Che materia stai cercando?

Analisi matematica I - le proprietà della derivata Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Giuga. Gli argomenti trattati sono i seguenti: il calcolo differenziale e le proprietà della derivata prima, con particolare attenzione all'algebra delle derivate e al differenziale.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. S. Giuga

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

G.Di Fazio

0 ≡

derivabile in ]a, b[. Supponiamo che f (x) 0. Allora la funzione è costante in (a, b).

∈]a,

Dim. Siano x , x b[. Proviamo che f (x ) = f (x ). Basta applicare il teorema di Lagrange

1 2 1 2

alla restrizione di f all’intervallo [x , x ]. Si ottiene,

1 2 0

∃c ∈]x − −

, x [ : f (x ) f (x ) = f (c)(x x ) = 0.

1 2 1 2 1 2 →

Teorema 5.2 (caratterizzazione della stretta monotonia) Sia f : (a, b) una funzione con-

R

tinua in (a, b) e derivabile in ]a, b[. Condizioni necessarie e sufficienti affinché la funzione f risulti

strettamente crescente in (a, b) sono le seguenti:

0 ≥ ∀x ∈]a,

1. f (x) 0 b[; 0

2. l’insieme degli zeri di f (x) non ha punti interni. f (x)−f (x ) ∀x 6

0

Dim. Le condizioni sono necessarie. Per definizione di funzione crescente si ha: =

x−x

0

0 ≥

x da cui passando al limite si trova, f (x ) 0 quindi la 1. Proviamo la 2. Ragionando per

0 0

0 ≡

assurdo, si troverebbe un intervallo in cui f 0 quindi f sarebbe costante in tale intervallo contro

l’ipotesi. Le condizioni sono sufficienti. Siano x , x (a, b), x < x . Per il teorema di Lagrange,

1 2 1 2

0

∃c ∈]x − − ≤

, x [ tale che f (x ) f (x ) = f (c)(x x ) 0. Per concludere dobbiamo provare che

1 2 1 2 1 2 ≤ ≤ ∀x ∈]x

f (x ) < f (x ). Se fosse f (x ) = f (x ) allora, dal fatto che f (x ) f (x) f (x ), , x [

1 2 1 2 1 2 1 2

avremmo la funzione costante in [x , x ] contro la 2.

1 2

Osservazione 5.1 Naturalmente un teorema simile è valido per le funzioni strettamente decrescenti

Esempio 5.1 Monotonia delle funzioni elementari.

Mediante il teorema precedente si possono studiare le funzioni elementari e determinare gli intervalli

in cui esse risultano monotone.

Teorema 5.3 (Darboux sulle derivate)Sia f :]a, b[→ una funzione derivabile. Siano λ =

R 1

0 0 ∈]x

f (x ), λ = f (x ). Allora, qualunque γ compreso nell’ intervallo di estremi λ , λ esiste c , x [

1 2 2 1 2 1 2

0

tale che f (c) = γ. 0

Osservazione 5.2 Se la funzione f è continua la tesi del teorema è già nota. Il fatto importante

0

è che il teorema è valido anche se la funzione f non è continua.

In altri termini:

Corollario 5.1 Una derivata non può avere punti di salto.

Comunque una derivata può essere discontinua ma, evidentemente le sue discontinuità possono

essere di seconda specie come mostra il seguente

Esempio 5.2 La funzione 1

 2 6

, x = 0;

x sen

 x

f (x) = 0, x = 0,

6

Appunti di Analisi Matematica I

è derivabile in tutti i punti ma la derivata è discontinua nell’ origine.

Definizione 5.1 Sia f :]a, b[→ Una funzione F :]a, b[→ si dice una primitiva di f se F è

R. R

0 ∀x ∈]a,

derivabile in ]a, b[ e risulta F (x) = f (x), b[.

Teorema 5.4 Due primitive di una medesima funzione in un medesimo intervallo differiscono per

una costante

Dim. Si tratta di una ovvia conseguenza del teorema di Lagrange. Infatti la funzione differenza

delle due primitive ha derivata identicamente nulla.

Comunque non è detto che una funzione qualsiasi abbia primitive.

U

Esempio 5.3 La funzione non ha primitive.

