Matrici e analisi

Algebra

• MATRICI E VETTORI
• MATRICE: m (righe) x n (colonne)
• VETTORE: riga (1xm) o colonna (mx1) → se Det=0 → vettori complanari
• MATRICI/VETTORI UGUALI: hanno gli stessi elementi nelle stesse posizioni
• MATRICE SIMMETRICA: se uguale alla sua trasposta
• MATRICE NULLA: ogni elemento è uguale a 0
• SOMMA: a_n+b_i, a₂₂+b₂₂, ...
• PRODOTTO SCALARE: ogni elemento viene moltiplicato per λ
  • Se a·b=0 → ⊥
• PRODOTTO VETTORIALE:
  • I J K
  • a₁ a₂ a₃
  • b₁ b₂ b₃
  • Area con 2 vettori: x·y→modulo
  • Volume: (i·n↑j·k)
  • Se 2∧b=0 ≡ //
• PRODOTTO RIGHE x COLONNE: n. colonne di A = n. righe di B
  • Proprietà associativa ma non commutativa
• MODULO DI UN VETTORE: √x²+y²+z²
• VERSORE: vettore di modulo uguale a 0
  • NORMALIZZAZIONE (trasformazione in versore):
    • vettore / modulo
• ANGOLO TRA DUE VETTORI α:
  • u·v → prodotto scalare
  • |u|·|v| → prodotto dei moduli

• CARATTERISTICA
  • ORDINE MASSIMO DEI MINORI NON SINGOLARI
  • Se la caratteristica di M è massima (DetM≠0), allora le sue linee/colonne sono linearmente indipendenti

Algebra

• Matrici e vettori
• Matrice: m (righe) x n (colonne)
• Vettore: Riga (1xm) o colonna (mx1) → se Det=0 ⇒ vettori complanari
• Matrici/vettori uguali: Hanno gli stessi elementi nelle stesse posizioni
• Matrice simmetrica: Se uguale alla sua trasposta
• Matrice nulla: Ogni elemento è uguale a 0
• Somma: a₁₁+b₁₁, a₂₂+b₂₂, ...
• Prodotto scalare: Ogni elemento viene moltiplicato per λ
  • Se a•b=0 ⇒ ⟷
• Prodotto vettoriale: ijk a₁a₂a₃ b₁b₂b₃

  Area con 2 vettori: x×y→moduloArea con 3 vettori: determinanteVolume: (i∧j)·k

  • Se a∧b=0 ⇒ //
• Prodotto righe×colonne: n colonne di A = n righe di B [m;x] [x;m]
  • Proprietà associativa ma non commutativa
• Modulo di un vettore: √x²+y²+z²
• Versore: Vettore di modulo uguale a 0
  • Normalizzazione (trasformazione in versore): vettore modulo
• Angolo tra due vettori α: u•v = |u|•|v| → prodotto scalare, prodotto dei moduli
• Caratteristica
• Ordine massimo dei minori non singolari
• Se la caratteristica di M è massima (DetM ≠ 0), allora le sue linee/colonne sono linearmente indipendenti

Determinante

• Se DetM = 0 allora la matrice è singolare.
• Sarrius (3x3): (1*2*3) - (4*5*6)
• Laplace eliminazione di righe/colonne

A(eI-FH) - B(DI-FG) + C(DH-GE)

Proprietà

1. DetA = DetA_trasposta
2. Scambio di due righe: DetA = -DetA
3. Det = 0 se:
• riga/colonna nulla
• due righe/colonne uguali
• " " " proporzionali

Sistemi Lineari

• M^-1 matrice inversa esiste se DetM ≠ 0
• Det dei minori: trasposta, tutto diviso DetM
• M*M^-1 = I matrice identità (tutti 0, 1 su diagonale)

Sistemi Crameriani

• m*m e DetM ≠ 0 unica soluzione

Risoluzione

1. Sostituisco 1^a colonna di M con m
2. Calcolo il DetM e DetM_m
3. Soluzione:

x = DetM_m / DetM

Sistemi non crameriani (DetM=0)

