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APPUNTI
ANALISI I
a cura diMartina Solange Salituro
Università Roma Tor VergataCorso prof.essa D’Aprile
PROP. -(a-b) · (a-b) = (a-b)
DIM. -(a-b) · (a-b) = (a) + a · b = 0 · b = 0
ORDINAMENTO DEI NUMERI REALI
ASSIOMI a, b, c ∈ R
1. DICOTOMIA
a ≤ b oppure b ≤ a
DUE NUMERI TRA LORO SONO SEMPRE CONFRONTABILI
2. PROPRIETÀ ASIMMETRICA
se a ≤ b e b ≤ a allora a=b
3. se a ≤ b allora a + c ≤ b + c
4. se a > 0, b > 0 allora a + b > 0 e a · b > 0
PROP. DIMOSTRABILI
→ se a ≤ b ⇔ b-a ≥ 0
DIM. => sia b-a ≥ 0 ⇒ a-a ≤ b-a 0 ≤ b-a
(=) sia b-a ≥ 0 ⇒ b-a+a ≥ a-a ⇒ b ≥ a
→ PROPRIETÀ TRANSITIVA
se a ≤ b e b ≤ c allora a ≤ c
DIM. sia a ≤ b, b ≤ c ⇒ b-a 0, 1/2 b-a+(c-½) 0 ⇒ a ≤ c
→ se a < b e c > 0 allora a·c ≤ b·c LA DISUGUAGLIANZA SI CONSERVA
DIM. sia a ≤ b ⇒ b-a ≥ 0 ⇒ (b-a)c ≥ 0 ⇒ cb-ac ≥ 0 ⇒ cb ≥ ac
→ se a ≤ b e c < 0 allora a·c ≥ b·c LA DISUGUAGLIANZA CAMBIA VERSO
DIM. sia c < 0 ⇒ -c-1/2 0-c 0 ⇒ 0 ≤ -c
b-a 0 ≥ b c (b c) → ac ≤ bc →
→ a c ≥ bc ⇒ bc ≤
Proprietà
Prop. β: A → B
- β (I ∪ J) = β (I) ∪ β (J)
- β (I ∩ J) ⊆ β (I) ∩ β (J) se β è iniettiva
Dim
1) pt. 1
c) ∀ y ∈ β (I ∪ J) ⇒ ∃ x ∈ I ∪ J | β (x) = y
x ∈ I ∪ J | β (x) = y ⇒ ∃ x ∈ I | β (x) = y ∈ β (I) or ∃ x ∈ J | β (x) ∈ β (J)
∀ y ∈ β (I) ∪ β (J)
Dim
pt. 2
c) ∀ y ∈ β (I ∩ J) ∃ x ∈ I ∩ J | β (x) = y
∃ y ∈ β (I ∩ J) e y ∈ β (I) ⇒ ∀ y ∈ β (I) ∩ β (J)
x ∉ I β (x) = y | x ∉ J β (x) = y
x' ∈ x non è detto candidato
Dim 3
β iniettiva
∀ x ∈ A ⇒ β (x) ≠ β (x') ⇒ g (β (x)) ≠ g (β (x')) ⇒ (g o β) (x) ≠ (g o β) (x')
Prop. β: A → B
g e β surjective Allora g o β : A → D surjective
Dim z ∈ D
∃ y ∈ B g (y) = z
g (β (x)) = z (g o β) (x) = z
∀ x ∈ A β (x) = y
Prop. β: A → B → β bigettive Allora g o β: A → D e bigettiva
g: B → D g (e)
Estremo Superiore
Sia A⊂ℝ A≠∅ A lim. totò superiormente
Allora sup A = minimo dei maggioranti
Oss. Se A non ammette massimo => M = sup A
Sia B = {maggioranti di A} ≠ ∅
a ≤ b ∀ b∈B ∀ a∈A ∀ε̅ ∈ B posso applicare il principio di completezza
- a < x̅ l < b c∈B
- c è un maggiorante c ∈ B
- c è un minurante per B c = minimo di B
Caratterizzazione
A ⊂ ℝ, A ≠ ∅ A lim. sup
Allora L = sup A ⟺
- a ≤ L ∀ a∈A
- ∀ ε>0 ∃ a∈A / a > L-ε
Dim => Sia L = sup A
- L è un maggiorante L ≥ a ∀ a ∈ A
- Sia ε>0 L ε non è più maggiorante ∃ a∈A / a > L-ε
L' NON OK
Teorema dei Carabinieri
{an}, {bn}, {cn} ⊂ ℝ, an = cn ≤ bn ∀n, am → a
Almeno cm → d
dim: ∀ε > 0 ∀n ∈ ℕ ∃γ ∈ ℕ; |am - d| < ε d - ε < an < d + ε
γ2 ∈ ℕ ∀n > γ2; |bm - d| < ε d - ε < bn < d + ε
γ = max{γ1, γ2} ∀n > γ d - ε < an = cn ≤ bn < d + ε
cm = d < ε
