Analisi matematica I - le proprietà della derivata

Teorema 2.3

Sia f : ]a, b[ → una funzione continua ed iniettiva che risulti anche derivabile nel punto x e si ha:

0 · u(x) = g(f(x)) · f'(x).

Dim. Dimostriamo il teorema ricorrendo alla definizione di derivata. Calcoliamo cioè il limite del rapporto incrementale relativo alla funzione u(x) nel punto x. Poniamo:

γ(y) =

0, se y < x;

g(y), se y = x;

0, se y > x.

La funzione γ risulta continua perché la funzione g è derivabile ed inoltre si ha:

lim γ(f(x)) = γ(f(x')) · f'(x) = g(f(x)) · f'(x),

dove x' → x.

Quindi, abbiamo dimostrato che 0 · u(x) = g(f(x)) · f'(x), che è quanto si voleva.

Esercizio 2.1 Calcolare la derivata delle seguenti funzioni:

x cos x, log x, |x|.

f(x) =

0, se x < 0;

1, se x = 0;

-1, se x > 0.

G. Di Fazio

derivabile in un intervallo [-1, b). Supponiamo inoltre che f(x) = 0. Allora la funzione f risulta derivabile in [0, b) e risulta f'(f(x)) = 0.

Esempio 2.1 Derivata di arcsen x, arccos x, arctang x.

1.3 Il differenziale. Sia f : ]a, b[ → una funzione derivabile in un punto x ∈ ]a, b[. Dalla definizione di derivata si ha immediatamente che esiste A : R → R tale che f(x + h) = f(x) + Ah + o(h), h > 0.

La funzione lineare φ definita mediante la legge φ(h) = Ah, si dice differenziale di f nel punto x e si indica con il simbolo df.

Osserviamo che, dalla definizione di derivata si ha: A = f'(x) e che viceversa, se vale la formula, la funzione è derivabile in x. A volte, per comodità, si usa scrivere h = dx e quindi f(x + dx) = f(x) + f'(x)dx + o(dx).

1.4 Teoremi fondamentali del calcolo differenziale

Sia f : X → X. Diciamo che la funzione presenta un

massimoR R, 0relativo nel punto x se esiste δ > 0 tale che0 ≤ ∀x ∈ ∩f (x) f (x ), X B (x ).0 δ 0

Diciamo che la funzione presenta un minimo relativo nel punto x se esiste δ > 0 tale che0≤ ∀x ∈ ∩f (x ) f (x), X B (x ).0 δ 04

Appunti di Analisi Matematica I → ∈]a,Teorema 4.1 (Fermat) Sia f : (a, b) una funzione derivabile in un punto x b[ nel qualeR 00f presenta un massimo o un minimo relativo. Allora f (x ) = 0.0

Dim. Per fissare le idee supponiamo che il punto x sia di minimo. Il rapporto incrementale0della funzione f nel punto x risulta quindi positivo in un intorno destro di x e negativo in un0 0intorno sinistro da cui la tesi per definizione di derivata.→Teorema 4.2 (Rolle) Sia f : [a, b] una funzione continua in [a, b], derivabile in ]a, b[ e tale cheR 0∈]a,f (a) = f (b). Allora esiste c b[ tale che f (c) = 0.Dim. Se il massimo ed il minimo della funzione sono assunti sulla frontiera dell’

intervalloallora la funzione è costante e la conclusione è ovvia. In caso contrario almeno uno dei due punti è interno all'intervallo di definizione e quindi la tesi è immediata dal teorema di Fermat.

Teorema 4.3 (Cauchy) Siano f, g : [a, b] due funzioni continue in [a, b] e derivabili in ]a, b[. R∈]a, b[. Allora esiste c∈]a, b[ tale che 0≠(f (b) - f (a))g'(c) = (g(b) - g(a))f'(c).

Dim. La funzione ω : [a, b] definita mediante la legge ω(x) = (f (b) - f (a))g(x) / (g(b) - g(a))f (x) verifica le ipotesi del teorema di Rolle.

Teorema 4.4 (Lagrange) Sia f : [a, b] una funzione continua in [a, b] e derivabile in ]a, b[. R∈]a, b[. Allora esiste c∈]a, b[ tale che 0≠f (b) - f (a) = (b - a)f'(c).

Dim. Basta prendere g(x) = x nel teorema precedente.

Osservazione 4.1 Se f (a) = f (b) si ottiene il teorema di Rolle.

1.5 Alcune conseguenze del teorema di Lagrange

Teorema 5.1 (funzioni a derivata nulla) Sia f : (a, b) una

funzione continua in (a, b) eR 5G.Di Fazio0 ≡derivabile in ]a, b[. Supponiamo che f (x) 0. Allora la funzione è costante in (a, b).∈]a,Dim. Siano x , x b[. Proviamo che f (x ) = f (x ). Basta applicare il teorema di Lagrange1 2 1 2alla restrizione di f all’intervallo [x , x ]. Si ottiene,1 2 0∃c ∈]x − −, x [ : f (x ) f (x ) = f (c)(x x ) = 0.1 2 1 2 1 2 →Teorema 5.2 (caratterizzazione della stretta monotonia) Sia f : (a, b) una funzione con-Rtinua in (a, b) e derivabile in ]a, b[. Condizioni necessarie e sufficienti affinché la funzione f risultistrettamente crescente in (a, b) sono le seguenti:0 ≥ ∀x ∈]a,1. f (x) 0 b[; 02. l’insieme degli zeri di f (x) non ha punti interni. f (x)−f (x ) ∀x 60Dim. Le condizioni sono necessarie. Per definizione di funzione crescente si ha: =x−x00 ≥x da cui passando al limite si trova, f (x ) 0 quindi la 1. Proviamo la 2. Ragionando per0 00 ≡assurdo, si

