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Analisi matematica I

Appunti del corso di analisi matematica I tenuto dal professor Ermanno Lanconelli. Gli argomenti che vengono trattati sono i seguenti: i numeri reali, gli estremi di un sottoinsieme di R, gli insiemi numerici, i numeri naturali, l'insieme dei numeri interi.

Esame di Analisi matematica 1 docente Prof. E. Lanconelli

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Indice

0.1 I numeri reali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

0.2 Estremi di un sottoinsieme di . . . . . . . . . . . . . . . . . 7

R

0.3 Insiemi numerici . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.3.1 Numeri naturali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9

0.4 Insieme dei numeri interi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11

0.5 Insieme dei numeri razionali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12

0.6 Topologia di . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16

R

0.6.1 Intorni di un punto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.6.2 Punti di accumulazione . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

0.6.3 Denizione di limite per le funzioni reali di variabile reale 18

0.7 Derivata . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23

0.7.1 Limiti e . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29

0.7.2 Criteri generali per l'esistenza del limite . . . . . . . . 31

0.8 Successione . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35

0.8.1 Limite per le successioni . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

0.8.2 Successioni monotone . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

0.8.3 Il numero e (di Nepero - Eulero) . . . . . . . . . . . . . 38

0.9 Radici (n-esime aritmetiche) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40

0.10 Funzioni esponenziali . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41

0.11 Successioni estratte . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51

1

2 INDICE

0.11.1 Successione di Cauchy . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52

0.12 Topologia di seguito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54

n :

R

0.12.1 Funzioni inverse e continuità . . . . . . . . . . . . . . . 63

Analisi matematica I

0.1 I numeri reali

∈ 6∈

a A, a A ∈ ∈

A = B <=> (x A <=> x B)

⊆ ∈ ∈

A B <=> (x A => x B)

TEOREMA ⊆ ⊇

A = B <=> (A B, B A)

{1, {1,

A = 2} = B = 2, 1}

è pari tale che

{x ∈ } {x ∈ ∈

A = = x = 2p}

N|x N|∃p N

COPPIA ORDINATA

insiemi e ∈ ∈

A, B a A, b B

coppia ordinata di prima coordinata e seconda coordinata

(a, b) = a b

DEFINIZIONE

0 0 0 0

(a, b) = (a , b ) <=> a = a , b = b

6

(1, 2) = (2, 1)

PRODOTTI CARTESIANI

insiemi × {(a, ∈ ∈

A, B => A B = b)|a A, b B}

ESEMPIO: diagramma cartesiano

2

× 3

= => (x, y)

R R R

RELAZIONI 3

4 INDICE

Scrivo e insiemi. Una relazione da a è un sottoinsieme di ×

A B A B R A B.

NOTAZIONE

(a, b) R <=> aRb

RELAZIONE D'ORDINE

Sia un insieme. Una relazione da ad . ⊇ ×

A R A A (R A A).

Si dice ch'è una relazione d'ordine, se verica le seguenti proprietà:

(proprietà riessiva)

1) aRa∀a A (proprietà antisimmetrica)

2) aRb, bRa => a = b

(proprietà transitiva)

3) aRb, bRc => aRc

OSSERVAZIONE oppure (due numeri reali sono sempre

≤)∀x, ∈ ≤ ≤

(R, y => x y y x

R

confrontabili tra loro)

DEFINIZIONE (ORDINE LINEARE O TOTALE)

Sia una relazione d'ordine nell'insieme , ( è un insieme ordinato).

R A (A, R)

Si dice che è una relazione d'ordine lineare o totale, se: ∀a, ∈

R b A => aRb

oppure bRa.

è linearmente ordinato.

≤)

(R,

FUNZIONE

Siano e due insiemi. Si chiama funzione da e ogni relazione da

A B A B f

e ( ) tale che:

⊆ ×

A B f A B (dominio di è )

∀a ∈ ∈ ∈

1) A∃b B : (a, b) f f A

se 0 0

∈ ∈

2) (a, b) f, (a, b ) f => b = b

NOTAZIONE

Per dire che è una funzione da a si usa la seguente notazione −→

f A B f : A

B è univoca

⊆ ×

f A B, D(f ) = A, f

INSIEME DEI NUMERI REALI (la struttura)

somma, prodotto e relazione d'ordine

·, ≤)

(R, +, +

7−→

(x, y) x + y

·

7−→ ·

(x, y) x y

0.1 I numeri reali 5

Le proprietà che caratterizzano sono le seguenti:

