Analisi matematica I - spazi vettoriali

Gli spazi vettoriali, questi sconosciuti

Siano: K = R o C

• V un insieme
• V + V la somma che associa a due elementi di V un terzo elemento di V
• Il prodotto di uno scalare (reale o complesso) per un elemento di V.

La terna (V; +; ·) è detta spazio vettoriale (o lineare) su K se:

1. La somma è commutativa: v + u = u + v.
2. La somma è associativa: (u + v) + w = u + (v + w).
3. Esiste l'elemento nullo per la somma: v + 0 = 0 + v = v.
4. Esiste l'opposto: u + (−u) = 0.
5. Il prodotto di uno scalare è distributivo rispetto alla somma: λ(v + u) = λv + λu.
6. Il prodotto di uno scalare è distributivo su K: (λ + α)u = λu + αu.
7. Il prodotto per uno scalare è associativo: λ(αu) = α(λu).
8. Esiste l'elemento neutro per il prodotto: 1 · u = u.

Esempi di spazi vettoriali

• V = Rⁿ, insieme dei piani e le sue operazioni.
• V = M_m,n(R), insieme delle matrici e le sue operazioni.
• V = P_n, insieme dei polinomi di grado < n e le sue operazioni.

Gli elementi di uno spazio vettoriale sono detti vettori.

Un vettore v si dice combinazione lineare dei vettori u₁, u₂, …, u_n se esistono scalari λ₁, λ₂, …, λ_n tali che v = λ₁u₁ + λ₂u₂ + … + λ_nu_n.

Per esempio, ogni elemento di R² si scrive come combinazione lineare dei vettori (1, 0) e (0, 1).

Se abbiamo λ₁u₁ + λ₂u₂ + … + λ_nu_n = 0 solo quando tutti λ₁, λ₂, …, λ_n = 0, parliamo di indipendenza lineare. Se la relazione vale anche con uno o più λ diversi da 0, i vettori sono linearmente dipendenti.

Gli spazi vettoriali, questi sconosciuti

B = {u₁, u₂, …, u_n} è una base di V se:

1. I vettori u sono linearmente indipendenti.
2. B è un sistema di generatori di V, ovvero ogni vettore di V si può scrivere come combinazione lineare dei vettori in B, cioè ∀v ∈ V ∃λ_j, 1 < j < n: v = λ₁u₁ + λ₂u₂ + … + λ_nu_n.

Teorema

Esiste sempre ed è unica la rappresentazione di un vettore in una base data.

∀v ∃! λ₁, λ₂, …, λ_n: v = λ₁u₁ + λ₂u₂ + … + λ_nu_n.

L'esistenza è implicita dalla definizione stessa di base.

Assumiamo che esistano altri coefficienti α tali che v = α₁u₁ + α₂u₂ + … + α_nu_n = λ₁u₁ + λ₂u₂ + … + λ_nu_n.

Portiamo tutti i termini allo stesso membro e mettiamo in evidenza: (α₁ − λ₁)u₁ + (α₂ − λ₂)u₂ + … + (α_n − λ_n)u_n = 0.

Siccome B è una base, i suoi vettori u sono linearmente indipendenti: questa relazione è verificata solo quando tutti i coefficienti degli u sono pari a zero: (α_n − λ_n) = 0, α_n − λ_n = 0, quindi α_n = λ_n. C.V.D.

Abbiamo quindi dimostrato che i coefficienti in una base esistono sempre e sono unici: essi prendono in nome di componenti o coordinate di v in B: c_B(v) = (λ₁, λ₂, …, λ_n).

Se la base B è detta canonica, ad esempio v = (1, 0), c_B(v) = (1, 0).

Lemma di Steinitz

Un sistema che contiene più vettori di quanti ne contenga la base è linearmente dipendente.

T = {v₁, v₂, …, v_m}, m > n, dato con B = {u₁, u₂, …, u_n} implica T linearmente dipendente.

Essendo B una base possiamo scrivere ogni v come una combinazione lineare di B:

v₁ = a₁₁u₁ + a₂₁u₂ + … + a_n1u_n.

v₂ = a₁₂u₁ + a₂₂u₂ + … + a_n2u_n.

…

v_m = a_1mu₁ + a_2mu₂ + … + a_nmu_n.

Ma, sempre perché B è una base, i suoi vettori devono essere linearmente indipendenti:

λ₁v₁ + λ₂v₂ + … + λ_mv_m = 0.

Sostituiamo:

λ₁(a₁₁u₁ + a₂₁u₂ + … + a_n1u_n) + λ₂(a₁₂u₁ + a₂₂u₂ + … + a_n2u_n) + … + λ_m(a_1mu₁ + a_2mu₂ + … + a_nmu_n) = 0.

Facciamo i calcoli e mettiamo in evidenza i vari u:

(λ₁a₁₁ + λ₂a₁₂ + … + λ_ma_1m)u₁ + (λ₁a₂₁ + λ₂a₂₂ + … + λ_ma_2m)u₂ + … + (λ₁a_n1 + λ₂a_n2 + … + λ_ma_nm)u_n = 0.

Per essere T linearmente indipendente, esso deve avere tutti i coefficienti di u pari a zero:

λ₁a₁₁ + λ₂a₁₂ + … + λ_ma_1m = 0.

λ₁a₂₁ + λ₂a₂₂ + … + λ_ma_2m = 0.

…

λ₁a_n1 + λ₂a_n2 + … + λ_ma_nm = 0.

Otteniamo così un sistema di m equazioni ed n incognite in λ. Siccome m > n per ipotesi, avremo un sistema di infinite soluzioni. Esistendo dunque anche soluzioni diverse da zero, il sistema T è linearmente dipendente. C.V.D.

Teorema della base

Tutte le basi dello stesso spazio vettoriale hanno lo stesso numero di vettori (= dimensione).

B₁(u₁, …, u_n) è base di V e B₂(v₁, …, v_m) è linearmente indipendente: per il Lemma di Steinitz m ≤ n.

B₁(u₁, …, u_n) è linearmente indipendente e B₂(v₁, …, v_m) è base di V: per il Lemma di Steinitz n ≤ m.

Quindi per forza n = m. C.V.D. Questo numero prende il nome di dimensione di V e si indica con dim V.

Teorema

Basta che B sia linearmente indipendente perché sia una base.

Dimostriamo che B è anche generatrice in uno spazio V con dim V = n:

Esistono λ₁, λ₂, …, λ_n, λ_n+1 non tutti nulli tali che λ₁u₁ + … + λ_nu_n + λ_n+1v = 0.

Visto che B è linearmente indipendente per ipotesi, tutti i suoi coefficienti λ₁, λ₂, …, λ_n saranno pari a zero. Siccome i coefficienti devono essere non tutti nulli, dovrà essere λ_n+1 diverso da zero.

Allora potremo scrivere v come combinazione lineare degli elementi di B usando −λ_n+1 come coefficienti:

v = −λ₁/λ_n+1 u₁ + … + −λ_n/λ_n+1 u_n.