Analisi matematica I - la funzione inversa

Funzioni continue

Definizioni

Definizione 1.1 Sia X e sia f : X. Diciamo che la funzione f è continua nel punto R, R. ∈ x X se si verifica una delle seguenti eventualità:

• Il punto x è isolato per l’insieme X;
• Il limite ^lim f(x) esiste ed inoltre ^lim f(x) = f(x). Diremo infine che f è continua_{x→x x→x} 0 0 in X se risulta tale in ogni punto di X.

Il concetto di funzione continua è quindi un concetto puntuale ovvero valido punto per punto. Non c’è nessuna ragione che possa indurci a pensare che la continuità in un punto implichi la continuità in altri punti dell’insieme di definizione di una funzione.

A volte, per verificare la continuità di una funzione, può risultare utile ricorrere alle successioni. Volendo procedere in questo modo è utile il teorema di passaggio tra le successioni e le funzioni. Precisamente si ha:

Teorema 1.1 (caratterizzazione della continuità mediante le successioni)

Sia f : X e sia R R∈ x X DX. Allora, condizione necessaria e sufficiente affinché la funzione f risulti continua nel punto x è che per ogni successione di elementi di X convergente ad x, si abbia ^lim f(x) = f(x).

Esempi

Esempio 1.1 Continuità delle funzioni elementari. Le seguenti funzioni sono continue in tutti i punti del loro insieme di definizione:

• Polinomi
• Potenze
• Logaritmi
• Esponenziali
• sen x, cos x

Esempio 1.2 La funzione f : definita mediante la legge f(x) = x - [x], è continua in tutti i punti tranne quelli di ascissa intera dove è continua soltanto dalla destra.

Esempio 1.3 La funzione f : definita mediante la legge

• x ∈ Q,
• -x ∈ x / Q,

è continua soltanto nell’origine.

Esempio 1.4 La funzione (di Dirichlet) f : definita mediante la legge

• 1 x ∈ Q,
• 0 x / Q,

G. Di Fazio non è continua in nessun punto di R.

Teorema 1.2

Ogni combinazione lineare di funzioni continue è continua; il prodotto di funzioni continue è una funzione continua; il reciproco di una funzione continua (e non nulla) è una funzione continua; il quoziente di due funzioni continue (con denominatore non nullo) è una funzione continua; il massimo (e il minimo) tra due funzioni continue è una funzione continua; la funzione composta mediante funzioni continue è continua.

Definizione 1.2

Da ora in poi l’insieme di tutte le funzioni continue in X sarà denotato con il simbolo C(X) quindi dire che una data funzione f è continua in X sarà come dire che f ∈ C(X).

Se una funzione non è continua in un punto del suo insieme di definizione, diremo che è discontinua in quel punto. Pensando alla definizione, si può verificare una sola delle seguenti eventualità:

• ^lim f(x) = f(x); In questo caso diremo x un punto di discontinuità eliminabile o fittizia;