Analisi matematica I - Appunti dalle lezioni

STUDIO DELLA FUNZIONE

DEFINIZIONE: LA FUNZIONE È UNA RELAZIONE TRA DUE O PIÙ INCOGNITE, PER OGNI ELEMENTO DEL DOMINIO CORRISPONDE SOLO UN ELEMENTO DEL CODOMINIO.

x²=y

NON È UNA FUNZIONE POICHÉ IL GRADO DI X È SUPERIORE A 1 E LA FUNZIONE NON PUÒ AVERE PIÙ DI UNA SOLUZIONE.

f: A(x₁) ⇒ B(y₁)

∀x∈A ∃ y∈B

SCRITTA MEGLIO: f: A⇒B

• Se f: X→Y, ⇒ y=f(x)
• Se f: A→B allora avremo che f(a)=b

PROPRIETÀ (LA FUNZ. PUÒ ESSERE...)

• INIETTIVA Se ∀a,b∈D₁ con a≠b ⇒ f(a)≠f(b)
• SURIETTIVA Se ∀c∈D₂ ∃ d∈D₁, f(c)=c
• BIGETTIVA ⇒ CON ENTRAMBE LE PRECEDENTI
• CRESCENTE In I, se ∀a,b∈I retta passante per (a,f(a)) e (b,f(b)) si trova sopra f(x) in (a,b)
• DECRESCENTE In I, se ∀a,b∈I con a 0
• Val. assoluto ℝ
• Gli argomenti di arco seno ed arco coseno devono essere compresi tra -1 e 1
• Se la funzione si presenta come f(x)^g(x), allora avremo che f(x) > 0
• Funz. esponente pari ≥ 0
• Esponenziale tutto ℝ

poiché anche con esponente negativo si propone sulla sua inversa (¹/_b³ = ^b-3/₁) caso = e^x

Steps nello studio di funzione

1. Determinare il dominio D
2. Determinare eventuali simmetrie e periodicità
3. Determinare le intersezioni con gli assi
4. Studio del segno (punti di discontinuità)
5. Calcolo dei limiti (asintoto orizz., obliq., vert.)
6. Punti di max, min, flex

Studio del segno

Convenzionalmente studiamo f(x) > 0 per capire dove essa sia positiva e per esclusione, negativa

Funzione pari o dispari

• Pari Funzione tale per cui f(-x) = f(x) che assume dunque valori simmetrici rispetto all'asse delle ordinate (y).
• Dispari Funz. tale per cui: f(-x) = -f(x) assume valori simmetrici rispetto all'origine.
• Se f(-x) ≠ f(x) e ≠ -f(x) allora non sarà né una né l'altra.

Derivata Prima con Studio di Segno Max, Min

_F'(x) = (1/log² x )+(x * 2logx)/(log x * 2log x )

logx * 2logx

• logx(logx + 2logx) ≥ 0
• log x (1logx + 2) ≥ 0
• log x ≤ 0
• log x + 2 ≥ 0
• x ≤ 1
• x ≥ e^-2

Massimo e Minimo

• x = 1 min
• x = e^-2 Max

Derivata Seconda con Flesso (Concava, Convessa)

_F''(x) = 2logx + z/x

• Da log x + 2 log x
• 2 log x + 2 ≥ 0

per x = e^-1 avremo cm flesso

Simmetria

• _F(x) = x(log² x)
• _F(x) = -x(log² (-x))
• Ne pari ne dispari

Esempio: Trova Intersezioni per _F(x) = log((x-1)/(x-2))

log((x-1)/(x-2)) = y

y = 0, equaz. dell'asse x

• (x-1)/(x-2) = 1
• Interz. con l'asse x
• _F(x) = 0, equaz. dell'asse y
• x = 0, equaz. dell'asse y

Avremo inters. nel punto di coordinate A = (0, log(t/2))

Riconoscere la tipologia di una funzione

Funzione

• Algebrica
  • Razionali
    • x - √3
  • Irrazionali
    • √x

Possono essere a loro volta:

• Intere
  • x - 1
• Frazionarie
  • 3/(x - 1)

• Trascendentali
  • Esponenziale: e^x, 3^x
  • Logaritmica: ln(x)
  • Goniometriche
  • Trigonometriche: sen(x), cos(x), tg(x)...

Riconosciamo alcune funzioni

y = 3x + 2x → Razionale intera poiché x non è sotto segno di radice (razionale) e la x non è al denominatore (intera).

y = (3x + 2x)/x → Razionale fratta poiché x al denominatore.

y = (3x + 2x)/3 → Razionale intera poiché non c'è x al denominatore.

y = 9 + √x → Irrazionale intera poiché no x sotto, ma x sotto radice.

y = 5/√x → Irrazionale fratta per x al denominatore e sotto segno di radice.

y = e^x, 3^x → Esponenziale

y = ln(x), log(x + 1) → Logaritmiche

y = sen(x), cos(x), tg(x) → Trigonometriche