·, ≤)

(R, +,

commutativa

∀x, |

yR, x + y = y + x xy = yx associtaiva

|

(x + y) + z = x + (y + z) (xy)z = x(yz)

distributiva

x(y + z) = xy + xz

tale che tale che elemento neutro

∃0 ∈ ∃1 ∈ ·

x + 0 = x| x 1 = x

R R

∀ ∈ | 6 ∈

1 = 0∀

R R elemento inverso

∀x ∈ ∈ |∀x ∈ 6 ∈

x = 0∃z

R∃y R R, R

−1 1

−x |xz

x + y = 0 y = = 1 z = x = x

gruppo commutativo

(R, +) gruppo commutativo

− ·)

(R 0, campo o corpo commutativo

·)

(R, +, è linearmente ordinato

≤)

(R,

≤ ≤ ∀z ∈

x y => x + z y + z R

≤ ≥ ≤

x y, z 0 => xz yz

è un campo ordinato

·, ≤)

(R, +, è completo

≤)

(R,

Conseguenze delle proprietà caratterizzanti di ·, ≤)

(R, +,

sono unici

0, 1

L'opposto e il reciproco sono unici −1

(−x, y )

x y = x + (−y)

x −1

·

= x y

y

Legge di cancellazione x + z = y + z => x = y

x+z = y+z => (x+z)+(−z) = (y+z)+(−z) => x+(z+(−z)) = y(z+(−z)) => x = y

6

xz = yz, z = 0 => x = y

−1 −1 −1 −1

6

xz = yz, z = 0 => (xz)z = (yz)z => x(zz ) = y(zz ) => x·1 = y·1 => x = y

6 INDICE

· ∈

x 0 = 0∀x R

· · · ·

x + x 0 = x 1 + x 0 = x(1 + 0) = x 1 = x

· ·

x + x 0 = x => x 0 = 0

−(−x) ∈

= x∀x R −(−x)

x + (−x) = 0 => (−x) + x = 0 => x =

−xy

(−x)y = ·

xy + (−x)y = (x + (−x))y = 0 y = 0

−xy

(−x)y =

(−x)(−y) = xy

−1 −1 −1 −1 −1 −1 −1 −1

· · · · · ·

(x y)(x y ) = x y y x = x x = 1 => x y = (xy)

·

x x z ∀z 6

= = 0

·

y y z

NOTAZIONE

≤ ≤

x y <=> y x ≥ −x ≤

x 0 => 0

≥ ≥ ≥ −x −x ≤

x 0 => x + (−x) 0 + (−x) => 0 => 0

≥ −x ≤ −y

x y =>

8

> 2

≥ ≥

x 0 => x 0

<

2 ≥ ∈ ∈

x 0∀ => x

R R > 2 2

: ≤ −x ≥ ≥ ≥

x 0 => 0 => (−x) 0 => x 0

NOTAZIONE ≥ 6

x < y <=> x y; x = y

2

6 ≥

1 > 0, 1 = 0, 1 = 1 0 => 1 > 0

−1 −1

· ≤ · ≤

x > 0 <=> x > 0 => x x x 0 => 1 0

0.2 Estremi di un sottoinsieme di 7

R

Allora per assurdo , ma è assurdo

−1 ≤

x > 0; x < 0 1 0

≤ ≥ ≥

x y, z y => xy xy

8

> −1 −1 −1

·

x > 0 => x > 0 => x (xy) > 0 x => y > 0

<

6

xy > 0 => x, y = 0 = >

: x< 0

8

> x> 0 ey> 0

< x

xy > 0 <=> > 0

<=>

> y

: x< 0 ey< 0

campo linearmente ordinato e completo

·, ≥)

(R, +, ≥ ≥ ∀z ∈

x y <=> x + z y + z R

≥ ≤ ≥

x y, z 0 => xy yz

0.2 Estremi di un sottoinsieme di R

DEFINIZIONE(maggiorante, minorante)

Sia un sottoinsieme di e sia

⊆ ∈

A x

R(A R) R

Si dice che è un maggiorante di se ≥ ∈ ≤

x A a x∀a A, x a

Si dice che è un minorante di se ≤ ∈ ≥

x A a x∀a A, x A

DEFINIZIONE(massimo e minimo)

Sia e sia Si dice che è il massimo di se:

⊆ ∈

A x x A

R R.

