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CAPITOLO 1 - Nozioni di Base
- Teorema (Principio d'induzione)
Sia n0 ∞ 0 un intero e sia P(n) un predicato definito per ogni intero n ∞ n0. Supponiamo che siano verificate le seguenti due condizioni:
- P(n0) è vero;
- per ogni n ∞ k0, se P(n) è vero allora P(n+1) è vero
⇒ P(n) è vero per ogni n ∞ n0.
NUMERI REALI (ℝ)
- Teorema (Proprietà 1.1 - pag. 11)
Se il numero p soddisfa p2 = 2 ⇒ p non è razionale
- Definizione (Definizione 1.2 - pag. 13)
Siano a, b ∈ ℝ tc. a ≤ b
-
Chiamiamo INTERVALLO CHIUSO di estremi a e b:
[a, b] = {x ∈ ℝ: a ≤ x ≤ b}
-
Chiamiamo INTERVALLO APERTO di estremi a e b:
]a, b[ = {x ∈ ℝ: a < x < b}
[semi-aperto a destra: [a, b[ = {x ∈ ℝ: a ≤ x < b}
semi-aperto a sinistra: ]a, b] = {x ∈ ℝ: a < x ≤ b}
[a, +∞) = {x ∈ ℝ: x ≥ a}
( - ∞, b] = {x ∈ ℝ: x < b}
Insiemi limitati
- Definizione
A ⊆ R , A ≠ ∅
- A è LIMITATO SUPERIORMENTE se∃ M ∈ R : ∀ x ∈ A , x ≤ M
- M è un MAGGIORANTE di ASe b ∈ R , b ≥ M ∀ x ∈ A , x ≤ M ≤ b => b è un maggiorante di A{M, +∞} insieme dei maggioranti di A
- A è LIMITATO INFERIORMENTE se∃ m ∈ R : ∀ x ∈ A , x ≥ m
- m è un MINORANTE di ASe a ∈ R , a ≤ m ∀ x ∈ A , a ≤ m ≤ x => a è un minorante di A{-∞, m} insieme dei minoranti di A
- A è LIMITATO se è limitato inferiormente e superiormente∃ m, M ∈ R : ∀ x ∈ A m ≤ x ≤ M
Insiemi illimitati
- Definizione
A ⊆ R , A ≠ ∅
- A è ILLIMITATO SUPERIORMENTE se non è limitato superiormente∀ M ∈ R ∃ x ∈ A : x > M
- A è ILLIMITATO INFERIORMENTE se non è limitato inferiormente∀ m ∈ R ∃ x ∈ A : x < m
Funzioni invertibili
- f: A → Im A, f iniettiva
- f⁻¹: Im A → A
- y
y ⟺ x t.c. f(x) = y
- Il grafico di f⁻¹ si ottiene da quello di f scambiando tra loro le componenti di ciascuna.
- Il grafico della funzione inversa è il simmetrico di f rispetto alla bisettrice del I e III quadrante (retta y=x)
- Se una funzione f non è iniettiva su tutto il suo dominio, lo può essere su un sottoinsieme X ⊆ dom f :
La restrizione di f a d x è invertibile.
- f |x : X ⊆ A = dom f → B
- tale che f |x(x) = f(x), ∀ x ∈ X
Funzioni periodiche
Una funzione f: dom f ⊆ ℝ → ℝ è periodica di periodo T se:
- ∀ x ∈ dom f x+T ∈ dom f
- ∀ x ∈ dom f f(x+T) = f(x)
Si dirà periodo minimo il più piccolo periodo T>0 per cui valgono le proposizioni precedenti.
● Proposizioni
- Se f ha periodo minimo T>0 ⇒ fk ha periodo KT k ∈ ℕ\{0}
- Se f ha periodo minimo T>0, ∀ x>0 ⇒ e(x) = f(x ha periodo minimo T./.a
Funzioni pari e dispari
- f è pari se f(x) = f(-x) (simmetrica rispetto all'asse y)
- f è dispari se f(-x) = -f(x) (simmetrica rispetto all'origine)
- Se f è pari e dom f ⊆ Im f o o f(x) è pari
Teoremi generali sui limiti
- Teorema (Unicità del limite)
x̄ punto di accumulazione di A = dom f
f: A ⊆ ℝ → ℝ
- Se ∃ limx→x̄ f(x) = e1 e ∃ limx→x̄ f(x) = e2
⇒ e1 = e2
- Teorema (Della permanenza del segno) importante!!
x̄ punto di accumulazione di A = dom f
f: A ⊆ ℝ → ℝ
- Se ∃ limx→x̄ f(x) = L > 0 o +∞ ⇒ ∃ B(x̄): ∀x∈B(x̄)∩A\{x̄}, f(x) > 0
- Se ∃ limx→x̄ f(x) = L < 0, 0 -∞ ⇒ ∃ B(x̄): ∀x∈B(x̄)∩A\{x̄}, f(x) < 0
Corollario
x̄ punto di accumulazione di A = dom f
- ¬∃ limx→x̄ f(x) = e
- ¬∃ B(x̄): ∀x∈B(x̄)∩A\{x̄}, f(x) ≥ 0 [o f(x) ≤ 0]
⇒ ∃ limx→x̄ f(x) =
L ≥ 0 L ≤ 0
+∞ -∞
Corollario
x̄ ∈ A = dom f
f continuo in x̄
- Se f(x̄) > 0 ⇒ ∃ B(x̄): ∀x∈B(x̄)∩A, f(x) > 0
- Se f(x̄) < 0 ⇒ ∃ B(x̄): ∀x∈B(x̄)∩A, f(x) < 0
2° Teorema del confronto (Teorema dei due carabinieri)
A = dom f ⋂ dom g ⋂ dom h, x punto di accumulazione di A
- ∃B(x)∀x∈B(x)⋂A [x] ⇒ f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)
- ∃lim f(x) = ∃lim h(x) = ℓ
Corollario: ("infinitesima per limitata")
x punto di accumulazione di A = dom f ⋂ dom φ
- lim f(x) = 0
- φ(x) è localmente limitata, ∃M>0 ∃B(x): x∈B(x)⋂A, |x| ≤ |φ|
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