Analisi matematica I

Analisi 11^o anno

Teoremi e riassunto teoria

Ricordo che se ho la i o j, allora moltiplico per (z) sia sopra che sotto, così ottengo Z : Z = a² + b², |z| = senza nessuna i. -i · z : i |z| = |z|² = x + yi, |z · i| = |z| = |z| · 1 = |z|.

Per trovare z = √(a² + b²) mentre Θ=arctg b/a |z| = √a² + b².

Per le radici: n√p (cos Θ + 2kπ/m + i sen Θ + 2kπ/m).

Quando risolvo con le forme trigonometriche, ricordo che: z² = ρ² · e^iΘ · 2kπ z = z·e^-iΘ.

-4 = 4·e^iπ -4 = 4i = e^iπ/2.

Secondo grado ricordo che: z_1,2 = -b/2 ± √((b/2)² - ac/a).

Disequazioni coi complessi

Arrivo ad avere una conica. Tipo (x-x₀)² + (y-y₀)² = r² con C : (x₀, y₀).

Oppure y ≠ x(a+b)(a-b) = a² - b²!

Se ho il valore assoluto, la i non c'è, dunque per esempio |8ixy| → 1|8xy| = 8|xy|.

Limiti

• Quando ho delle somme raccolgo: se x → ∞.
• Con le radici:
• Quando ho seno o coseno,
• Se x → ∞ log (3x² + 2) → log 3x².
• Se ho log e^x + 4 cos x ricordo che cos 0 = 1.
• Se ho √cos x ne posso fare altro moltiplico per √cos x + 4.
• Gerarchia:
• Se ho
• Se ho lim x^x
• Se non ho sotto la radice. Sennò uso MacLaurin.
• Quando faccio somme di o con gradi diversi, quello di grado più alto vince!
• Ricordo il valore assoluto |...|, perché così...

Importanti limiti noti ed equazioni asintotiche

Per x → 0:

• sen x ≈ x
• 1-cos x ≈ 0
• 1-cos x ≈ tg x ≈ x
• xⁿ ≈ 1
• e^x ≈ 1
• arctg x ≈ x

Gerarchia per x → ∞

- Se ho log f(x) con f(x) → ∞ non uso log il seno logsen x ≈ 0.

(1 + Non posso usare le stime quando, se ho somme/differenze, per i sviluppi del primo ordine si annullano. Tipo senx - ln(1+x²) pongo perciò sen ≈ x (x+o(1)). Se ho x-senx faccio senza problemi.

Se si concertano i termini di o(x) vuole dire che devo sviluppare di più. Cerco di sviluppare fino ad avere sopra e sotto uguale (es. o(xⁿ)).

Se taglio tutto con o(x⁴) e ho un x⁶ questo ulteriore lo trascuro.

Se ho un limite con i parametri tipo cosαx, sviluppo normalmente tanto o((α²·x²) - o(x⁴)).

Se ho cos(shx) faccio: -x² + x⁴ e al posto della x metto lo sviluppo di shx alla 4^a (non ho 4^o allora sì).

Dopodiché considero solo E x⁴!

Se sviluppo alla x³ e poiché sviluppando alla 4^a si annullano perciò quelli della 2^a si eliminano!

Se ho e^(x3) un tutti minimi e poi ho x³ logx, questo è un o-piccolo di x³ perciò non lo considero, infatti x³logx!!!

Se ho x=1 faccio x=1+h cos(h→0 sostituisco la x con 1+h e faccio gli sviluppi.

Se vedo che ho x trap piccoli, ricorda che per x→0 o(x) racchiude x, x³ ecc. perciò non fa conto partire.

Per quelli con ci se ho uno x sopra, nego se va sotto. Se imito ho solo uno X, ricordo che posso avere o o ooo.

Formula di Taylor

lim_x0→f(x)= F(x₀) + f’(x₀)(x-x₀) + f’’(x₀)(x-x₀)²/2! + … f⁽ⁿ⁾(x₀)(x-x₀)ⁿ/n!

Dove m è il grado che ti danno x₀ è il centro che x te ti danno col resto di Lagrange diventa: ...+f⁽ⁿ⁺¹⁾(c)(x-x₀)ⁿ⁺¹/(n+1)!

Serie di McLaurin

Funzioni

1. Studiare il dominio
   • Rapporti: denom ≠ 0.
   • Logaritmi: arg > 0, se c'è un'incognita nell'argomento essa deve avere > 0.
   • Radici con indice pari radicando > 0.
   • Arco/arcos.. arg. compreso tra –1 e 1.
2. Se ho più condizioni, pongo tutte le c.e. a sistema e risolvo. Nei punti in cui si "ferma" il dominio, ci aspettiamo degli asintoti.
3. Parità o disparità
   • f(-x) = f(x) = PARI (asse y)
   • se f(-x) = -f(x) = DISPARI (origine)
4. Intersezione con gli assi
   • pongo x=0 risolve, solo se x=0 è Dom!
   • pongo y=0 (pongo funzione = c.e.) tipo equazione e risolve.
5. Segno della funzione
   • Segno = arg > 0 (segno come cambiamento positivo / negativo in certi intervalli)

I punti che...