1) x A

≥ ∈

2) x a∀ A

Si dice che è il minimo di se:

x A

1) x A

≤ ∀ ∈

2) x A

UNICITA' DEL MASSIMO E DEL MINIMO

8 INDICE

TEOREMA

Se ha massimo, allora questo è unico

A

Se ha minimo, allora questo è unico

A

NOTAZIONE

massimo di

max A = A

minimo di

min A = A

Siano entrambi minimi di , dimostriamo che

0 ∈

x, x A x =

Dimostrazione. R

0

x

Infatti: , dove sono maggioranti allora

0 0 0 0

≥ ∈ ≥ ∈

x x A x x A x, x x = x

DEFINIZIONE(estremo superiore, estremo inferiore)

Sia un sottoinsieme di e sia Si dice che è l'estremo superiore

A λ λ

R R.

di se è un maggiorante di ed è il minimo dei maggioranti di .

A A A

In altri termini:

λ := sup A

≥ ∀x ∈

1) λ x A

∈ ≥ ∀x ∈ ≥

2) µ µ x, A => µ λ

R,

Analogamente, un numero reale si dira' estremo inferiore di :

λ A

λ := inf A

≤ ∀x ∈

1) λ x A

∈ ≤ ∀x ∈ ≤

2) µ µ x, A => µ λ

R,

OSSERVAZIONE:

Sia un sottoinsieme di dotato di massimo. Allora il massimo di

1) A R

A = sup A.

Sia un sottoinsieme di dotato di minimo. Allora il minimo di

2) A A =

R

inf A.

Infatti:

sia ,allora: ∈

λ = max A 1) λ A

≥ ∀x ∈

2) λ x A

0.3 Insiemi numerici 9

Sia ora ne verrà che

∈ ≥ ∀x ∈ ∈ ≥

µ µ x A, λ A, µ λ

R,

In denitiva è un maggiorante e tra i maggiornati il più piccolo

λ ⊆ ∈

A λ = sup A, λ A => λ = max A

R,

DEFINIZIONE (insiemi limitati superiormente o inferiormente)

Sia Si dice che è limitato superiormente se ha almeno un maggio-

A A

R.

rante, precisamente se ∃x ∈ ≥ ∈

: x a∀a A

R

Sia Si dice che è limitato inferiormente se ha almeno un minorante,

A A

R.

precisamente se ∃x ∈ ≤ ∈

: x a∀a A

R

PROPRIETA' DI COMPLETEZZA DI R

Dierenza tra e

R Q

Ogni sottoinsieme di limitato superiormente ha estremo superiore.

R

Ogni sottoinsieme di limitato inferiormente ha estremo inferiore.

R

0.3 Insiemi numerici

NOTAZIONE

insieme numeri naturali

=

N insieme numeri interi

=

Z insieme numeri razionali

=

Q insieme numeri reali

=

R ⊆ ⊆ ⊆

N Z Q R

6 6 6

= = =

0.3.1 Numeri naturali

DEFINIZIONE(insieme induttivo)

Sia un sottoinsieme di si dice che è induttivo se:

I I

R

10 INDICE

1) 1 I

∈ ∈

2) x I => x + 1 I

Osservazione cruciale: è induttivo

N

Infatti:

allora induttivo

∈ ∈ ∈

1 1 <=> 1 I∀I

N N

∈ ∈

x => x + 1

N N

induttivo induttivo

∈ ∈ ∀I ∈ ∀I ∈

x => x I, => x + 1 I, => x + 1

N N

è un insieme induttivo ed è contenuto in ogni altro insieme induttivo

N

OSSERVAZIONE:

Fra e non vi sono altri numeri naturali.

1 2

perché

6∈ 6∈ 6∈

0 0 I => 0

N N

1 \

= I

N Iinduttivo

OSSERVAZIONE:

Sia tale che , allora allora allora

⊆ ∈ ∈ ∈ ⊇

M 1 M n M n + 1 M M

N N

= M

N

Principio d'induzione matematica

Disuguaglianza di Bernoulli

Dimostrare che n ≥ ∀x ∈ ≥ −1, ∀n ∈

D(n) = (1 + x) 1 + nx x

R, N

vera

N = 1 => 1 + x 1 + x

Dimostrazione. 2 ≥ ≥ −1

N = 2 => (1 + x) 1 + 2x∀x

allora quindi è vera

2 ≥

x 0

Uso il principio d'induzione matematica, quindi se è vera allora

D(n) D(n+1)

è vera n+1 ≥ ∀x −1

(1 + x) 1 + (n + 1)x >

n+1 n 2

≥ ≥

(1+x) = (1+x) (1+x) (1+nx)(1+x) = 1+(n+1)x+nx 1+(n+1)x

0.4 Insieme dei numeri interi 11

allora: n+1 ≥

(1 + x) 1 + (n + 1)x

Poniamo: n

∈ ≥ −1

M = n + x) 1 + nx∀x >

N|(1

, inoltre

⊆ ∈

M I M

N

Se allora allora insieme per cui la disuguaglianza

∈ ∈

n M (n + 1) M M = N

è vera.

