Analisi matematica I - algebra delle matrici

Algebra delle Matrici I

A_m,n Matrice A con m righe e n colonne

a_ij = elemento di A(tra i-esima riga e j-esima colonna)

Se matrici di uguale numero di righe e colonne, si possono sommare, sottraendo l'elemento per elemento.

A[ 1 3 4 ] [2 2 4] [ 1 + 2 3 - 4 4 2 ] = c - A + B

[ 4 3 4 ] - [2 1 2] = [0 3] [1 - 1 -2]

[ 4 2 2 ] c = a_ij = a_ij + b_ij

[ a_ij b_ij ........... ]

Moltiplicazione

moltiplicazione di una matrice per uno scalare: x(m,n) Amm x o∈R xA [(a_ij)x] = [3 4 4] = [0 a_ij, a_ij a_ij]

Esempio: m(2,3) = V spazionin _n, siano i subspazi servizi...

Si con le combinazioni lineari si ottiene una nuova matrice con A righe e B colonne

Base e dimensione n×m

Base canonica

a) c) [ 1 0 0 0 ] [0 0 0] b) d) [ 0 1 0 0 ] [1 0 0]

e) [ 0 0 0 ] [ 0 1 ]

Dimesione=G

Esempio: V insieme di tutti i polinomi in x.

Es: x 1 x₂ x₃ polinomi in x²

l'insieme dei generatori di V

V spazio vettorio di dimensione infinito

Spazi vettoriali: dimensione finita = R in M(2,3)...

(Spazi euclidei) Dimensione infinita (l'insieme dei polinomi)

Insieme di funzioni continue

Sin x\ subset inclus

ALGERBA DELLE MATRICI I

Amxn Matrice A con m righe e n colonne

...

a_ij: elemento di A i-esima riga e j-esima colonna

...

Le matrici di uguale numero di righe e di colonne si possono sommare, sottraendo.

es. somma

A | 1 0 2 4 | + B | 1 4 1 0 | = C = A+B | 2 4 3 4 |

| 3 4 2 3 | | 0 2 0 2 | | 3 6 2 5 |

a_ij = a_ij + b_ij

...

Moltiplicazione di una matrice per uno scalare r

...

es. m(2,3) lucuale di A (3 righe e 2 colonne)

| a, b; c, e; f, g | a* |1 0 0 0 0 0| + b* |0 1 0 0 0 0| + c* |0 0 1 0 0 0| ...

| d, e |

= Somma delle combinazioni lineari si ottiene una nuova matrice con a righe e b colonne

...

Base e Dimensione di M

Base Canonica

a | 1 0 0 | b | 0 1 0 | 0 ...

e 0 0 1 0 0 1 ...

...

Dimensione - G

es. Y insieme di tutti i polinomi n≥3 {λx_n, λx_n-1, ..., x} l'insieme minimo di generatori di V

insieme |x| λx² si riduce ...

Spazi vettoriali - Dimensione finita Rⁿ M(2,3)... (spazi euclidei)

- Dimensione infinita ... (insieme dei polinomi)

insieme di funzioni continue segn. segn. insieme dei polinomi coskx

| R uniforme.

• FORMULA
• ESPONENZIALE

z₁ = (cosθ + isinθ) = g^eiθ

Formula di eulero cosθ + isinθ = e^iθ

z₁z₂ = g₁z₁ cos(θ₁ + θ₂) + i sen(θ₁ + θ₂)

In g esponenziale:

z₁z₂ = g₁ e^iθ₁ g₂ e^iθ₂ = g₁ g₂ e^{i(θ₁ + θ₂)}

ALGEBRA DELLE MATRICI II

A(m,n) a_ij = a₁₁ a₁₂ a₁₃ a₁ ..... a_m1 a_m2

Date le matrici con numero di righe e colonne assegnato, è possibile eseguire il prodotto tra matrici.

PRODOTTO TRA MATRICI

A(c,p) ⋅ B(q,s)

il numero di colonne di A è uguale al numero di righe di B.

A × B = C (p,s)

(C è una matrice con lo stesso n° di righe di A e lo stesso n° di colonne di B.)

C_i,j = Σ a_ik ⋅ b_kj

Prodotto scalare tra righe della prima matrice e colonne della seconda

Proprietà

• ASSOCIATIVA (A×B) × C = A × (B×C), A = B×C
• NON-COMMUTATIVA      A×B = B×A

Sistemi lineari con m righe ed n incognite:

a₁₁x₁ + a₁₂x₂ + ... + a_1mx_m = b₁

a₂₁x₁ + a₂₂x₂ + ... + a_2mx_m = b₂

...

a_m1x₁ + a_m2x₂ + ... + a_nmx_m = b_m

A x = b

TERMINOLOGIA

1) A è quadrata se (n, n)

• Diagonale <=> o_ij = 0                         ∀ i ≠ j

0 0 00 0 00 0 0

• Matrice identità ₁