oss: an ≤ bn ∀n lim −∞ = am → −∞
an ≤ bn ∀n lim ∞ = am → ∞
Teorema delle Successioni Infinitesime
{an}n ⊂ ℝ allora an → 0 => |an| → 0
dim: => sia an → 0
∀ε > 0 ∀γ ∈ ℕ ∀n > γ; |am| < ε
|am| = |am| < ε per ddt di convergenza |am| → 0
∈ ln → 0 -|an| ≤ an ≤ |am|
⇓ 0
{an}n, {bn}n an → 0 {bn}m limitate Almeno anbn → 0
dim: ∃M > 0 |bm| ≤ M ∀n
∀ε > 0 ε > 0 ∃γ ∈ ℕ ∀n > γ; an < ε/M
∀n > γ anbm = |ai||bm| < ε/M = ε
SUCCESSIONI MONOTONE
{an} si dice monotona crescente se ∀n∈ℕ: an ≤ an+1
{an} si dice strettamente crescente se ∀n∈ℕ: an < an+1
{an} si dice monotona decrescente se ∀n∈ℕ: an ≥ an+1
{an} si dice strettamente decrescente se ∀n∈ℕ: an > an+1
TEOREMA
- OGNI SUCCESSIONE MONOTONA È REGOLARE (ammette limite finito o infinito)
- OGNI SUCCESSIONE MONOTONA È LIMITATA E CONVERGENTE
Dim
- Sia {an} crescente e limitata pongo L = sup {an}, finito
L ≥ {an} ∀n∈ℕ (uso le candele sez-zioni)
∀ε>0 ∃N∈ℕ an > L-ε
∀n ≥ ɣ
-ε < an ≤ L < L+ε
|an-l| < ε → an → L
- Sia {an} crescente e illimitatasup {an} = +∞
∀M>0 ∃r∈ℕ ar > M
∀n ≥ ɣ
an ≥ ar > M an → +∞
Oss
Una successione convergente non è necessariamente monotona
sin n/n → 0
(-1)n/n → 0
INTORNO DI UN PUNTO
DEF. \( x_0 \in \mathbb{R} \) un intorno di \( x_0 \) è un intervallo \( (x_0 - \delta, x_0 + \delta) \subseteq S \)
PUNTO DI ACCUMULAZIONE
DEF. \( A \subseteq E, x_0 \in \mathbb{R} \) non se necessariamente \( x \in A \)
\( x_0 \) è un p.to di acc. per \( A \) se per U intorno di \( x_0 \cap A \) contiene almeno
un punto \( \neq x_0 \)
es \( A = (a,b) \) es \( A = [a,b) \)
es \( A = \mathbb{N} \quad 3 \notin S \)
es \( A = \mathbb{Q} \quad \mathbb{R} \quad \text{(per la densità di \(\mathbb{Q}\) in \(\mathbb{R}\))} \)
DEF. \( A \subseteq \mathbb{R} \quad +\infty \) è punto di acc. per A se per U intorno di +∞ \( U \cap A \neq \emptyset \)
es \( A = \mathbb{N} \quad +\infty \) è p.to di accumulazione per ℕ
DEF. \( A \subseteq \mathbb{R}, x_0 \in \mathbb{R} \) è p.to di acc. da destra per \( A \) se \(\forall \delta>0 (x_0, x_0 + \delta) \cap A \neq \emptyset
Limiti a Caso
Prop. limx→∞ senx/x = limx→∞ cosx/x = 0
dim
xm = m
m ∈ N
xm = 2mπ → +∞
senxm = sen(2mπ) = 0 → 0
sen( xm ) = sen(mπ/2) ∈ {0, ±1} → -1 → 1
limx→0 sen(1/x) = 0
xm = 1/mπ → 0
xm = π/2, 2πm
sen(1/x) xm = sen(mπ/2) = {0, ±1} → 1 → 0
limx→0 (1+x) 1/x = e
y = x2
y = bx/x → 0
limy→0 (1+y)1/y = eb
limx→0 (ax - 1)/x = ln a ∀a>0 a ≠ 1
x = eln a-1
limy→+∞ (ϕy - y)/y = 0 ay = aϕy / ϕy →∞
limy→+∞ (ϕy/a) = limy→∞ (1/(lnϕy/y) = -∞
limx→0 (y1/2 = 1
y = ln a → lga
lga → lgax
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