PRINCIPIO D'INDUZIONE MATEMATICA

\ ∈ ∈ ∀I ∈

:= I|x <=> x I, µ

N N

I∈µ

{1,

= 2, 3, ..., n, n + 1, ...}

N famiglia di tutti gli'insiemi induttivi

µ =

OSSERVAZIONE:

è induttivo perché contenuto in tutti gl'insiemi

M M => M =

N, N

induttivi.

Sia una proprietà signicativa in supponiamo: è vera

P (n) 1) P (1)

N,

Allora l'aermazione è vera ∀n ∈

2) P (n) => P (n + 1) P (n) N

Poniamo è vera

{n ∈ }

M = (n)

Dimostrazione. N|P

Allora: inoltre: ( è vera)

⊆ ∈

M 1 M P (1)

N;

( è vera) allora è vera

∈ ∈

n M P (n) P (n + 1) => n + 1 M

Per il teorema precedente M = N

0.4 Insieme dei numeri interi

∪ {0} ∪

:= (−N)

Z N

12 INDICE

−N {−n|n ∈

:= N}

{0, ±1, ±2, ±n}

= ...,

Z

0.5 Insieme dei numeri razionali

¨ «

p |p ∈ ∈

:=

Q Z, Q N

q

TEOREMA( )( )

6 − 6 ∅

= =

Q R R Q

2

∃ ∈

1) x > 0 : x = 2

R, 2

∈ 6∈

2) x > 0, x = 2 => x

R.x Q

2)

Dimostrazione.

Ragioniamo per assurdo 2

∃x ∈

=> x > 0 : x = 2

Q,

Allora esistono possiamo supporre e primi fra loro, allora:

pq

p, q : x = p q

N xz

x ∀z

= > 0

y yz

Allora: ‚ Œ

2 2

p p 0

2 2 2

x = 2 => = 2 => = 2 => p = 2q allora p e pari

2

q q

2 2 2

− − −

p = 2k 1 => p = 4k + 1 4k = 4k 4k + 1

Per tanto è pari ( è pari)

2

p p

In altri termini ( opportuno)

p = 2k k N

Ne viene che è pari è pari.

2 2 2 2 2

4k = 2q => 2k = q => q => q

Ma questo è assurdo perché e devono essere pari, ma sono primi tra loro

p q

quindi è impossibile nessun numero razionale al quadrato da .

=> 2

1)

Dimostrazione. 2

∃λ ∈ λ > 0 : λ = 2

R,

0.5 Insieme dei numeri razionali 13

Poniamo 2

{x ∈

A = > 0, x < 2}

R|x

( )

6 ∅ ∈

1) A = <= 1 A

è limitato superiormente (ha almeno un maggiorante ∃y ∈ ≥

2) A => : y

R

)

x∀x A 2 2 2 2

x A => x > 0, x < 2 < 4 = 2 => x > 0, x < 2 => x < 2

x < 2∀x A

2 2

a, b a, b > 0, a < b <=> a < b

R,

2 2 2 2

− − −

a < b <=> b a > 0 <=> (b a)(b + a) > 0 <=> b a > 0 <=> b > a

Essendo limitato superiormente, per l'assioma di comple-

⊂ 6 ∅,

A A = A

R,

tezza di esiste estremo in .

≤)

(R, sup A R

Poniamo λ = sup A

Dimostriamo: siccome è un maggiorante di , allora perché

1) λ > 0 => λ A λ 1

1 A => λ > 0

per assurdo oppure

2 2 2 2

6

2) λ = 2 => λ = 2 => λ < 2 λ > 2

Se tale che

2 2

λ < 2 => > 0 (λ + ) < 2

Se tale che

2 2

∃ −

λ > 2 => > 0 < λ : (λ ) > 2

Ne viene che : 2 ∈ ≤ ≤ ≤

λ+ > 0, (λ+) < 2 => λ+ A => λ+ sup A = λ => λ+ λ => 0

2 2 2 2

∀x ∈ ∀x ∈

λ− > 0, (λ−) > 2 > x A => λ− > 0, x > 0, (λ−) > x => (λ− > x, A

− ≥ − ≥ − ≥ ≤

=> λ sup A = λ => λ λ => 0 => 0)