1. mn → Calcolo la caratteristica di M
   • carM = m → ∞^m-n soluzioni
   • carM < m e carM = carMlm → ∞^m-2z soluzioni
   • carM < m e carM ≠ carMlm → 0 soluzioni

Sistemi omogenei

• M x = 0
  • x = 0 → soluzione banale
• DetM = 0 → esistono anche soluzioni banali
• DetM ≠ 0 → esistono solo soluzioni banali

Autovalori e autovettori

• Matrice diagonale D = S M S^-1
• Calcolo di autovalori e autovettori
  1. Tutti gli elementi sulla diagonale
  2. Calcolo il valore degli autovalori
  3. Sostituisco un autovalore alla volta a λ
  4. Calcolo il determinante (se due elementi uguali su diagonale)
  5. Creo il sistema e calcolo le colonne degli autovettori

P.S. se manca la legge

terza negli autovettori e λ

• Le coniche

Ax²+Bxy+Cy²+Dx+Ey+F=0

• Geometria analitica

Distanza tra due punti: AB=√(xB-xA)²+(yB-yA)²+(zB-zA)²

Equazione del piano passante per P₀(x₀,y₀,z₀) e avente direzione n[a;b;c].

Ax+By+(z-z₀)=A(x-x₀)+B(y-y₀)+C(z-z₀)

Retta: y=mx+q z=ax+by+c

Forma parametrica

x=x₀+t

y=y₀+bt

z=z₀+ct

• Circonferenza

x²+y²+Ax+By+C=(X-X_c)²+(Y-Y_c)²=r²

Forma parametrica: {X: X_c+Σcos

Y: Y_c+Σsin

Analisi

• Funzione

A → B

• Ogni elemento x appartenente ad un solo elemento di B
• Grafico di una funzione: G = ∈ P(x, y) : x ∈ A y ∈ B
• Funzioni uguali: hanno lo stesso dominio e sono algebricamente equivalenti
• Funzione pari: f(x) = f(-x) ➔ simmetria rispetto ad asse y (y simmetrico)
• Se f(x) e g(x) sono pari, allora:
  • f·g, h pari
  • p·g, h pari
  • p/g, h pari
• Funzione dispari: f(-x) = -f(x) ➔ simmetria rispetto all'origine
• Se f(x) e g(x) sono dispari, allora:
  • f·g, h dispari
  • p·g, h pari
  • p/g, h pari (h dispari se p, q è pari)
• Funzione periodica: f(x+T) = f(x)
• Teorema degli zeri: se f: [a; b] → R (continua) e f(a) e f(b) sono discordi, allora esiste un punto c nel intervallo tra a e b tale che f(c) = 0
• ∃ c ∈ (a; b) | f(c) = 0

• Funzioni elementari
• 1) y = k^x
• D: R
• Pari
• Nessuno zero

Analisi

• Funzione

A → B

Ogni elemento x appartenente ad A si associa ad uno e un solo elemento di B

• Grafico di una funzione: G = {(x, f(x)) | x ∈ A }
• Funzioni uguali: hanno lo stesso dominio e sono algebraicamente equivalenti
• Funzione pari: f(x) = f(-x) → simmetria rispetto ad asse y (D simmetrico)
• Se f(x) e g(x) sono pari, allora: f · g, h pari
• f : g, h pari
• f(g), h pari
• Funzione dispari: f(-x) = -f(x) → simmetria rispetto all'origine
• Se f(x) e g(x) sono dispari, allora: f · g, h dispari
• f : g, h pari
• f(g), h pari _d è dispari se f^d e g è pari
• Funzione periodica: f(x + T) = f(x)
• Teorema degli zeri: se f: [a; b] → R (continua) e f(a) e f(b) sono discordi, allora esiste un punto c nel intervallo tra a e b tale che f(c) = 0

