinsieme di uno spazio è un sottospazio se esso che stabile (o chiuso)

V

rispetto alle operazioni indotte da quelle di .

Questo significa che la somma e il prodotto per uno scalare devono dare un risultato

contenuto nel sottoinsieme:

u+ v ϵ W αv ϵ W AX =0

Teorema: le soluzioni di un sistema lineare omogeneo costituiscono un

n n−rg A

R

sottospazio vettoriale di di dimensione

Dimostrazione: A X A X

X =0 =0

date due soluzioni tali che e dimostriamo che operando su di esse

1 2

rimaniamo nel sottoinsieme

A X X X A X αA X A X

( )

+ =A + =0 = (α )=0

1 1

1 2 1 2 { x y=0

−

Ad esempio, il vettore soluzione del sistema omogeneo è anche un

x y

+ +2z=0

sottospazio di dimensione 1, infatti n=3 e il rango della matrice A è pari a 2. Trovando le

W ;−z ; z , z ϵ R

={(−z ) }

soluzioni rispetto al parametro k avremo l'insieme delle soluzioni che

dim W =1

per il teorema dimostrato prima è anche sottospazio di .

Il vettore nullo non può essere base (ma non so da dove viene fuori questa cosa, né so cosa

centra)

Teorema: ogni sottospazio contiene il vettore nullo (condizione necessaria ma non

sufficiente).

Dimostrazione: per la definizioni di spazi vettoriali esiste sempre l'opposto. Siccome ogni

sottospazio è a sua volta uno spazio vettoriale vale la stessa definizione. Ma dimostriamolo:

vϵW −1 −v

Moltiplicando il vettore per lo scalare abbiamo ancora appartenente a

Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

W W v −v

. E sommando i due elementi di , e , abbiamo un terzo elemento sempre

W v (−v )

+ =0

appartenente a pari a . C.V.D.

( )

1 b

W M R)

{ } (

Ad esempio, non è sottospazio di perché non contiene il vettore nullo.

2

c d

Rappresentazione cartesiana di un sottospazio

Aggiungiamo una riga di variabili (x, y, z, t...) alla matrice A che ha come righe i diversi

vettori del sottospazio. Imponendo questa ultima riga uguale a zero, imponiamo la sua

lineare dipendenza dalle prime due, ovvero otteniamo i valori in funzione delle variabili,

il che equivale proprio alla rappresentazione cartesiana. ( )

1 0 1

−2

( )

1 0 1

−2

⟨ ⟩

V 1,−2,0,1 , 0,1,2,−1 → A= →

( ) ( )

= 0 1 2 −1

Esempio: 0 1 2 −1 x y z t

Usiamo le mosse di Gauss per ottenere il numero di equazioni all'ultima riga pari al rango

della matrice (2) ( )

( ) ( )

1 0 1 1 0 1 1 0 1

−2 −2 −2

→ →

0 1 2 0 1 2 0 1 2

−1 −1 −1

x y z t 0 y−2x z t 0 0 z−2( y−2x t−x+ y−2x

−x )

{

z−2y+ 4x=0

A questo punto avremo ottenuto il sistema , ovvero la rappresentazione

t−3x y=0

+

cartesiana cercata.

Somma di sottospazi

W W w=w , w ϵ W , w ϵ W

{ }

=W + = +w

1 2 1 2 1 1 2 2

Se l'intersezione dei sottospazi si riduce al solo vettore nullo si parla di somma diretta.

W =W +W

⊕W ⟺ 1 2

W =W 1 2 W ∩W ={0 }

1 2

Relazione di Grassmann

W W V

Se e sono due sottospazi di uno spazio vettoriale avremo che

1 2

dim(W dimW ∩W

+W )=dimW + −dim(W )

1 2 1 2 1 2

Osservazione, se la somma è diretta l'ultimo addendo si annulla.

Ogni spazio ha due sottospazi banali: il vettore nullo e se stesso.

Gli Spazi Vettoriali, questi sconosciuti

Spazi Euclidei R

Uno spazio vettoriale su si dice Euclideo Reale se è dotato di prodotto scalare.

VxV → R

∙:

V R

Dato uno spazio vettoriale su , un'applicazione si dice prodotto

↦

u , v u ∙ v

( )

scalare se ha queste proprietà:

u ∙ v=v ∙ u

1. commutatività

u+ v ∙ w=u ∙ w+v ∙ w

( )

2. distributività

λu ∙ v=λ ∙ v)

(u

3. omogeneità

⇔

u ∙u ≥ 0 u ∙u=0 u=0

4. e positività

0 ∙u=0 u ∙(u−u)=0

Osservazione: , infatti (-u esiste sempre e sommato a u da zero per

u ∙u−u ∙u=0

definizione di spazi); per la proprietà distributiva avremo, , in quanto somma di

due scalari opposti. x , … , x ∙ y , … , y y , … , x , y

( ) ( ) =x

Il prodotto scalare non è unico. Quello viene detto

1 n 1 n 1 1 n n

canonico. 2

∀ u , v ϵV u ∙ v ≤ u∙ u v ∙ v

( ) ( ) ( )

Diseguaglianza di Cauchy-Schwarz: si ha che 0=0

Dimostrazione: Se uno dei vettori è nullo la diseguaglianza è ovvia,

Altrimenti possiamo dimostrare con due procedimenti alternativi la diseguaglianza. Il più

semplice:

λϵ R λu+ v) ∙( λu+ v) ≥ 0

(

posto sfruttiamo la proprietà di positività .

2

λ u ∙u+ λu∙ v v ∙ λu+ v ∙ v ≥ 0

+

sfruttando la distributività risolviamo il prodotto scalare 2

u∙v λ ∙ u)+2λ u ∙ v ∙ v 0

( )

(u +(v )≥

grazie all'omogeneità sommiamo i termini in

λ

questo polinomio di secondo grado in è sempre positivo come abbiamo detto all'inizio,

2

⇔4

∆< 0 u ∙ v u ∙ u v ∙ v ≤ 0

( ) ( ) ( )

−4

dunque avrà i