2 6∈

2 => λ

λ = 2 => λ = Q

2 2

λ < 2 => > 0 : (λ + ) < 2

2

λ > 0; > 0; < 1 => <

2 2 2 2

(λ + ) = λ + + 2λ < λ + + 2λ < 2

14 INDICE

2

2 λ

2 2

λ + + 2λ < 2 => λ + (1 + 2λ) < 2 <=> (1 + 2λ) < 2 <=> < 1 + 2λ

Scegliamo: ¨ «

2

2 −

− 2 λ

2 λ > 0 0 < < min 1,

> 0, < 1, < 1 + 2λ 1 + 2λ

2 2

∃ −

λ > 2 => > 0, < λ, (λ ) > 2

2 2 2 2

− − ≥ −

(λ ) = λ + 2λ λ 2λ > 2 2 −

λ 2

2 2

− −

λ 2λ > 2 <=> λ 2 > 2λ <=> (λ > 0) => < 2λ

Allora basta scegliere tale che 2 −2

λ }

0 < < min{λ, 2λ

è archimedeo

R

Ciò signica: ∀x ∀y ∈

> 0, > 0∃n tale che nx > y

N

Premetto che non è superiormente limitato

N

Allora per assurdo sia superiormente limitato ∃λ −

=> := sup => λ 1

N N

non è un maggiorante di ∃n ∈ −

=> : n > λ 1 => n + 1 > λ

N N

D'altra parte , ma ho una contraddizione.

∈ ≤

n + 1 => n + 1 sup N = λ

N

Siano ora due numeri reali positivi allora non è maggiorante di

y

x, y =>

N

x

y

∃n ∈ : n > => nx > y

N x

è denso in

Q R

Signica che se si prendono ∀x, ∈ ∃r ∈

y x < y => : x < r < y

R, Q

0.5 Insieme dei numeri razionali 15

Parte intera di un numero reale

Sia e consideriamo allora limitato

∈ {p ∈ ≤ ⊆

x A = x} A

R Z|p Z

superiormente, allora ha massimo.

A

Si pone parte intera di

[x] = x := max A

∈ ≤

[x] = max{p x}

Z|p

OSSERVAZIONI

∈ ≤

1) [x] A => [x] x

(perché )

6∈

2) [x]+ A [x] + 1 > max A = [x] => [x] + 1 > x

1) + 2) [x] x < [x] + 1

Siano ora ∈

x, y x < y

R,

Allora e quindi per la proprietà di

− ∃n ∈ −

y x > 0 : n(y x) > 1

N R

archimedeo m m

− ∃m ∈ ∈

=> ny nx > 1 => : nx < m < ny => xz < y => r =

Z n n

x < r < y

Q, allora : poniamo

∈ −x ∃m ∈

x, y : y > 1, mathbbZ : x < m < y m = [x]+1

R

allora e

∈ ≤

m x < [x] + 1 x + 1 < y => x < m < y

Z

OSSERVAZIONE

Anche è denso in . In altri termini:

R Q R

∀x, ∈ ∈ −

y x < y∃z : x < z < y

R, R Q

Infatti: √

x y x y

√ √ √ √

∃r ∈

x < y => < => : < r < => x < r 2 < y

Q

2 2 2 2

Se 6 6∈

r = 0 => r 2 Q

√ √ S

∈ ∈

r 2 = S => 2 = => Impossibile

Q Q

r

16 INDICE

Se fosse allora avremmo y

y

x x

∃r

r = 0 : <r<

< 0 < => < 0

√ √ √ √

Q

2 2 2 2

√ √

y

x 6 6∈

r < r = 0 => x < r 2 < y, r 2

=> < ,

√ √ Q

2 2

Valore assoluto di un numero reale

Denizione:

Sia si pome valore assoluto di

∈ |x| −x}

x = x := max{x,

R

OSSERVAZIONI

Se ≥ −x ≤ −x} |x|

1) x 0 => 0 => max{x, => = x

Se ≤ −x ≥ −x} |x| −x

2) x 0 => 0 => max{x, => =

8

> ≥

x, se x 0

<

|x| = >

:

