Analisi matematica I

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Author: Solangee

Revisionato il 14/07/2026

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Il file contiene tutte le definizioni, i teoremi con dimostrazione e gli esempi illustrati a lezione per preparare la prova orale di Analisi matematica I. Sono inoltre presenti dei formulari …

Esame Analisi matematica 1

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. D'Aprile Teresa Carmen

Università Università degli Studi di Roma Tor Vergata

A.A. 2023-2024

84 pagine

Appunti esame

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Estratto del documento

APPUNTI

ANALISI I

a cura diMartina Solange Salituro

Università Roma Tor VergataCorso prof.essa D’Aprile

APPUNTI

ANALISI I

a cura diMartina Solange Salituro

Università Roma Tor VergataCorso prof.essa D’Aprile

Ordinamento Dei Numeri Reali

Assiomi

a, b, c ∈ ℝ

Dicotomia a ≤ b oppure b ≤ a Due numeri tra loro sono sempre confrontabili.
Proprietà Asimmetrica Se a ≤ b e b ≤ a allora a = b
Se a ≤ b allora a + c ≤ b + c
Se a > 0, b > 0 allora a + b > 0 e a·b > 0

Prop. Dimostrabili

Se a ≤ b ⇔ b ≥ a ≥ 0 Dim. ⇒ sia a ≤ b ⇒ a - a ≤ b - a 0 ≤ b - a ⇐ sia b - a ≥ 0 ⇒ b - a + a ≥ a ⇒ b ≥ a
Proprietà Transitiva Se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c Dim. sia a ≤ b, b ≤ c b - a ≥ 0 b - c ≤ 0 b - a + c - b ≥ 0 ⇒ a ≤ c
Se a ≤ b e c ≥ 0 allora ac ≤ bc La disuguaglianza si conserva Dim. sia a ≤ b ⇒ b - a ≥ 0 ⇒ (b - a)c ≥ 0 ⇒ cb - ac ≥ 0 ⇒ cb ≥ ac
Se a ≤ b e c ≤ 0 allora ac ≥ bc La disuguaglianza cambia verso Dim. sia c ≤ 0 ⇒ -c ≥ 0 ⇒ 0 ≤ -c ⇒ 0 ≤ c ² ⇒ a - c ≤ b - c ⇒ ac ≤ bc

Numeri Reali ℝ

Sono definite due operazioni: somma e prodotto (ℝ, +, ·)

Assiomi sulle operazioni con i numeri reali

Proprietà non dimostrabili ∀a,b,c ∈ ℝ

Proprietà associativa

(a + b) + c = a + (b + c) a (b · c) = (a · b) · c

Proprietà commutativa

a + b = b + a a · b = b · a

Proprietà distributiva

a (b + c) = (a · b) + (a · c)

Esistenza degli elementi neutri

∃0_ℝ O_ℝ + a = a + O_ℝ = a

∃1_ℝ a · 1_ℝ = a

Esistenza dell'opposto

∃ −a ∈ ℝ / (a + (−a)) = (−a) + a = 0

Esistenza dell'inverso

∀a ≠ 0 ∃a⁻¹ ∈ ℝ / (a⁻¹)· a = (a⁻¹) a = 1

Proprietà dimostrabili usando gli assiomi

Regola di semplificazione

a + c = b + c ⇒ a = b

Dim. Sia a + c = b + c

= a + O = b + O = a + ((c + (−c))) = (a + c) + (−c) =

= (b + c) + (−c) = b + (c + (−c)) = b + O = b

Annulamento del prodotto

a · 0 = 0

Dim. Sia G(a · 0) = (a · 0) + (a · 0) = a (1 + 0) = a · 1 = a = a + 0

=> (a · 0) + a = a + (a · 0)

=> (a · 0) = 0

Prop. q· b = 0 ⇒ q = 0 o b = 0

Dim. Sia a· b = 0

=> a = 0 o b = 0

Se a = 0 ⇒ (a · 1)· (b · b⁻¹) = (a · b)· b⁻¹ = 0· b⁻¹ = 0

Sottrazione

b − a ≝ b + (−a)

Divisione

_ba ≝ b · a⁻¹ se a ≠ 0

1)

A ⊆ B ⟺ B⊂ Ā

x ∈ B ⟹ ¬x ∈ Ā ⟹ x ∉ Ā ⟹ x ∈ Ā
x ∈ Ā ⟹ x ∉ B ⟹ x ∈ A ⟹ x ∈ B

2)

A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

x ∈ A ∩ (B ∪ C) ⟹ x ∈ A e x ∈ (B ∪ C) ⟹ x ∈ A e x ∈ B o x ∈ C
⟹ x ∈ (A ∩ B) ∪ x ∈ (A ∩ C)
x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⟹ x ∈ A e x ∈ B o x ∈ A e x ∈ C
⟹ x ∈ A e x ∈ B o x ∈ C ⟹ x ∈ A ∩ (B ∪ C)

3)

Ē (A ∪ B) = Ē A ∩ Ē B

x ∈ Ē (A ∪ B) ⟹ x ∉ (A ∪ B) ⟹ x ∉ A e x ∉ B
⟹ x ∈ Ē A e x ∈ Ē B ⟹ x ∈ Ē A ∪ Ē B
vado al contrario

4)

a + a̅ = b + c ⟹ a = b

a = a + 0 = a + c + c̅ = b + c + c̅ = b + 0 = b

5)

a ⋅ 0 = 0

a + (a ⋅ 0) = a ⋅ 1 + a ⋅ 0 = a (1 + 0) = a ⋅ 1 - a ⋅ 1 - a ⋅ 0
⟹ 0 ⋅ (a ⋅ 0) + a ⋅ 0 ⟹ a ⋅ 0 = 0

6)

a ⋅ b = 0 ⟹ a = 0 o b = 0

1. Sia a ≠ 0 e b ≠ 0
a = a ⋅ 1 = a ⋅ (b b̅) = a b b̅ = 0 ⋅ b̅ = 0
2. Sia a̅ ≠ 0 e b̅ ≠ 0
b = b ⋅ 1 = b (a a̅) = a b a ≠ 0. a̅ = 0.

7. -(a·b) = (-a)b = a(-b)

-(a) b ≥ 0

-(a+b)+a b = -(a+a) b = 0·b = 0

8. a ≤ b ↔ b-a ≥ 0

=> a ≤ b a-a ≤ b-a 0 ≤ b-a

=> b-a ≥ 0 b-a ≥ 0 + a > a + 0 > a => a

9. a ≤ b e b ≤ c => a ≤ c

a ≤ b e b ≤ c => b-a ≥ 0 => b-a + c-b ≥ 0 -a+c ≥ 0 c ≥ a

c-b ≥ 0

10. Se a

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