Analisi matematica I

Teorema sul limite delle successioni

R, N,viene che . allora hon > M (∗∗)Scriviamo più esplicitamente la denizione di limite:∈ |a − ∈∈ ∀ : λ| < ∀n n > ni) λ lim a = λ <=> > 0∃n N N,R nnn→+∞0.8 Successione 37∀M ∈ ∀n ∈ii) λ = +∞ lim a = +∞ <=> > 0∃n : a > M n > nN N,n nn→+∞−∞ ∀M ∈ ∀n ∈iii) λ = lim a = +∞ <=> > 0∃n : a < M n > nN N,n nn→+∞TEOREMA(caso particolare del limite per le restrizioni)Sia successione in e sia sottosuccessione di . Allora(a ) (a ) (a )Rn n∈N k n∈N n n∈Nnse ha limite, anche ha limite e(a ) (a )n n∈N knlim a = lim ak nnn→+∞ n→+∞0.8.2 Successioni monotonesuccessione in è monotona crescente, ovvero:(a ) Rn n∈N 0 0∈ ≤n, n n < n <=> a aN, 0n nEquivale a scrivere: ≤

∀n ∈ a (<)a Nn n+1≤ ∀n ≤a a mn m
Analogamente, una successione è monotona decrescente se ≥(a ) a (>Rn n∈N n∀n ∈)a Nn+1 ↑a successione monotona crescente.
↓a successione monotona decrescente.
↑a successione monotona strettamente crescente.
↓a successione monotona strettamente decrescente.

TEOREMA (caso particolare del teorema sull'esistenza del limite per le funzioni monotone)
Tutte le successioni monotone hanno limite.
Precisamente: ↑=>a lim a = sup an n nn→+∞ n∈N
↓=>a lim a = inf an n nn→+∞ n∈N

COROLLARIO
Le successioni monotone limitate hanno limite finito.
Sono convergenti=> e limitata.
↑ ≤ ∀ ∈ ≤ ∀n ∈i) a (a a => a a

Dimostrazione. N N)n n n+1 1 nsuperiormente ∃ ∈=> lim a Rn→+∞ n
Infatti: ∈lim a = sup a Rn nn→+∞ n∈N
Se è superiormente limitata.(a )n0.8.3 Il numero e (di

l > 01 1D'altra parte: 00l 1b n →= (1 + ) 1=0l a nnAllora: 00l 0 00= 1 => l = l0lDimostriamo che Si tratta di dimostrare:↑a s.n a n+1 ∀n ∈> 1 Na nUtilizzando la disuguaglianza di Bernoulli, si ha che:Š€ ‚ Œn+1 1 nn+11 + na n +2 n +2 n(n + 2)nn+1 n+1 == = =>Š€ n1 2a n +1 n +1 n +1 (n + 1)1 +n n‚ Œ ‚ Œn n2 −n + 2n + 1 1 n +2 1n +2 − ≥= 1 (disuguaglianza di Bernoulli)= 2 2n +1 n + 2n + 1 n +1 (n + 1)‚ Œ 22 −−n +2 (n + 2)((n + 1) n)n (n + 2)((n + 1) n)≥ − = =1 =2 3 3n +1 (n + 1) (n + 1) (n + 1)2 3 2−(n + 2)((n + 1) n) n + 3n + 3n + 2= > 13 2 3 2(n + 3n + 3n + 1) (n + 3n + 3n + 1) n n+11 1e := lim 1+ = lim 1+n nn→+∞ n→+∞Se allora:n = 1 a = 2 < e < b = 41 1inoltre:2 < e < 3 x −e 1 =1lim xx→040 INDICE0.9 Radici (n-esime aritmetiche)Sia Un numero reale si dice che è una radice n-esima∈ ≥ ≥a a 0. b 0,R,aritmetica se: n ∈b = a n