−x, ≤

se x 0

0.6 Topologia di R

Notazione: {x ∈ ≤ ≤ ∈

[a, b] := x b} con a, b

R|a R

{x ∈ ≤

]a, b] := < x b}

R|a

{x ∈ ≤

[a, b[ := x < b}

R|a

{x ∈

]a, b[ := < x < b}

R|a

{x ∈ ≥

[a, +∞[ := a}

R|x

{x ∈

]a, +∞[ := > a}

R|x

{x ∈ ≤

]−∞, a] := a}

R|x

{x ∈

]−∞, a[ := < a}

R|x

0.6 Topologia di 17

R

0.6.1 Intorni di un punto

Sia e sia L'intervallo

∈ −

x r > 0. ]x r, x + r[= D(x , r)

R

0 0 0 0

Si chiama intorno di di raggio

x r

0

Poniamo:

famiglia degli intorni di {]x −

U = x := r, x + r[|r > 0} = U

x 0 0 0 x

0 0

∈ − ∈

x V =]x r, x + r[, V U

R,

0 0 0 x 0

Ogni intervallo del tipo: ∈

]M, +∞[, M R

verrà chiamato intorno di +∞

Analogamente ogni insieme del tipo seguente si chiama

− ∞, ∈

] M [, M R

intorno di −∞

Poniamo: {]M, ∈

U = +∞[|M R}

+∞ {] − ∞, ∈

U = M [|M R}

−∞

0.6.2 Punti di accumulazione

Sia sia per

⊆ 6 ∅, ∈

A A = x

R, R

0

Si dice che è un punto di accumulazione di se:

x A

0 − ∩ 6 ∅∀V ∈

(A x ) V = U

0 x 0

∀V ∈ ∃x ∈ ∈ 6

U A; x V, x = x

x 0

0

− − ∅∀r

(A x )∩]x r, x + r[6 = > 0

0 0 0

L'insieme dei punti di accumulazione di un insieme si chiama derivato di

A

e si indica con questa notazione

A D(A)

Riassumendo: ∈ − ∩ 6 ∅∀V ∈

x D(A) <=> (A x ) V = U

0 0 x 0

DEFINIZIONE DI +∞

Sia si dice che è un punto di accumulazione di se

⊆ ∩ 6

A +∞ A A V =

R

18 INDICE

∅∀V ∈ U

+∞

DEFINIZIONE DI −∞

−∞ ∈ ∩ 6 ∅∀V ∈

D(A) <=> A V = U

−∞

OSSERVAZIONE

è un punto di accumulazione di ( )

∈ ∪ 6 ∅ ∀V ∈

+∞ A +∞ D(A) <=> A V =

∈ ∅ ∀M ∈ ∀M ∈

U (V =]M, +∞[, M <=> A∩]M, +∞[6 = <=>

R) R

+∞ tale che non ha maggioranti non è limitato

∈ A x > M <=> A <=> A

R∃x

superiormente.

+∞ D(N)

Analogamente non è limitato inferiormente.

−∞ ∈ D(A) <=> A

NOTAZIONE 8

>

> ∈ R

>

>

<

x = x : +∞

R

0 0 >

>

>

> −∞

:

0.6.3 Denizione di limite per le funzioni reali di varia-

bile reale

Sia . Sia e sia Si dice che

−→ ∈ ∈ ∈

f : A x D(A)(x λ f (x)

R R) R.

0 0

tende a con che tende a e si scrive:

λ x x 0 lim f (x) = λ

x→x 0

Se: ∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }) ∩

U U : f (x) V, (A W

λ x 0

0

CASISTICA ESPLICITA

∈ ∈ ∈

1) x λ D(A))

R, R(x

0 0

∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }) ∩

U U : f (x) V, (A W

λ x 0

0

In questo caso: −

V =]λ , λ + [, > 0

0.6 Topologia di 19

R −

W =]x δ, x + δ[, δ > 0

0 0

∀ ∈]λ − ∀x ∈ − {x }), ∈]x −

> 0∃δ > 0 tale che f (x) , λ + [, (A x δ, x + δ[

0 0 0

NOTA:

