Analisi matematica I - le proprietà della derivata

Calcolo differenziale per funzioni di una variabile

Definizione di derivata e prime proprietà

Definizione 1.1: Sia f :]a, b[→ℝ. Allora esiste δ > 0 tale che per x + h ∈ ]a, b[, 0 < |h| < δ, se esiste finito il limite lim_h→0 (f(x₀ + h) - f(x₀))/h diciamo che la funzione f è derivabile nel punto x₀ ed il valore del limite si chiama derivata della funzione f nel punto x₀.

Da semplici considerazioni geometriche si ottiene che la derivata di una funzione f in un punto x₀ è il coefficiente angolare della retta tangente al grafico della funzione f nel punto di coordinate (x₀, f(x₀)). L’equazione della retta tangente è quindi y = f(x₀) + f'(x₀)(x - x₀).

Dire che la funzione è derivabile nel punto x₀ equivale a dire che: f(x + h) = f(x₀) + hf'(x₀) + o(h), per h → 0.

Nel caso in cui il rapporto incrementale ha un salto nel punto x₀, diciamo che la funzione presenta un punto angoloso in x₀. Se invece i limiti destro e sinistro del rapporto incrementale sono infiniti al tendere di x ad x₀, allora diciamo che f ha una cuspide nel punto x₀.

Esempi di derivazione

• Esempio 1.1: f: ℝ → ℝ definita mediante la legge f(x) = k, è derivabile in tutti i punti di ℝ e risulta f'(x) = 0.
• Esempio 1.2: f: ℝ → ℝ definita mediante la legge f(x) = xⁿ, con n ∈ ℕ è derivabile in tutti i punti di ℝ e risulta: f'(x) = nx^n-1.
• Esempio 1.3: f: ]0, +∞[→ℝ definita mediante la legge f(x) = x^α, con α > 0 è derivabile in tutti i punti di ]0, +∞[ e risulta: f'(x) = αx^α-1.
• Esempio 1.4: f: ℝ → ℝ definita mediante la legge f(x) = a^x, con a > 0, a ≠ 1 è derivabile in tutti i punti di ℝ e risulta: f'(x) = a^xlog a.
• Esempio 1.5: f: ]0, +∞[→ℝ definita mediante la legge f(x) = log_ax, con a > 0, a ≠ 1 è derivabile in tutti i punti di ]0, +∞[ e risulta: f'(x) = 1/(x log a).
• Esempio 1.6: f: ℝ → ℝ definita mediante la legge f(x) = sen x, è derivabile in tutti i punti di ℝ e risulta: f'(x) = cos x.
• Esempio 1.7: f: ℝ → ℝ definita mediante la legge f(x) = cos x, è derivabile in tutti i punti di ℝ e risulta: f'(x) = -sen x.

Teorema 1.1

Sia f :]a, b[→ℝ sia x₀ ∈ ]a, b[ e sia f derivabile nel punto x₀. Allora f è continua in x₀.

Dimostrazione: Infatti, |f(x) - f(x₀)| = |x - x₀| |f'(x₀)| → 0 per x → x₀.

Naturalmente il teorema non è invertibile come testimonia la funzione f(x) = |x| nell’origine.

Algebra delle derivate

Teorema 2.1

Siano f, g :]a, b[→ℝ e supponiamole entrambe derivabili nel punto x₀. Allora:

• La funzione f + g è derivabile nel punto x₀ e risulta: (f + g)'(x₀) = f'(x₀) + g'(x₀).
• La funzione f · g è derivabile nel punto x₀ e risulta: (f · g)'(x₀) = f'(x₀)g(x₀) + f(x₀)g'(x₀).
• Se la funzione f è diversa da zero in x₀ e derivabile nel punto x₀, allora la funzione 1/f è derivabile e risulta: (1/f)'(x₀) = -f'(x₀)/(f(x₀))².

Dimostrazione: Immediata dalla definizione di derivata.

Teorema 2.2

Sia f :]a, b[→ℝ e g :]c, d[→ℝ con y = f(x₀). Supponiamo che la funzione f(x) sia derivabile in x₀ e che la funzione g(y) sia derivabile in y₀. Supponiamo inoltre che f(]a, b[) ⊆ ]c, d[. Allora la funzione u :]a, b[→ℝ definita ponendo u(x) = g(f(x)) è derivabile nel punto x₀ e si ha:

u'(x₀) = g'(f(x₀))f'(x₀).

Dimostrazione: Dimostriamo il teorema ricorrendo alla definizione di derivata. Calcoliamo cioè il limite del rapporto incrementale relativo alla funzione u(x) nel punto x₀.