Analisi matematica I - matrici

Le matrici: queste sconosciute

Una matrice di numeri reali è una tabella di m x n numeri disposti su m righe e n colonne.

∈A M R( )m, n ⋯( )a a₁₁ 1n A= ⋮ ⋱ ⋮ ⋯a a_1n mn 1<i< m A a( )i, j 1< j< n

Le matrici sono utili per la risoluzione di sistemi lineari. Una sottomatrice pxq si ottiene dalla matrice A cancellando m-p righe e n-q colonne.

La condizione di uguaglianza di matrici è che abbiano lo stesso numero di righe e colonne e gli stessi coefficienti. La trasposta di una matrice si ottiene scambiando le righe e le colonne e si indica con T: A^T m, n n, m n.

La matrice quadrata ha lo stesso numero di righe e colonne e si indica con ∈A M R( )n. Questa si dice simmetrica se è uguale alla sua trasposta, antisimmetrica se è uguale al suo opposto, ovviamente questo può verificarsi solo nel caso la diagonale principale sia uguale a 0 (perché solo -0=0).

La matrice triangolare superiore è quella che invece ha tutti i termini sotto la diagonale nulli (∀a_i>j=0). Viceversa, quella triangolare inferiore ha nulli i termini al di sopra della diagonale (∀a_i<j=0). La matrice diagonale ha invece nulli tutti i termini eccetto appunto quelli della diagonale principale (∀a_i≠j=0).

La matrice identità (I) è quella che ha tutti i termini nulli eccetto quelli della diagonale principale che sono =1.

Operazioni con le matrici

La somma di due matrici è una matrice che ha per coefficienti la somma dei coefficienti degli addendi.

Il prodotto di una matrice per uno scalare si ottiene moltiplicando per esso ciascun λ · A= A λ · a( )coefficiente i, j.

Il prodotto riga per colonna si fa eseguendo la somma del prodotto di ogni coppia: a_1n · b_n1 + a_2n · b_n1 + ...

Il prodotto tra matrici si configura come serie di prodotti riga per colonna:

⋯(riga 1 · colonna 1) (riga 1 · colonna n) A= ⋮ ⋱ ⋮ ⋯(riga m · colonna n) (riga m · colonna n)

Determinante

In algebra lineare, il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata uno scalare che ne sintetizza alcune proprietà algebriche (it.wiki). Ci sono varie regole per calcolare un determinante, anche a seconda del rango o ordine della matrice. Esso si indica col simbolo di valore assoluto. Di seguito le regole:

M di ordine ⟶A a A∣ ∣( ) =a₁₁ 111 M di ordine a a