∈]λ−, − |f

f (x) λ+[<=> λ− < f (x) < λ+ => < f (x)−λ < + <=> (x)−λ| <

− ∈ kz| −z} −

< z < z = max{z; < z < z <

R

∀ |f − ∈ − {x }, |x − |

> 0∃δ > 0 : (x) λ| < ∀x A x < δ

0 0

2) ∈ ∈

x D(A))λ = +∞

R(x

0 0

lim f (x) = +∞

x→x 0 ∈

V =]M, +∞[, M R

W =]x δ, x + δ[, δ > 0

0 0

∀M ∈ ∈]M, ∀x ∈ − {x }), |x − |

> 0 : f (x) +∞[, (A x < δ

R∃δ 0 0

Quindi: ∀M ∈ ∀x ∈ − {x }), |x − |

> 0 : f (x) > M, (A x < δ

R∃δ 0 0

3) ∈ ∈ −∞

x D(A))λ =

R(x

0 0 −∞

lim f (x) =

x→x 0 − ∞, ∈

V = U = U <=> V =] M [, M R

−∞

λ −

W =]x δ, x + δ[, δ > 0

0 0

∀M ∈ ∈] − ∞, ∀x ∈ − {x }), |x − |

> 0 : f (x) M [, (A x < δ

R∃δ 0 0

Quindi: ∀M ∈ ∀x ∈ − {x }), |x − |

> 0 : f (x) < M, (A x < δ

R∃δ 0 0

20 INDICE

4) ∈

x = +∞, λ R

0

∈ −

V U <=> V =]λ , λ + [, > 0

λ

∈ ∈

W U = U <=> W =]k, +∞[, k R

x +∞

0 lim = λ

x→+∞

∀ ∈ |f − ∀x ∈

<=> > 0∃k : (x) λ| < , A, x > k

R

5), 6) x = +∞, λ = +∞, (−∞)

0 lim f (x) = +∞(−∞)

→+∞

x 0

∈ − ∞,

V U = U , V =]k, +∞[(V =] k[)

λ +∞(−∞)

W U = U , W =]M, +∞[

x +∞

0

∀k ∈ ∈ ∀x ∈

: f (x) > (<)k, A, x > M

R∃M R

7) lim f (x) = λ(∈ R)

x→−∞

∈ − ∀x ∈

> 0∃k (x) λ| < , A, x < k

R|f

8), 9) lim f (x) = +∞(−∞)

x→−∞

∀M ∈ ∈ ∀x ∈

: f (x) > (<)M, A, x < k

R∃k R

UNICITA' DEL LIMITE .

Sia e e Siano

−→ ⊆ ∈ ∈

f : A A n x D(A). λ, µ R

R, R 0

Supponiamo: lim f (x) = λ, lim f (x) = µ

x→x x→x

0 0

Allora λ = µ

0.6 Topologia di 21

R

Premettiamo il seguente lemma:

Siano e allora:

∈ 6

λ µ λ = µ,

R, ∃V ∈ ∃V ∈ ∩ ∅

U U : V V =

1 λ 2 µ 1 2

1)

Dimostrazione.

Siano Per ssare le idee supponiamo .

λ, µ λ < µ

R.

Sia µ−λ

> 0 : λ + < µ <=> 0 < < 2

Allora − − ∅

]λ , λ + [∩]µ , µ + [=

Prendendo e l'aermazione è dimostrata.

− −

V =]λ , λ + [ V =]µ , µ + [

1 2

2) −∞, ∈

λ = µ R

1

1 ∈ ∈ ∩ ∅

− ∞, − − , µ + [=> V U , V U , V V =

V =] µ 1[, V =]µ −∞

1 2 µ 1 2

1 2 2 2

3) −∞,

λ = µ = +∞

− ∞, ∩ ∅

V =] 0[, V =]0, +∞[ allora V V =

1 2 1 2

DIMOSTRAZIONE DELL'UNICITA' DEL LIMITE

Per ipotesi lim f (x) = λ, lim f (x) = µ <=>

x→x x→x

0 0

∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }x ∈

U U : f (x) V A W

1 λ 1 x 1 0 1

0

∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }, ∈

U U : f (x) V A x W

2 µ 2 x 2 0 2

0

Per assurdo allora per il lemma precedente

6 ∃V ∈ ∃V ∈

λ = µ U U :

1 λ 2 µ

.

∩ ∅

V V =

1 2

Sia i corrispondenti(secondo la denizione di limite) intorni di .

