Analisi matematica i - Eliminazione di Gauss, Spazi vettoriali e vettori

Risoluzione sistemi lineari: metodo di eliminazione di Gauss

Combinazione lineare di oggetti

Una combinazione lineare di oggetti u_k e v_t è multipla. Un sistema lineare di vettori incogniti x₁, x₂ e costanti b₁, b₂ con matrici di coefficienti ridotte all'unità.

Esempio di sistema lineare

3x - 2y + t = 2
2x + y + 6z = -3

Operazioni ammesse

• Moltiplicazione per m di un coefficiente ≠ 0.
• Sostituzione che attribuisce un m ai coefficienti.
• Scambiare liberamente le espressioni (1 ↔ 1) e sostituire le righe.

Con combinazioni lineari si avvia il processo di riduzione in forma scalare con sostituzione retrograda per risolvere le incognite.

Esempi di sistemi

4x - 4z = 4
0x - 18x + t = 0
(0x + 4y + z = t)

Esempio: 1 + 3x - 5x₃ = 1 (II).
2x + 4x₂ + 4x₃ = 5

Matrice dei coefficienti

1 -3 -5 4 (II)
2 1 4 9 (II)
2 -10 -11 0 (III)

Matrice completa

NB: Se appare la riga impossibile 0 = b, il sistema è impossibile e il piano del sistema lineare indica che non c'è soluzione.

Osservazione sui sistemi omogenei

K + 4x + 0x₂ + 3x₃ = 0
-x - 2x₂ + 6x₃ = 0
2x - x₂ - x₃ = 0

Non può mai apparire la riga impossibile 0=1 in un sistema omogeneo. Questo complesso è detto anche di stabilità, indicando che il sistema ha un'unica soluzione, la soluzione banale.