Matrici e analisi

Algebra

• Matrici e vettori
• Matrice: m (righe) x m (colonne)
• Vettore: riga (1xm) o colonna (mx1) → se Det = 0 ⇒ vettori complanari
• Matrici/vettori uguali: hanno gli stessi elementi nelle stesse posizioni
• Matrice simmetrica: se uguale alla sua trasposta
• Matrice nulla: ogni elemento è uguale a 0
• Somma: a₁₁+b₁₁, a₂₂+b₂₂...
• Prodotto scalare: ogni elemento viene moltiplicato per λ
  • Se a·b·0 ⇒ ⊥
• Prodotto vettoriale: ijk a₁a₂a₃ b₁b₂b₃
  • Area con 2 vettori: x·y→modulo
  • Area con 3 vettori: determinante
  • Volume: (i·j·k) scalare vettoriale
  • Se a∧b·0 ⇒ //
• Prodotto righe x colonne: n colonne di A = n righe di B → [_mixm]
• Proprietà associativa ma non commutativa
• Modulo di un vettore: √x²+y²+z²
• Versore: vettore di modulo uguale a 0
  • Normalizzazione (trasformazione in versore): vettore / modulo
• Angolo tra due vettori α: u·v / |u|·|v| = prodotto scalare = prodotto dei moduli

• Caratteristica
• Ordine massimo dei minori non singolari
• Se la caratteristica di M è massima (Det M ≠ 0), allora le sue linee/colonne sono linearmente indipendenti

DETERMINANTE

• Se DetM = 0 allora la matrice è singolare
• Sarrus (3x3): (1*2*3') - (4'*5*6)
• Laplace: eliminazione di righe/colonne

A B C

D E F

G H I

A(ei-FH) - B(di-FG) + C(dh-ge)

Proprietà

1. DetA = DetA_trasposta
2. Scambio di due righe: DetA = -DetA
3. Det = 0 se:
• Riga/colonna nulla
• Due righe/colonne uguali
• "" "" proporzionali

Sistemi lineari

M'X = M^-1 m

M^-1: matrice inversa → esiste se DetM ≠ 0

Det dei minori trasposta, tutto diviso DetM

M·M^-1 = I → matrice identità (tutti 0, 1 su diagonale)

Sistemi crameriani

m: m e DetM ≠ 0 → unica soluzione

Risoluzione

1. Sostituisco 1ª colonna di M con m
2. Calcolo DetM e DetM_m
3. Soluzione: x = DetM_m / DetM

Analisi

• Funzione

Ogni elemento x appartenente ad A si associa ad uno e un solo elemento di B

• Grafico di una funzione: G = { P(x; f(x)) | x ∈ A }
• Funzioni uguali: Hanno lo stesso dominio e sono algebricamente equivalenti

• Funzione pari: f(x) = f(-x) → Simmetria rispetto ad asse Y (D simmetrico)

Se f(x) e g(x) sono pari, allora:

• f · g - h pari
• f : g - h pari
• f / g - h pari

• Funzione dispari: f(-x) = -f(x) → Simmetria rispetto all'origine

Se f(x) e g(x) sono dispari, allora:

• f · g - h dispari
• f : g - h pari
• f / g - h pari } h è dispari se f o g è pari

• Funzione periodica: f(x + T) = f(x)
• Teorema degli zeri: Se f: [a; b] → ℜ (continua) e f(a) e f(b) sono discordi, allora esiste un punto c nel intervallo tra a e b tale che f(c) = 0 ⇒ ∃ c ∈ (a, b) | f(c) = 0

• Funzioni elementari

1. y = k

• - D: ℜ
• - Cod.: k
• - Pari
• - Nessuno zero

La derivata di una funzione

_lim^h→0 [f(x₀+h) - f(x₀)]/h = f'(x₀) ➝ se finito, f(x) in quel punto è derivabile

Derivate fondamentali

• y = k ➝ f'(x) = 0
• y = x ➝ f'(x) = 1
• y = xⁿ ➝ f'(x) = nx^n-1
• y = a^x ➝ f'(x) = a^xln a
• y = e^x ➝ f'(x) = e^x
• y = log_ax ➝ f'(x) = 1/(xln a)
• y = ln x ➝ f'(x) = 1/x
• y = sin x ➝ f'(x) = cos x
• y = cos x ➝ f'(x) = -sin x
• y = tg x ➝ f'(x) = cos^-2x = 1 + tg²x
• y = cotg x ➝ f'(x) = -1/sin²x = -1 - cotg²x
• y = arcsin x ➝ f'(x) = 1/√(1-x²)
• y = arccos x ➝ f'(x) = -1/√(1-x²)
• y = arctg x ➝ f'(x) = 1/(1+x²)
• y = arccotg x ➝ f'(x) = -1/(1+x²)

Derivate delle funzioni composte

• y = [f(x)]^m ➝ f'(x) = m[f(x)]^m-1·f'(x)
• y = √f(x) ➝ f'(x) = 1/(2√f(x)) · f'(x)
• y = ln[f(x)] ➝ f'(x) = f'(x)/f(x)
• y = e^f(x) ➝ f'(x) = f'(x) e^f(x)

Regole di derivazione

• f(x) + g(x) ➝ f'(x) + g'(x)
• f(x) · g(x) ➝ f'(x) · g(x) + f(x) · g'(x)
• f(x)/g(x) ➝ [f'(x) · g(x) - f(x) · g'(x)]/[g(x)]²
• f(g(x)) ➝ f'(g(x)) · g'(x)
• k f(x) ➝ k f'(x)

Funzione inversa ➝ f^-1(x) ➝ 1/f'(x)