Analisi Matematica I Carlo Nitsch: Teoria completa per prova orale

Carlo Nitsch

Programma di insegnamento / 00102 - ANALISI MATEMATICA I

Corso di studi: INGEGNERIA INFORMATICA (N46)

Programma dettagliato:

TEORIA DEGLI INSIEMI

Operazioni sugli insiemi, funzioni.

NUMERI REALI

Gli assiomi del sistema dei numeri reali; densità di Q in R _(s.d.); radice n-ma _(s.d.). Estremo superiore, estremo inferiore, massimo, minimo.

FUNZIONI ELEMENTARI

SUCCESSIONI NUMERICHE

Limite di una successione; prime proprietà dei limiti: teoremi di unicità del limite, del confronto, della permanenza del segno. Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Successioni monotone e teorema di regolarità delle successioni monotone; il numero e. Media aritmetica e media geometrica. Criterio di convergenza di Cauchy _(s.d.).

SERIE NUMERICHE

Definizioni e prime proprietà; operazioni con le serie. Serie geometrica, serie armonica e serie armonica generalizzata. Condizione necessaria per la convergenza di una serie. Criterio di Cauchy per le serie _(s.d.). Serie a termini non negativi: criteri della radice, del rapporto, del confronto, del confronto asintotico, degli infinitesimi. Serie a segni alterni: criterio di Leibniz. Serie assolutamente convergenti e loro proprietà.

FUNZIONI

Cenni di topologia della retta reale. Limiti di funzioni e relative proprietà. Teorema ponte _(s.d.). Operazioni con i limiti e forme indeterminate. Funzioni monotone; funzioni continue; funzioni inverse; funzioni composte. Limite di una funzione composta. Estremi assoluti: teorema di Weierstrass. Teorema degli zeri e conseguenze.

CALCOLO DIFFERENZIALE

Definizione di derivata e suo significato geometrico. Regole di derivazione; derivate delle funzioni elementari. Estremi relativi: condizione necessaria del prim'ordine. Teoremi di Rolle e Lagrange; caratterizzazione delle funzioni monotone in intervalli. Estremi relativi: condizioni sufficienti del prim'ordine. Primo teorema di de L’Hopital; secondo teorema di de L’Hopital _(s.d.); calcolo di limiti che si presentano in forma indeterminata. Infinitesimi e infiniti: principi di cancellazione. Formula di Taylor con resto in forma di Peano e di Lagrange. Estremi relativi: condizioni sufficienti del second'ordine. Convessità e concavità in un intervallo; proprietà delle funzioni convesse e concave _(s.d.); flessi; asintoti; grafici di funzioni.

CALCOLO INTEGRALE

Primitive ed integrazione indefinita. Regole di integrazione indefinita: decomposizione in somma, integrazione per parti, integrazione per sostituzione, integrazione di funzioni razionali. Area del rettangoloide. Integrale di Riemann di una funzione limitata in un intervallo compatto. Integrabilità delle funzioni monotone. Integrabilità delle funzioni continue _(s.d.). Proprietà dell'integrale definito. Teorema della media integrale. Teorema fondamentale del calcolo integrale. Generalizzazione del concetto di integrale: sommabilità e criteri di sommabilità. Criterio integrale per le serie numeriche.

Fanno parte integrante del programma esercizi relativi a tutti gli argomenti indicati.

_{(s.d.) = senza dimostrazione}

Assiomi dei Reali

Assiomi operativi: associativa, commutativa, distributiva, neutro, opposti e inversi.

Assiomi ordinativi: a < b; a ≤ b; a ≥ b; 0 ≤ a + b; 0 ≥ a + b; a - b

Completamento: A, B ≠ ø; a < b ∀a ∈ A, b ∈ B ⇒ ∃c a ≤ c ≤ b

ℕ ⊂ ℤ ⊂ ℚ ⊂ ℝ ℚ = { m/n | m, n ∈ ℤ, n ≠ 0 }

Proposizione: Non esiste alcun numero razionale (ℚ)

c ∈ ℚ tale che c² = 2

HM : Supponiamo per assurdo: c ∈ ℚ: c² = 2

Esiste c ∈ ℚ => ^m/_n ∈ ℤ, m, n ≠ 0 => c = _m/n => c² = (_^m/n)² = 2

c² = ^m²/_n² = 2 => m² = 2n² ==

essere pari => Almeno uno pari, allora anche m deve necessariamente essere pari. Quindi m = 2k ∈ ℕ così n >= 2k => m² : 4k² c² = 2k²

Ripetere il ragionamento fino a dove esso può, per questo è impossibile prova la tesi

essen semplificato

Consideriamo ora A = {a ∈ ℚ | a < 0} ∪ {a ∈ ℚ | 0 < a < 2}B = {a ∈ ℚ | 0 < b < 2}

Tutti gli elementi di A sono minori di quelli di B e A ≠ B ≠ ø e A ∩ B = ø

Se esistesse sempre c ∈ ℚ = 2isch ∈ ℕ, ∀a ∈ A, ∃b ∈ B tale ness bindello appartenente ad l oppure ad B truppa l∈C ∄ A ⊂ ℚз

Riassunto:

ℕ: addizione, moltiplicazione ℤ: addizione, moltiplicazione, sottrazione ℚ: addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione เลอไม่ ℝ: addizione, moltiplicazione, sottrazione, divisione [a ≠ 0], 0)

Sì ha:  ∃v₁ | a_n - a| < ε  ∀n > v₁  | ∃v₂ | a_n - b| < ε  ∀n > v₂

Pongo v = max{v₁, v₂} sì ha che

• |a - b| = | a - a_n + a_n - b| ≤ |a - a_n| + |a_n - b| < ε + ε = a - b|

impossibile

Successioni divergenti

• lim

a_n → + ∞ ↔ ∀ h > 0 ∃v | a_n > h  ∀n > v

• lim

a_n → - ∞ ↔ ∀ h > 0 ∃v | a_n < -h  ∀n > v

Successioni limitate

a_n è una successione limitata se  ∃ M | a_n ≤ M  ∀ n ∈ ℕ

Una successione limitata può essere irregolare ( (-1)ⁿ ) ma ogni successione convergente è limitata.