Analisi matematica I - l'errore complementare

Funzione Errore Complementare Erfc

In molte applicazioni tecniche, si fa molto uso, al fine di poter valutare le prestazioni di un sistema, di una particolare funzione integrale, chiamata Funzione Errore

∞

2 2

∫ −u 

erfc e du≡ℚ 2

“Er

Error

ror F

unction C omplementary”)

Complementare (denotata come erfc di seguito così definita: (o equivalentemente, si fa uso

≝  

  

2

∞ u  

1 1 

−

∫ 2 erfc().

e du≡ erfc

della funzione integrale Q-function, così invece definita ). Di seguito però visioneremo unicamente di

Q-function ℚ≝ 2

 

2 2



erfc(),

Dal diagramma di possiamo subito estrapolare importanti proprietà di questa funzione integrale: ;

] [

E' una funzione monotona decrescente, definita tra , ai suoi estremi assume i

−∞ ∞



Funzione Errore Complementare lim erfc lim erfc

=2 =0 erfc

seguenti valori , , mentre per .

0=1

2,0 −∞ ∞ erfc

Per la sua particolare forma, vale anche la seguente relazione: −=2−erfc 



fc(x) 1,8 Facciamo un attimo un passo indietro e facciamo un piccola panoramica su alcune proprietà statistiche:

erfc(x)

1,6

er    

P Z

{Z≤ }∪{ Z ≤ } =P ≤ ⇒

1 1 2 2

1,4      

P Z P Z

≤   Z ≤ =P ≤ ⇒

1 1 2 2

1,2      

P P Z≤ Z

 Z ≤ = −P ≤ ⇒

1 2 2 1

1,0 [ ] [ ] .

           

P 1−P Z 1−P Z P P Z Z

 Z ≤ =  −  ⇒  Z ≤ = −P 

0,8 1 2 2 1 1 2 1 2

X x x

− − −

0,6 X 1 X 2 X

Z ≝  ≝  ≝

A quest'ultima relazione, applicando le trasformazioni , ,

1 2

  

2 2 2

0,4   

X X X

erfc():

possiamo definire, finalmente, la relazione fondamentale che lega la funzione di probabilità ad

0,2  

1 

0,0 , la quale, a sua volta, ci permette di pervenire ad un'altra relazione molto

 

P Z erfc

 ≝

-3,0 -2,5 -2,0 -1,5 -1,0 -0,5 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 3,0 2  2

x importante:

     

x X x X x X x

− − − − − − −

1 X X 2 X X 1 X X 1 X

P  ≤ ≝P  −P  ⇒

      

2 2 2 2 2 2 2

      

X X X X X X X

Relazione Fondamentale

     

x X x x x

− − − − −

1 1

1 X X 2 X 1 X 2 X

P erfc erfc

 ≤ ≝ −

2 2

    

2 2 2 2 2

2 2

    

X X X X X

R

elazione Fondamentale

L'importanza di tale relazione, sta nel fatto che, opportunamente manipolata, ci pe