Analisi matematica I - la funzione inversa

Discontinuità e punti di salto nelle funzioni

R R( ≥1, x 0;U(x) = 0, x < 0ha una discontinuità di salto nell’ origine.→Esempio 1.7 La funzione f : definita mediante la leggeR R 1 ≥, x 0; xf (x) = 0, x < 0ha un punto di infinito nell’ origine.→Esempio 1.8 La funzione f : definita mediante la leggeR R 1 6sen , x = 0; xf (x) = 0, x = 0ha una discontinuità di seconda specie nell’ origine.Nel capitolo sui limiti abbiamo visto che le funzioni monotone ammettono limite al tenderedella variabile ad un punto di accumulazione dell’ insieme di definizione. In generale però esse nonsono continue. Vale infatti il seguente→ ∈ ∈]a,Teorema 1.3 Sia f : [a, b] una funzione monotona e sia x [a, b]. Allora, se in x b[ laR 0 0funzione non è continua, il punto x è di salto per la funzione f. Se x = a, oppure x = b, il punto0 0 0risulta una discontinuità eliminabile per f. −+∈]a,Dim. Infatti, se x b[, si ha: f (x ) = inf f (x), mentre f (x ) = sup f

(x).0 ]x ,b] [a,x [0 00 01.2 Proprietà fondamentali delle funzioni continue⊂ → ∈ ∩

Teorema 2.1 (di permanenza del segno)

Sia f : X e sia x X DX. SupponiamoR R, 0 ∃δche la funzione f è continua nel punto x e che si abbia f (x ) > 0. Allora > 0 tale che0 0∀x ∈]x −f (x) > 0, δ, x + δ[.0 0 →

Teorema 2.2 (di esistenza degli zeri)

Sia f : [a, b] una funzione continua in tutti i puntiRdell’intervallo di definizione e supponiamo che f (a) > 0, f (b) < 0. Allora, esiste almeno un punto∈]a,c b[ tale che f (c) = 0. 3G.

Di FazioDim. Il metodo dimostrativo è simile a quello già introdotto nella dimostrazione del teoremadi Bolzano - Weierstrass. Dividiamo l’intervallo in due metà e valutiamo la funzione nel punto dimezzo. Se in quel punto la funzione è nulla abbiamo terminato. In caso contrario, continuamodividendo a metà solo quell’ intervallo dei due agli estremi del quale la funzione

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assume valoridi segno opposto. Procedendo in questa maniera, dopo n ripetizioni otterremo un sequenza dia intervalli incapsulati, ognuno la metà del precedente caratterizzati dal fatto che, detta lanb sequenza degli estremi sinistri si ha f (a ) > 0 mentre detta la sequenza degli estremi destrin n∃ ≡si ha f (b ) < 0. Naturalmente, lim a = lim b c. Proviamo che f (c) = 0. Per continuità si ha:n n n≤ ≤0 lim f (a ) = lim f (b ) 0 quindi f (c) = 0.n n →

Corollario 2.1 Sia f : (a, b) una funzione continua. Allora ] inf f, sup f [⊆ f (a, b).R π π − →

Esempio 2.1 La funzione f : , definita mediante la legge f (x) = tang x è continuaR2 2 π π − , ) = ovveroperché quoziente tra funzioni continue. Per il corollario precedente si ha:f ( R2 2∈l’equazione tang x = y ammette soluzione per ogni y R.

1.3 Applicazioni della compattezza alle funzioni continue.Innumerevoli sono le applicazioni del concetto di compattezza.

ovvero∃x ∈ ∃x ∈K : f (x ) = sup f (x), K : f (x ) = inf f (x).1 1 2 2 KK4Appunti di Analisi Matematica IDim. Per il teorema precedente, f (K) è compatto e quindi, in particolare, è chiuso. Poichè∈l’estremo superiore e l’estremo inferiore di f (K) sono elementi di f (K), si ha sup f (x), inf f (x)KKf (K) da cui segue la tesi. ⊂ →Teorema 3.3 (di continuità della funzione inversa) Sia K compatto e sia f : K unaR R−1 →funzione continua ed iniettiva in K. Allora, la funzione inversa f : f (K) K è continua inf (K). −1Dim. Per provare che la funzione f è continua in f (K) proviamo che tale risulta in ogni∈punto di f (K). Sia perciò y f (K). Usando la caratterizzazione della continuità attraverso le0 {y },successioni dobbiamo provare che, comunque si assegni una successione n = 1, 2, . . . , di puntindi f (K) che sia anche convergente a y , si abbia:0 −1 −1 ∗lim f (y ) = f (y ). ( )n

1. n→∞{y }, {x },Data la successione n = 1, 2, . . . , in f (K), esiste n = 1, 2, . . . , di punti di K tale che n f (x ) = y . Chiamiamo x quel punto (unico per l’iniettività di f (x)) tale che f (x ) = y . Provare n 0 0 0∗la ( ) equivale a provare che ∗∗lim x = x . ( )n 0n→∞ {x },Ciò sarà acquisito se proveremo che qualsiasi estratta n = 1, 2, . . . , della successione n{x }, n = 1, 2, . . . , è convergente al punto x . Dal teorema sulla convergenza delle successioni n 0 estratte seguirà quanto desideriamo. ∗{x },Se n = 1, 2, . . . , è una tale estratta, il suo limite x è certamente finito perchè K è k n limitato e appartiene a K perché K è chiuso. Ricordando che f (x) è continua si ha:∗lim f (x ) = f (x )k nn→∞ovvero ∗lim y = f (x )k nn→∞{y }, {y },ma, essendo n = 1, 2, . . . , estratta da n = 1, 2, . . . , , risulterà convergente allo stesso y .k n 0n ∗Per

unicità del limite si ha dunque y = f(x) = f(x) e, poiché la funzione f(x) è iniettiva, segue {x}, x = x. Abbiamo quindi provato la tesi perché ogni estratta della successione n = 1, 2, ..., n risulta convergente al punto x e pertanto lim x = x.

Esempio 3.1 La funzione ππ→ , arcsen y : [-1, 1] [-2, 2] è continua in virtù del teorema appena dimostrato come anche la funzione arccos y. 5