Infatti, se ne avesse andremmo contro il teorema di Darboux sulle derivate.

Teorema 5.5 (I di de L’Hopital) Siano f, g :]a, b) ivi derivabili, tali che lim f (x) =

R +

x→a

0

f (x) ˜

0 6 ∀x ∈]a, ∈

lim g(x) = 0. Supponiamo che g (x) = 0, b), e che esiste lim Allora

R.

+ +

x→a x→a 0

g (x)

esiste f (x)

lim g(x)

+

x→a

ed è uguale al precedente. →

Teorema 5.6 (II di de L’Hopital) Siano f, g :]a, b) ivi derivabili, tali che lim f (x) =

R +

x→a

0

f (x) ˜

0

∞. 6 ∀x ∈]a, ∈

lim g(x) = Supponiamo che g (x) = 0, b), e che esiste lim Allora

R.

+ +

x→a x→a 0

g (x)

esiste f (x)

lim g(x)

+

x→a

ed è uguale al precedente. 0

f (x) f (x)

Osservazione 5.3 I teoremi di de l’Hopital non dicono che i due rapporti e hanno lo

0

g (x) g(x)

stesso comportamento. 2x+sen x converge ad 1 all’ infinito ma il rapporto delle derivate

Esempio 5.4 Infatti, il rapporto 2x−sen x

non è regolare.

Esempio 5.5 Non conviene applicare il teorema dell’ Hopital senza prima verificare le ipotesi.

√ 2

x +1

Tentando di applicare il teorema dell’ Hopital al calcolo di lim si trova che il rapporto

x→+∞ x

x

delle derivate è √ 2

x +1 7

G.Di Fazio

Tuttavia possiamo ricavare qualche utile informazione dal teorema di de l’Hopital.

Esempio 5.6 arcsen x

lim =1

x

x→0

ovvero, →

arcsen x = x + o(x), x 0.

arctang x

lim =1

x

x→0

ovvero, →

arctang x = x + o(x), x 0.

1.6 La formula di Taylor ∈]a,

Ricordiamo che, se f :]a, b[→ è derivabile nel punto x b[ allora si ha:

R 0

0 − − →

f (x) = f (x ) + f (x )(x x ) + o(x x ), x x ,

0 0 0 0 0

ovvero − →

f (x) = T (x) + o(x x ), x x

1 0 0

dove T è un polinomio di primo grado. Anzi, T è l’unico polinomio di primo grado per cui risulti

1 1 0 0

T (x ) = f (x ), T (x ) = f (x ).

1 0 0 0 0

1

In tal caso diremo che la funzione f (x) ed il polinomio hanno un contatto di ordine uno nel punto

x .

0

Definizione 6.1 Siano f, g :]a, b[→ due funzioni derivabili n volte in ]a, b[. Diciamo che funzioni

R,

hanno un contatto di ordine n nel punto x se accade che

0

(j) (j) ∀j

f (x ) = g (x ), = 0, . . . , n.

0 0

Cerchiamo un polinomio che abbia un contatto di ordine assegnato con la funzione f in un

punto x del suo campo di definizione. Poniamo

0 n

X j

T (x) = a (x x ) ,

n j 0

j=0

con a , . . . , a da determinarsi. Siccome

R

0 n n

X

(k) j−k

− · · · − −

T (x) = j(j 1) (j k + 1)a (x x ) ,

j 0

n j=k

si ha: (k)

T (x ) = k!a ,

0 k

n

8

Appunti di Analisi Matematica I

e quindi n (j)

f (x )

0

X j

(x x ) ,

T (x) =

n 0

j!

j=0

è l’unico polinomio di grado n che ha un contatto di ordine n nel punto x con la funzione f.

0

Teorema 6.1 (Proprietà del polinomio di Taylor) Siano f, g :]a, b[→ derivabili n volte in ]a, b[,

R

∈]a,

sia x b[ e siano T [f ], T [g] i rispettivi polinomi di Taylor. Allora:

0 n n

1. T [αf + βg] = αT [f ] + βT [g];

n n n

0 0

2. T [f ] = T [f ].

n−1

n ∈]a,

Teorema 6.2 (Formula di Taylor) Sia f :]a, b[→ derivabile n volte in x b[. Allora, posto

R 0

E (x) = f (x) T [f ](x), si ha:

n n n

− →

1. E (x) = o(x x ) , x x ;

n 0 0 (n+1)

f (c)

(n+1) n+1

2. Se esiste f (c), allora E (x) = (x x ) .

n 0

(n+1)!

