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Analisi matematica I - la funzione inversa Appunti scolastici Premium

Appunti di Analisi matematica I per l'esame del professor Giuga. Gli argomenti trattati sono i seguenti: le funzioni continue (la definizione del concetto puntuale), le funzioni inverse e le combinazioni lineari delle funzioni continue.

Esame di Analisi matematica I docente Prof. S. Giuga

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G.Di Fazio

Dim. Il metodo dimostrativo è simile a quello già introdotto nella dimostrazione del teorema

di Bolzano - Weierstrass. Dividiamo l’intervallo in due metà e valutiamo la funzione nel punto di

mezzo. Se in quel punto la funzione è nulla abbiamo terminato. In caso contrario, continuamo

dividendo a metà solo quell’ intervallo dei due agli estremi del quale la funzione assume valori

di segno opposto. Procedendo in questa maniera, dopo n ripetizioni otterremo un sequenza di

{a }

intervalli incapsulati, ognuno la metà del precedente caratterizzati dal fatto che, detta la

n

{b }

sequenza degli estremi sinistri si ha f (a ) > 0 mentre detta la sequenza degli estremi destri

n n

∃ ≡

si ha f (b ) < 0. Naturalmente, lim a = lim b c. Proviamo che f (c) = 0. Per continuità si ha:

n n n

≤ ≤

0 lim f (a ) = lim f (b ) 0 quindi f (c) = 0.

n n →

Corollario 2.1 Sia f : (a, b) una funzione continua. Allora ] inf f, sup f [⊆ f (a, b).

R π π

− →

Esempio 2.1 La funzione f : , definita mediante la legge f (x) = tang x è continua

R

2 2 π π

− , ) = ovvero

perché quoziente tra funzioni continue. Per il corollario precedente si ha:f ( R

2 2

l’equazione tang x = y ammette soluzione per ogni y R.

1.3 Applicazioni della compattezza alle funzioni continue.

Innumerevoli sono le applicazioni del concetto di compattezza. In questo breve capitolo vedi-

amo alcune conseguenze del concetto di compattezza applicato alle funzioni continue.

⊂ →

Teorema 3.1 Sia K compatto e sia f : K una funzione continua in K. Allora, f (K) è

R R

compatto. {y },

Dim. Sia n = 1, 2, . . . , una successione di punti di f (K). Dobbiamo provare che da essa

n ∈

si può estrarre una sottosuccessione convergente ad un elemento di f (K). Per il fatto che y f (K)

n

∈ {x }

esiste x K tale che f (x ) = y . Per l’ ipotesi di compattezza di K, dalla successione si

n n n n

{x }, ∈

può estrarre una sottosuccessione n = 1, 2, . . . , convergente ad un punto x K. Poiché la

k n

funzione f (x) è continua, si ha: ∗ ∈

lim f (x ) = f (x ) f (K)

k n

n→∞ {y },

da cui la tesi perché y = f (x ) è un’ estratta di n = 1, 2, . . . , .

k k n

n n ⊂ →

Teorema 3.2 (di Weierstrass) Sia K compatto e sia f : K una funzione continua in K.

R R

Allora, la funzione è dotata di massimo e di minimo in K, ovvero

∃x ∈ ∃x ∈

K : f (x ) = sup f (x), K : f (x ) = inf f (x).

1 1 2 2 K

K

4

Appunti di Analisi Matematica I

Dim. Per il teorema precedente, f (K) è compatto e quindi, in particolare, è chiuso. Poichè

l’estremo superiore e l’estremo inferiore di f (K) sono elementi di f (K), si ha sup f (x), inf f (x)

K

K

f (K) da cui segue la tesi. ⊂ →

Teorema 3.3 (di continuità della funzione inversa) Sia K compatto e sia f : K una

R R

−1 →

funzione continua ed iniettiva in K. Allora, la funzione inversa f : f (K) K è continua in

f (K). −1

Dim. Per provare che la funzione f è continua in f (K) proviamo che tale risulta in ogni

punto di f (K). Sia perciò y f (K). Usando la caratterizzazione della continuità attraverso le

0 {y },

successioni dobbiamo provare che, comunque si assegni una successione n = 1, 2, . . . , di punti

n

di f (K) che sia anche convergente a y , si abbia:

0 −1 −1 ∗

lim f (y ) = f (y ). ( )

n 0

n→∞

{y }, {x },

Data la successione n = 1, 2, . . . , in f (K), esiste n = 1, 2, . . . , di punti di K tale che

n n

f (x ) = y . Chiamiamo x quel punto (unico per l’iniettività di f (x)) tale che f (x ) = y . Provare

n n 0 0 0

la ( ) equivale a provare che ∗∗

lim x = x . ( )

n 0

n→∞ {x },

Ciò sarà acquisito se proveremo che qualsiasi estratta n = 1, 2, . . . , della successione

k n

{x }, n = 1, 2, . . . , è convergente al punto x . Dal teorema sulla convergenza delle successioni

n 0

estratte seguirà quanto desideriamo. ∗

{x },

Se n = 1, 2, . . . , è una tale estratta, il suo limite x è certamente finito perchè K è

k n

limitato e appartiene a K perché K è chiuso. Ricordando che f (x) è continua si ha:

lim f (x ) = f (x )

k n

n→∞

ovvero ∗

lim y = f (x )

k n

n→∞

{y }, {y },

ma, essendo n = 1, 2, . . . , estratta da n = 1, 2, . . . , , risulterà convergente allo stesso y .

k n 0

n ∗

Per unicità del limite si ha dunque y = f (x ) = f (x ) e, poiché la funzione f (x) è iniettiva, segue

0 0

∗ {x },

x = x . Abbiamo quindi provato la tesi perché ogni estratta della successione n = 1, 2, . . . ,

0 n

risulta convergente al punto x e pertanto lim x = x .

0 n→∞ n 0

Esempio 3.1 La funzione π

π

→ , ]

arcsen y : [−1, 1] [− 2 2

è continua in virtù del teorema appena dimostrato come anche la funzione arccos y. 5


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
A.A.: 2013-2014

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher cecilialll di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica I e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Napoli Federico II - Unina o del prof Giuga Salvatore.

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