Troverebbe un intervallo in cui f(0) quindi f sarebbe costante in tale intervallo contro ∈ l'ipotesi. Le condizioni sono sufficienti. Siano x, x (a, b), x < x. Per il teorema di Lagrange, 1 2 1 20 ∃ c ∈ ]x - - ≤ x [ tale che f(x) - f(x) = f(c)(x - x) 0. Per concludere dobbiamo provare che 1 2 1 2 1 2 ≤ ≤ ∀x ∈ ]x f(x) < f(x). Se fosse f(x) = f(x) allora, dal fatto che f(x) - f(x) f(x), , x [1 2 1 2 1 2 1 2 avremmo la funzione costante in [x, x] contro la 2.1 2 Osservazione 5.1 Naturalmente un teorema simile è valido per le funzioni strettamente decrescenti. Esempio 5.1 Monotonia delle funzioni elementari. Mediante il teorema precedente si possono studiare le funzioni elementari e determinare gli intervalli in cui esse risultano monotone. Teorema 5.3 (Darboux sulle derivate) Sia f:]a, b[→ una funzione derivabile. Siano λ = R 10 0 ∈ ]x f(x), λ = f(x). Allora, qualunque γ compreso nell'

intervallo di estremi λ , λ esiste c , x [1 2 2 1 2 1 20tale che f (c) = γ. 0Osservazione 5.2 Se la funzione f è continua la tesi del teorema è già nota. Il fatto importante0è che il teorema è valido anche se la funzione f non è continua.In altri termini:Corollario 5.1 Una derivata non può avere punti di salto.Comunque una derivata può essere discontinua ma, evidentemente le sue discontinuità possonoessere di seconda specie come mostra il seguenteEsempio 5.2 La funzione 1 2 6, x = 0;x sen xf (x) = 0, x = 0,6Appunti di Analisi Matematica Iè derivabile in tutti i punti ma la derivata è discontinua nell’ origine.Definizione 5.1 Sia f :]a, b[→ Una funzione F :]a, b[→ si dice una primitiva di f se F èR. R0 ∀x ∈]a,derivabile in ]a, b[ e risulta F (x) = f (x), b[.Teorema 5.4 Due primitive di una medesima funzione in un medesimo intervallo differiscono peruna costanteDim. Si tratta di una ovvia conseguenza del

teorema di Lagrange. Infatti la funzione differenza delle due primitive ha derivata identicamente nulla. Comunque non è detto che una funzione qualsiasi abbia primitive.

Esempio 5.3 La funzione non ha primitive. Infatti, se ne avesse andremmo contro il teorema di Darboux sulle derivate.

→Teorema 5.5 (I di de L'Hopital) Siano f, g :]a, b) ivi derivabili, tali che lim f (x) = R +x→a 0f (x) ~ 0 6 ∀x ∈ ]a, ∈ lim g(x) = 0. Supponiamo che g (x) = 0, b), e che esiste lim Allora R.+ +x→a x→a 0g (x) esiste f (x) lim g(x)+x→a ed è uguale al precedente.

→Teorema 5.6 (II di de L'Hopital) Siano f, g :]a, b) ivi derivabili, tali che lim f (x) = R +x→a 0f (x) ~ 0∞. 6 ∀x ∈ ]a, ∈ lim g(x) = Supponiamo che g (x) = 0, b), e che esiste lim Allora R.+ +x→a x→a 0g (x) esiste f (x) lim g(x)+x→a ed è uguale al precedente. 0f (x) f (x)

Osservazione 5.3 I teoremi di de l'Hopital non dicono che i due rapporti

e hanno lo0g (x) g(x)stesso comportamento. 2x+sen x converge ad 1 all’ infinito ma il rapporto delle derivate

Esempio 5.4 Infatti, il rapporto 2x−sen xnon è regolare.

Esempio 5.5 Non conviene applicare il teorema dell’ Hopital senza prima verificare le ipotesi.√ 2x +1

Tentando di applicare il teorema dell’ Hopital al calcolo di lim si trova che il rapportox→+∞ xxdelle derivate è √ 2x +1 7G.

Di FazioTuttavia possiamo ricavare qualche utile informazione dal teorema di de l’Hopital.

Esempio 5.6 arcsen xlim =1xx→0ovvero, →arcsen x = x + o(x), x 0.arctang xlim =1xx→0ovvero, →arctang x = x + o(x), x 0.

1.6 La formula di Taylor ∈]a,Ricordiamo che, se f :]a, b[→ è derivabile nel punto x b[ allora si ha:

R 00 − − →f (x) = f (x ) + f (x )(x x ) + o(x x ), x x ,0 0 0 0 0ovvero − →f (x) = T (x) + o(x x ), x x1 0 0dove T è un polinomio di primo grado. Anzi, T è l’unico polinomio

di primo grado per cui risulti T(x) = f(x), T(x) = f(x).

In tal caso diremo che la funzione f(x) ed il polinomio hanno un contatto di ordine uno nel punto x.

Definizione 6.1 Siano f, g : ]a, b[ → due funzioni derivabili n volte in ]a, b[. Diciamo che funzioni R, h hanno un contatto di ordine n nel punto x se accade che

f^(j)(x) = g^(j)(x), j = 0, ..., n.

Cerchiamo un polinomio che abbia un contatto di ordine assegnato con la funzione f in un punto x del suo campo di definizione. Poniamo

T(x) = a₀ + a₁(x - x₀) + ... + a_n(x - x₀)ⁿ,

con a₀, ..., a_n da determinarsi. Siccome

T^(k)(x) = k(k - 1)...(k - (n - k + 1))a_k(x - x₀)^{k - n},