Analisi matematica I - Appunti

Per gli studenti di ingegneria

V.Stile

Analisi matematica I

Successioni

Una successione è una legge che ad ogni numero naturale n fa corrispondere uno e un solo numero reale a_n.

Una successione può essere considerata come una funzione da ℕ in ℝ.

Limite di una successione ed unicità del limite

Un numero reale α è limite della successione a_n (si dice anche che a_n tende o converge ad α) e si scrive

lim_n→∞ a_n = α (oppure a_n→α)

se, qualunque sia ε>0, esiste un numero r tale che α-ε < a_n < α+ε per ogni n > r

∀ε > 0 ∃r : |a_n−α| < ε ∀n > r

Il limite può esistere o non esistere, se esiste esso è unico.

Divergenza

Una successione a_n ha limite uguale a +∞ (si dice anche che a_n tende o diverge a +∞) e si scrive

lim_n→∞ a_n = +∞ (oppure a_n → +∞)

se, qualunque sia M>0 esiste un numero r tale che a_n > M per ogni n > r.

Successioni limitate

Una successione a_n si dice limitata se esiste un numero reale M tale che |a_n| < M (o che è lo stesso -M < a_n < M).

Non tutte le successioni limitate sono convergenti ma ogni successione convergente è limitata.

Intorni

Sia x₀ un numero reale. Si dice intorno di x₀ ogni sottoinsieme di R che contenga un intervallo aperto a cui x₀ appartiene.

Indichiamo con I_x0 la famiglia di tutti gli intorni di x₀ e mettiamo in evidenza le proprieta' essenziali:

1. Ogni punto ha almeno un intorno, ogni intorno di x₀ contiene x₀.
2. Se I₁ e I₂ sono intorni di x₀ anche I₁ ∩ I₂ e' intorno di x₀.
3. Se I₁ e' intorno di x₀ e I₂⊇I₁, allora anche I₂ e' intorno di x₀.
4. Per ogni intorno I₁ di x₀ esiste un altro intorno I₂ di x₀ tale che I₁ sia intorno, oltre che di x₀, anche di tutti i punti di I₂.
5. Se c e d sono due punti distinti, esistono un intorno I_c di c ed un intorno I_d di d tali che I_c ∩ I_d = ∅

Teorema di unicita' del limite

Se il limite di una funzione f per x tendente ad x₀ esiste, esso e' unico.

DIM

Supponiamo per assurdo che lim_x→x0 f(x)=l ∧ lim_x→x0 f(x)=m. Allora in corrispondenza di un intorno I_l esiste un intorno I_z0 tale che per ogni x∈I_x0 ∩ D−{x₀}, f(x)∈I_l e contemporaneamente ∀I_m ∃I_x0: ∀x∈I_x0 ∩ D−{x₀}, f(x)∈I_m. Se prendiamo, come e' possibile (si veda proprieta' 5) due intorni I_l ed I_m disgiunti e consideriamo le x che stanno nell'intersezione dei due intorni di x₀ che abbiamo trovato, esse anno immagini sia in I_l che in I_m, il che e' cosa ovviamente impossibile.

Per costruzione si ha che:

f(a_n) < 0      f(b_n) > 0

Qn è una successione crescente (a₁ < a₂ < a₃ < ...) e limitata,

perché è contenuta in [a, b].

Per il teorema delle successioni monotone ammette limite finito sia x₀ tale limite.

Per la relazione b_n = a_n + (b-a)/2ⁿ anche b_n convergerà

ad x₀ per n → ∞.

Quindi

lim a_nn→∞

= lim b_nn→∞

= x₀

Dalla continuità della funzione f si ottiene

f(x₀) = lim f(a_n) < 0

) f(x₀) = lim f(b_n) > 0

Quindi

f(x₀) = 0

c.v.d.

