Analisi matematica I - matrici

A=−A

( )

opposto . Ovviamente questo può verificarsi solo nel caso la diagonale principale

sia uguale a 0 (perché solo -0=0).

La matrice triangolare superiore è quella che invece ha tutti i termini sotto la diagonale

∀

a i> j

=0

nulli ( ). Viceversa quella triangolare inferiore ha nulli i termini al di sopra

ij ∀

a i< j

=0

della diagonale ( ). La matrice diagonale ha invece nulli tutti i termini eccetto

ij ∀

a i≠ j

=0

appunto quelli della diagonale principale ( ).

ij

I

La matrice identità ( ) è quella che ha tutti i termini nulli eccetto quelli della diagonale

n

principale che sono =1

La somma di due matrici è una matrice che ha per coefficienti la somma dei coefficienti

degli addendi.

Il prodotto di una matrice per uno scalare si ottiene moltiplicando per esso ciascun

λ ∙ A= A λ ∙ a

( )

coefficiente i , j Le Matrici, queste sconosciute

Il prodotto riga per colonna si fa eseguendo la somma del prodotto di ogni coppia:

a b b a a

+a +…+

1n n1 1n n1 1n n1

Il prodotto tra matrici si configura come serie di prodotti riga per colonna:

⋯

( )

riga 1∙ colonna1 riga 1∙ colonna n

A= ⋮ ⋱ ⋮

⋯

riga m∙ colonnan riga m∙ colonna n

In algebra lineare, il determinante è una funzione che associa ad ogni matrice quadrata

uno scalare che ne sintetizza alcune proprietà algebriche (it.wiki). Ci sono varie regole per

calcolare un determinante, anche a seconda del rango o ordine della matrice. Esso si indica

col simbolo di valore assoluto. Di seguito le regole:

M di ordine ⟶

A a A

∣ ∣

( ) =a

11 11

1

M di ordine a a

( ) ⟶

A A a a

∣ ∣

11 12 =a −a

2 11 22 21 12

a a

21 22

M di ordine Regola di Sarrus: Somma dei prodotti dei termini della diagonale principale e

3 delle sue parallele meno la somma dei prodotti delle altre diagonali

M di ∈

A M R

( )

Applicando il primo teorema di Laplace alla matrice n

ordine>3 n

∑ i+ j ∣ ∣

∣ ∣

A a A

= (−1) ij ij

j=1

∣ ∣

A

Dove è la sottomatrice di A a cui sono state cancellata la riga i e la

ij

colonna j.

Il determinante ha determinanti proprietà:

∣ ∣

T

∣ ∣

A A

=

1.

2. se due righe o due colonne sono proporzionali il determinante è =0

3. se scambiamo tra loro due righe o due colonne il determinate cambia segno. (doppio

scambio, torna uguale) λ λ ∙ A

∣ ∣

4. se moltiplichiamo una riga o una colonna per , il differenziale diventerà

5. se aggiungiamo a una riga il multiplo di un altra riga il determinante non cambia (idem

per le colonne)

6. In una matrice triangolare il determinante è il prodotto di tutti gli elementi della

diagonale −1 −1 −1

A A ∙ A=A ∙ A =I

Una matrice quadrata si dice inversa ( ) se

Una matrice è invertibile se e solo se il determinante è diverso da zero (altrimenti si chiama

matrice singolare). Le Matrici, queste sconosciute

a

Il complemento algebrico (o aggiunto) di consiste nel singolo coefficiente della

ij i+ j

∣ ∣

a ' A

=(−1)

sommatoria di Laplace e si indica così: ij ij

C

la matrice complementare è quella formata da suddetti complementi. La sua

T

T agg A

( )

C =C

trasposta si chiama matrice aggiunta:

il 2 teorema di Laplace fa uso di suddetti complementi: di esso non ho capito un tubero

n { A coni=k

∣ ∣

∑ 'ij

a ∙a =

kj 0 con i≠k

k=1

la matrice inversa si può calcolare con due procedimenti: agg( A)

−1

A =

1. calcolando l'aggiunta e dividendo ogni termine per il determinante ∣ ∣

A

A

2. applicando le mosse di gauss a una matrice formata unendo la matrice con la

I I

A

matrice fino a trasformare la matrice in . A questo punto avremo al

n n

I A.

posto di proprio la matrice inversa

n

Risoluzione dei sistemi tramite le matrici: eccoci arrivati allo scopo di tutta questa (breve)

trattazione sulle matrici. m x n

Possiamo rappresentare un sistema lineare di m equazioni ed n incognite ( ) con le

matrici A, X e B.

{ a x x a x

+a +…+ =b ∈

A= a M R)

11 1 12 2 1n n 1 ( ) ( matriceincompleta

ij mn

a x x …+a x

+a + =b ⟺ AX=B

21 1 22 2 2n n 2 vettore soluzione

X ; x ; … ; x

=(x )

dove 1 2 n

… vettore termini noti

B=(b ; b ; … ; b )

a x x …+a x

+a + =b 1 2 n

m1 1 m2 2 mn n m

Per ottenere il vettore soluzioni basta applicare l'inverso di A a entrambi i membri.

−1 −1 −1

⟺ ⟺

AX A A X= A B X= A B

=B

In questo primo modo potremo ottenere attraverso il calcolo dell'inverso e i prodotti riga x

colonna le soluzioni. Cramer ha ideato un metodo più semplice che permette di non B

calcolare l'intera matrice inversa, ma solo alcuni determinanti: definiamo la matrice la

n