1.7 Funzioni convesse in un intervallo.

2

Definizione 7.1 Un sottoinsieme X di si dice convesso se, per ogni coppia P , P di suoi punti

R 0 1

il segmento che congiunge P , P è contenuto X.

0 1

Definizione 7.2 Sia f : (a, b) Diciamo che f è convessa in (a, b) se l’insieme

R. 2

{(x, ∈ ∈ ≤

EPI(f ) = y) : x (a, b), y f (x)}

R

−f

è convesso. Diciamo che f è concava se è convessa.

Dalla definizione è evidente che: →

Teorema 7.1 La funzione f : (a, b) è convessa in (a, b) se e solo se comunque si scelgono

R

x, y (a, b) i punti del segmento di estremi P = (x, f (x)), Q = (y(f (y)) appartengono all’insieme

EPI(f ). →

Lemma 7.1 (di convessità) Sia f : (a, b) Poniamo

R.

f (x) f (y) ∈ 6

, x, y (a, b), x = y.

Φ(x, y) = −

x y

Allora f è convessa se e solo se

≤ ≤ ∀x, ∈

Φ(x, z) Φ(x, y) Φ(z, y), y, z (a, b), x < z < y. 9

G.Di Fazio

Teorema 7.2 Sia f :]a, b[→ convessa in ]a, b[. Allora:

R

1. f è derivabile dalla destra e dalla sinistra in tutti i punti di ]a, b[;

2. f è continua in tutti i punti di ]a, b[.

Dim. Il teorema è una conseguenza immediata del lemma di convessità. Infatti, il lemma

afferma che i rapporti incrementali sono crescenti e limitati superiormente da cui la 1. Per provare

la 2. basta osservare che la derivabilità dalla destra o dalla sinistra implicano - rispettivamente -

la continuità.

Teorema 7.3 Sia f :]a, b[→ una funzione convessa in ]a, b[ e derivabile in almeno un punto x .

R 0

Allora, 0 0

≥ − ∀x ∈]a,

f (x) f (x ) + f (x )(x x ), b[.

0 0 0

Dim. Supponiamo x < z < x . Dal lemma di convessità

0

≤ ≤ ∀z ∈]x,

Φ(x, z) Φ(x, x ) Φ(z, x ), x [

0 0 0

+

da cui, passando al limite per z x ,

0 0

Φ(x, x ) f (x )

0 0

ovvero 0 0

≥ − ∀x ∈]a,

f (x) f (x ) + f (x )(x x ), x [.

0 0 0 0

Si procede similmente se x > x .

0

Corollario 7.2 Sia f :]a, b[→ una funzione convessa in ]a, b[ e derivabile in almeno un punto x

R 0

0

ed inoltre f (x ) = 0. Allora il punto x è punto di minimo assoluto per f in ]a, b[.

0 0 0

Teorema 7.4 Sia f :]a, b[→ derivabile in ]a, b[. Allora f è convessa se e solo se f è crescente in

R

]a, b[. 0 ∈]a,

Dim. Sia f convessa. Proviamo che f è crescente. Siano quindi x , x b[, x < x . Per il

1 2 1 2

lemma di convessità, ≤ ≤ ∀x

Φ(x , x) Φ(x , x ) Φ(x, x ), < x < x .

1 1 2 2 1 2

+

Passando al limite per x x nella diseguaglianza di sinistra si trova

1 0 ≤

f (x ) Φ(x , x )

1 1 2

10


PAGINE

12

PESO

146.45 KB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Analisi matematica i

Teoremi e Dimostrazioni di Analisi Matematica I
Appunto
Analisi matematica 1 - Esercitazione
Esercitazione
Analisi matematica I - Appunti
Appunto
Analisi Matematica I Carlo Nitsch: Teoria completa per prova orale
Appunto