ES:

lim_x→0 (1 - cos2x) log sen x

(1 - cos2x) log sen x = (1 - cos2x) log (sen x / x ⋅ x) = ricordando la proprietà del logaritmo del prodotto log (a ⋅ b) = log a + log b

= (1 - cos2x) log (sen x / x) + (1 - cos2x) log x = (1 - cos2x) log (sen x / x) + (1 - cos2x) log x

quindi lim_x→0 (1 - cos2x) log sen x = lim_x→0 (1 - cos2x) log (sen x / x) + lim_x→0 (1 - cos2x) log x

= x² log x = 0 = 1^{/ 2} ⋅ 0 = 0

III

La forma indeterminata si presenta nella forma lim_x→x₀ f(x) log f(x)

con f(x) → 1 lim_x→x₀ log f(x) = 0

tenendo conto che lim_x→x₀ log [1 + (f(x) - 1)] f(x) - 1 = lim_y→0 log (1 + y) / y = 1

conviene scrivere log f(x) = log [1 + (f(x) - 1)]

ES:

lim_x→+∞ (x⁴ + x² + 3) / (x³ + 1) log (x + 2 / x + 5) = lim_x→+∞ (x⁴ + x² + 3) / x³ + 1) log (x + 2 / x + 5 - 1)

lim_x→+∞ (x⁴ + x² + 3) / x + 1) log (1 + -3 / x + 5 = lim_x→+∞ x + 5)

-3 / x + 5 = -3 lim_x→+∞ 3 x⁴ ⋅ ⋅ ⋅ / x⁴ = -3

tende a -3

(3)

Se si presenta nella forma lim_x→x₀ g(x) [(f(x))^d - 1]

dove g(x) è un infinito e f(x) → 1

conviene scrivere (f(x))^d - 1 = [(f(x) - 1 + 1)]^d - 1

tenendo conto che lim_x→x₀ [(f(x) - 1) + 1]^d - 1 f(x) - 1 = lim_y→0 (1 + y)^d - 1 / y = α

Criterio di monotonia

Sia f una funzione continua in [a,b] e derivabile in (a,b). Allora:

• se f'(x) > 0, ∀ x ∈ (a,b) f non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in (a,b)
• f è strettamente crescente in (a,b)
• se f'(x) < 0, ∀ x ∈ (a,b) f non si annulla identicamente in alcun intervallo contenuto in (a,b)
• f è strettamente decrescente in (a,b)

Allora tale punto di massimo sarà x₂, andiamo ora a valutare il rapporto incrementale

f(x) - f(x₂) x - x₂ ≤ 0 se x ∈ [a, x₂[

Infatti f(x) - f(x₂) è una quantità sempre negativa in (a, b) x - x₂ in tale intervallo è negativa.

f(x) - f(x₂) x - x₂ ≤ 0 se x ∈ ]x₂, b]

Se facciamo il limite dei due rapporti incrementali per x → x₂ otteniamo

da sinistra f'(x₂) ≥ 0, quindi se x ∈ [a, x₂[

da destra f'(x₂) ≤ 0, se x ∈ ]x₂, b]

quindi ne consegue che f'(x₂) = 0 c.v.d.

Teorema di L'Hopital

Siano f(x) e g(x) due funzioni derivabili in [a,b] - {x₀} e tali che

lim_{x → x0} f(x) = lim_{x → x0} g(x) = 0

Se g'(x) ≠ 0 per ogni x ∈ [a,b] - {x₀} e se esiste il limite

lim_{x → x0} f'(x)/g'(x) esiste anche il limite lim_{x → x0} f(x)/g(x) e tali limiti sono equivalenti.

DIM

Caso Semplificato

Sia g'(x₀) ≠ 0 e f,g, g' continue in x₀

lim_{x → x0} f(x)/g(x) = f(x₀) perché essendo continue

f(x)-f(x₀) = lim_{x → x0} ---------------- = f'(x₀)

Che è il limite del rapporto incrementale di f su quello di g per x → x₀ quindi.

Visto che sono funzioni continue vale anche

lim_{x → x0} f(x)/g(x) = f'(x₀)/g'(x₀) quindi lim_{x → x0} f(x)/g(x) = lim_{x → x0} f'(x)/g'(x)

c.v.d.