Analisi matematica I - l'errore complementare

Caso di interesse pratico

Nel caso di interesse pratico, una particolare situazione si verifica quando la variabile aleatoria Z è un Rumore Gaussiano Bianco (anche detto White Noise): σ² = 0, μ = 0.

In questo caso, l'equazione fondamentale diventa P(erfc(x) ≤ ε) ≝ P(1 + erfc²(x) ≤ ε²) e di conseguenza, le altre relazioni si...

_{Px erfcn≤x ≝ −erfc12²NN00   2 21 x x    Pn≤x erfcn≤x≝ ≝erfc2NN00   2 21 x x   Pn≤x erfcn≤x≝1− ≝1−erfc2NN0002 x− { }− [ ]22  e 1 x− 2} Dove abbiamo implicitamente assunto che fosse la Gaussiana di media e varianza ._{    2 2 , 2ℕ   ≝ ≡exp − ln 22 22 } F ormule e Funzioni Approssimantierfc Poiché il calcolo diretto di non è particolarmente semplice, nella pratica si usano spesso espedienti, primi trai le quali è opinabile l'uso dell'espansione in serie di Taylor{ }k∏ h−122−x ∞e k h=1∑ , la quale prevede però, che per un calcolo preciso, la somma di parecchi termini per ottenere un risultato accettabile.erfc x 1 ~ −1 kx   2 2 xk =1 erfcun calcolo più pratico e diretto, ma ovviamente meno preciso, si ricorre a tutt'altra strada. In prima istanza possiamo considerare una maggiorazione di πè ovvero: ²⁄_2x-x - e e considerare valida poi l'approssimazione π, approssimazione valida però solo per valori elevati dell'argomento. ^π⁄_2x ≈ e ∀ x > 1. In alternativa può però essere invece considerata l'approssimazione π, o analogamente usare π. ²⁄_2x e - e ⋅ log(x) - 2π. Queste ultime approssimazioni possono essere molto interessanti se si considera anche che: . ²⁄₁₀x ≡ 10^x ≡ x ⋅ log(10) ⇒ db. Altro modo di affrontare il problema della ricerca del valore è invece la possibilità di tabellare i valori di π anziché risolvere un'improponibile funzione integrale, erfc. Inoltre,

Per la sua particolare distribuzione, è possibile limitarsi a tabellare i soli valori semi-positivi di e e all'occorrenza calcolare con semplice operazione gli altri valori.