⇒ ∃c∈(a,b)|f(c)=0

• Funzioni elementari

y = k

• D : R
• Cod : k
• Pari
• Nessuno zero

2) y=x

• D: R
• Cod: R
• Dispari
• Zero in x=0

3) y=x²

• D: R
• Cod: [0;+∞)
• Pari
• Zero in x=0; Minimo in x=0

4) y=x³

• D: R
• Cod: R
• Dispari
• Zero in x=0

5) y=√x

• D: [0;+∞)
• Cod: [0;+∞)
• Zero in x=0
• Monotona crescente

6) y=1/x

• D: R\{0}
• Cod: R\{0}
• Dispari
• Nessuno 0 (asintoto)

7) y=e^x

• D: R
• Cod: (0;+∞)
• Monotona crescente
• Asintoto: y=0

8) y=log_ax

• D: (0;+∞)
• Cod: R
• Monotona crescente
• Zero in x=1
• Asintoto: x=0

y = cosx

• D: R
• Cod: [-1; 1]

zeri in k_π⁄2

y = sinx

• D: R
• Cod: [-1; 1]

zeri in kπ

D: Σx ∈ R | x ≠ n _π 2kz; k ≠ 0 ∈ kz

• Cod: R

• Trasformazioni elementari

1. Traslazione:
• Verticale → y: f(x) + k
• Orizzontale → y: f(x + k)

+k: SX | -k: DX

2. Dilatazione:
• Verticale → y: kf(x)
• Orizzontale → y: f(x|k|)

k > 0: Restrizione | k < 0: Allargamento

3. Ribaltamento:
• Verticale → k(f(x) → f(x)) k: -1
• Orizzontale → f(kx) → f(-x)
4. y: |f(x)| → Tutto sopra asse delle x
5. y: f|x| → Specchia la dx a sx

• Dominio delle funzioni

• Razionale intera: R
• Razionale fratta: denominatore ≠ 0
• Irrazionale: √f(x)
• - m pari: f(x) ≥ 0
• - m dispari: Dominio di f(x)
• Logaritmica: x > 0 | x ≠ 0 → x > 1
• Esponenziale: Dominio di f(x)
• Cosx e Sinx: R
• Tgx: cosx ≠ 0 (R - Σkπ _π)
• cosec: sinx ≠ 0 (R - Σkπ

I LIMITI

• lim (x→x₀) f(x) = L → ∀ε > 0 ∃ I(x₀) ∀x ∈ I, x ≠ x₀ ➞ |f(x) - L| < ε
• lim (x→x₀) f(x) = +∞ → ∀M > 0 ∃ I(x₀) ∀x ∈ I, x ≠ x₀ ➞ f(x) > M
• lim (x→±∞) f(x) = L → ∀ε > 0 ∃α > 0 ∀x > α ➞ |f(x) - L| < ε
• lim (x→±∞) f(x) = +∞ → ∀M > 0 ∃α ∀x > α ➞ f(x) > M
• lim (x→±∞) f(x) = -∞ → ∀M > 0 ∃α ∀x > α ➞ f(x) < M

CALCOLO DEI LIMITI

• Per funzione continua sostituire alla x il valore
• ∞/∞ → Raccogliere la potenza di grado maggiore
• ∞/∞ → Raccogliere al denominatore e al numeratore

Grado maggiore:

1. N > D ➞ lim = ∞
2. N < D ➞ lim = 0
3. N = D ➞ lim: Rapporto tra coefficienti di grado maggiore

N e D in fattori primi, sostituire x₀ in x, lim: Rapporto

• Limiti notevoli
• lim (x→0) (sin(x)/x) = 1
• lim (x→0) ((eˣ - 1)/x) = 1

• lim (x→0) ((ln(1+x))/x) = 1
• lim (x→+∞) ((1 + 1/x)ˣ) = e
• (((4x)ˣ)ˋ)ˋ)ˋ)ˋ))

Gerarchia dei limiti

• eˣ > xⁿ > ln(x)

Da considerare per calcolo dei limiti

• I LIMITI

  • →₀ lim () =

  • →₀ lim () = +∞

  • →±∞ lim () =

  • →±∞ lim () = +∞

  • →±∞ lim () = −∞

• CALCOLO DEI LIMITI

  • Per funzione continua sostituire alla il valore a cui tende
  • ±∞ / ∞ raccogliere la potenza di grado maggiore (termine)
  • ∞ / ∞ raccogliere al denominatore e al numeratore la potenza di
    • Grado maggiore:
      1. > : lim = ∞
      2. < : lim = 0
      3. = : lim = rapporto tra coefficienti di grado maggiore
  • % e in fattori primi, sostituire ₀ in , lim = rapporto