se allora è una radice n-esima dinà = sup A => λ = a λ a.0.10 Funzioni esponenziali 410.10 Funzioni esponenzialiSia Vogliamo denire x ∀x ∈ a > 0. a , Rx+y x y ∀x, ∈a = a a y R +−→ ·)f : (R, +) (R ,f (x + y) = f (x)f (y)Omomorsmo tra due gruppi xx x ∈a > 0∀xa = alim 0 Rx→x 0NOTA∈x = n N n n· ·f (n) = f (1 + ... + 1) => f (1) ... f (1) = (f (1)) = ax = 0 => f (0) = 1 1 1−nx = => f (x) = f (−n) => f (n−n) = f (0) = 1 => f (n)f (−n) => f (−n) = = nf (n) a1−n 0x a = 1f (1) = a f (x) = a a = nam ∈ ∈x = n mN, Nn mm 1 1 1 1 1f (x) = f ( ) = f ( + ... + ) = f ( )...f ( ) = f ( )n n n n n n √m √1 m n mnf (x) = f ( ) = ( a) = anDEFINIZIONE conx7→x a , a > 0 x∈1) x = n => a = a...aN x 02) x = 0 => a = a = 1 1−nx−n, ∈3) x = n a = a :=N, na42 INDICE√m x n m∈

∈m n a :=4) x = aZ, NnLa denizione è ben posta infatti:pm ∈ ∈= con m, p n, qx = Z Nn q x r∈ ∈5)Se x si pone a := lim a con r (D(R−Q) =R−Q(irrazionale) Q R)r→xNOTALa denizione è ben posta, cioè conr∀x ∈ ∈ ∈lim a rR∃ R Q.r→xPROPRIETA' DELLE FUNZIONI ESPONENZIALISia Allora: x+y x y ∀x, ∈a > 0. 1) a = a a y Rx ∀x ∈2) a > 0 Rx y xy ∀x, ∈3) (a ) = a y Rx x x ∀x ∈4) (b > 0) => a b = (ab) Rx x∀x ∈5) lim a = a 0R,0 x→x 0Se , allora x y6) a > 1 x < y => a < aSe allora x ya < 1 x < y => a > aCRITERIO DI CONVERGENZA PER LE SUCCESSIONI A TERMINIREALI POSITIVI∀n ∈(a ) a > 0 Nn n∈N nSupponiamo: a n+1 −→ ∈ 6λ λ = 1Ra nSe allora →λ > 1 a +∞nSe allora →λ < 1 a 0nallora:λ > 1 ∃p ∈ ↑) monotona

crescenteN(an+p n∈N0.10 Funzioni esponenziali 43a n+1 ∀n ≥∀∃n ∈ − < λ + : λ < nN a nScelto un opportuno, se allora quindia− n+1 λ > 1, λ > 1 > 1 a > an+1 nanSe allora:λ = +∞ a n+1∀M ∀n ≥∈> 0∃n > M: nN a nBasta scegliere e si ha che ∃p ∈ ↑M > 1 : (a )N n+p n∈N∃l ∈ : lim a = lR n→+∞ n+pSe allora:6l = +∞ a n+1lim =1an→+∞ nMa è assurdo perché →λ > 1 => a +∞n∃p ∈ ↑=> ∃: a lim a = l = +∞N n+p n+pn→+∞Se allora:∈ ↓λ < 1∃p : aN n+pa n+1 ∃ ≥< λ + => lim a = l 0n+pa n→+∞nSe per assurdo ma assurdo.an+1l > 0∃ lim = 1 λ < 1 =>n→+∞ anFUNZIONI LOGARITMICHESia Poniamo x6 −→a > 0, a = 1. f : f (x) = aR Ra ase se

è↑ ↓ −f s a > 1, f s a < 1 => f 1 1a a a

TEOREMAx +{a |x ∈f (R) = =]0, +∞[=R} Ra

In altri termini: 0+ x∀y ∈ ∃x ∈ −: (f (x) = y)a = y (∃! perch f e 1 1)R R a a44

INDICE

Allora è biettiva −1 ++ −→−→ ∃f :f : => R RR Ra a

−1 ∈(f (x)) = x∀xf Raa

−1f (f (y)) = y∀y > 0a a

−1 (y) = x <=> y = f (x) => def inizione di f unzione inversaf