• LIMITI NOTEVOULI

  • →0 lim (sin()/) = 1

  • →0 lim (^−1)/ = 1

  • →0 lim (ln(+1)/) = 1

  • →0 lim (1+1/)/(4)^1/ =

• GERARCHIA DEI LIMITI

  > > ln() → da considerare per calcolo dei limiti

La derivata di una funzione

lim_h→0 [f(x₀ + h) - f(x₀)] / h = f'(x₀) → se finito, f(x) in quel punto è derivabile

Derivate fondamentali

• y = k → f'(x): 0
• y = x → f'(x): 1
• y = x^m → f'(x): mx^m-1
• y = a^x → f'(x): a^x ln a
• y = e^x → f'(x): e^x
• y = log_ax → f'(x): 1/(x ln a)
• y = ln x → f'(x): 1/x
• y = sin x → f'(x): cos x
• y = cos x → f'(x): -sin x
• y = tg x → f'(x): cos²x = 1 + 1/cos²x
• y = cotg x → f'(x): 1/sin²x = -1 - cotg x
• y = arcsin x → f'(x): 1/√(1-x²)
• y = arccos x → f'(x): -1/√(1-x²)
• y = arctan x → f'(x): 1/(1 + x²)

Derivate delle funzioni composte

• y = [f(x)]ⁿ → f'(x) = n[f(x)]^n-1 f'(x)
• y = f(x)^1/2 → f'(x) = 1/(2√(f(x))) f'(x)
• y = ln(f(x)) → f'(x) = f'(x)/f(x)
• y = e^f(x) → f'(x) = e^f(x) f'(x)

Regole di derivazione

• f(x) + g(x) → f'(x) + g'(x)
• f(x) - g(x) → f'(x) - g'(x)
• f(x) g(x) → [f'(x) g(x) + f(x) g'(x)]
• f(x)/g(x) → [f'(x) g(x) - f(x) g'(x)] / [g(x)]²
• f(g(x)) → f'(g(x)) · g'(x)
• k f(x) → k f'(x)

Funzione inversa → f'(x): 1/ρ'(x)

• Punti di non derivabilità

• Flessi di tangente verticale: f'(x), f'(x)=∞ limiti dx e sx infiniti di stesso segno
• Punti angolosi: f'(x) ≠ f'(x) limiti dx e sx finiti ma hanno valori diversi
• Punti di cuspide: f '(x) = +∞
•              f '(x) = +∞ limiti dx e sx infiniti ma di segno opposto

• Teoremi

• Fermat: sia f(x) definita in [a;b] e sia x₀ un punto di max/min relativo interno ad [a;b], se f(x) è derivabile in x₀, allora f'(x)=0
• Rolle: sia f(x) continua e derivabile in [a;b], se f(a)=f(b) allora esiste un punto x₀ ∈ (a;b) per cui f'(x₀) = 0
• Lagrange: sia f(x) continua in [a;b] e derivabile, esiste un punto x₀, ∈ (a;b) per cui f'(x₀) = (b)-(a) / b-a

• Studio di funzione

1. Dominio di f(x)
2. Simmetrie? Vedere se il dominio è simmetrico → Sì? f(-x)= ⁻f(x) / f(x)
3. Limiti ed eventuali asintoti
4. Derivata prima: calcolo f'(x)
5.          f'(x) > 0 → x₀, x₁
6.          Sostituisco x₀, x₁ in f(x) → trovo x e y del punto di max/min
7. Derivata seconda (concavità)

• Integrali

• ∫  f'(x) dx = F(x) + c
• f'(x) = √ [(per x:} F(x) e F(x) = una primitiva di f(x) se F(x)=f(x)+c e F'(x)=f(x)

• Teorema se F(x) è una primitiva di f(x) allora tutte e sole le primitive di f(x) sono F(x)+c