W , W x

1 2 0

Allora . Allora

∩ ∈

W = W W W U

1 2 x

0

22 INDICE

Poiché almeno un punto

∈ ∈ − {x }) ∩ ∅)

x D(A)∃ x (A W (6 =

0 0

Di conseguenza: ∈ − {x }) ∩ ∈

x (A W => f (x) V

0 1 1

∈ − {x }) ∩ ∈

x (A W => f (x) V

0 2 2

Allora ∩ 6 ∅

V V =

1 2

LIMITE PER LE RESTRIZIONI

Sia e sia si chiama restrizione di in la seguen-

−→ ⊆

f : A B A, f B

R

te: −→

f /B : B (f /B(x) = f (x))

R,

Sia ora e supponiamo

∈ ∩

x D(A) D(B) lim f (x) = λ

0 x→x

0

Allora anche lim (f /B)(x) = λ

x→x 0 ∈

lim (f /B)(x) = λ <=> lim f (x) = λ x B

x→x x→x

0 0

Infatti:

−→ ∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ ⊆

f (x) λ <=> U U : f (x) V (A−{x )}∩W (B A)

x→x λ x 0

0 0

∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }) ∩

=> U U : f (x) V (B W

λ x 0

0

CASI PARTICOLARI DI RESTRIZIONI

lim f (x) = λ => lim f (x) = λ

x→x

+ 0 x>x

x→x 0

0

−→ {x ∈ }

f : A B = A|x > x (f /A)∩]x , +∞[

R, 0 0

− ∞,

lim f (x) = λ => lim f (x) = λ (f /A)∩] x [

0

x→x

− 0 x<x

x→x 0

0

0.7 Derivata 23

OSSERVAZIONE ∈ − ∞, ∩

x D(A∩] x [) D(A∩]x , +∞[)

0 0 0

∃ f (x) = λ

f (x) = lim

f (x) = λ <=> lim

lim

x→x −

+

0 x→x

x→x 0

0

0.7 Derivata

Sia Si dice che è derivabile in

−→ ∈ ∩ ∃

f : A x A D(A). f x <=>

R, 0 0

il seguente limite: −

f (x) f (x )

0

lim −

x x

x→x 0 0

Se questo limite esiste, questo si chiama la derivata di in e si denota con

f x 0

df (x)

0 |

f (x ), Df (x ),

0 0 x=x

dx 0 −

f (x) f (x )

0

0 = R(x)

f (x ) := lim

0 −

x x

x→x 0 0

− {x } −→

R : A R

0

∈ − {x }) ∀W ∈ − {x }) − {x }) ∩ 6 ∅

x D(A <=> U , ((A W =

0 0 x 0 0

0

∀W ∈ − {x }) ∩ 6 ∅ ∈

<=> U (A W = <=> x D(A)

x 0 0

0

TERMINOLOGIA

−→ ⊆ ∈

f : A A x D(A)

R, R, 0

converge per allora il limite è nito.

→ ∃ ∈

f x x <=> lim f (x) R

0 x→x 0

diverge positivamente per → ∃

f x x <=> lim f (x) = +∞

0 x→x 0

diverge negativamente per → ∃ −∞

f x x <=> lim f (x) =

0 x→x 0

oscilla per → ∃

f x x <=>6 lim f (x)

0 x→x 0

ALGEBRA DELLE FUNZIONI CONVERGENTI

24 INDICE

Siano Sia poi

−→ ⊆ ∈ ∈

f, g : A A x D(A) (x x = +∞, x =

R, R. R,

0 0 0 0

Supponiamo

−∞). ∃ ∈ ∃ ∈

lim f (x) = l lim g(x) = m

R, R.

x→x x→x

0 0

Allora: −→ →

1)f (x) + g(x) l + m per x x 0

−→ →

2)f (x)g(x) lm per x x 0

f (x) l

6 ∈ 6 →

3)(g(x) = 0∀x A, m = 0)allora = per x x 0

g(x) m

OSSERVAZIONE CRUCIALE(la nozione di limite è di tipo locale)

Supponiamo di avere funzioni −→ ∈ ∈

2 f, g : A x D(A) (x x =

R, R,

0 0 0

−∞)

+∞, x =

0

Supponiamo che ∃W ∈ ∈ − {x }) ∩

U : f (x) = g(x)∀x (A W

0 x 0 0

0

Allora se e

∃ ∃

lim f (x) => lim g(x) lim f (x) = lim g(x)

x→x x→x x→x x→x

0 0 0 0

Sia Allora:

λ := lim f (x).

Dimostrazione. x→x 0

∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }) ∩

U U : f (x) V, (A W

λ x 0

0

Poniamo Di conseguenza allora

∩ ∈ − {x }) ∩ ∈

W = W W . x (A W x

1 0 0 1

allora

})∩W, ∈ })∩W ∈ ∈

(A−{x x (A−{x f (x) V, f (x) = g(x) => g(x) V

0 0 0

NOTA: ∈

W U

1 x

0

Conclusione:

∀V ∈ ∃W ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }) ∩

U U : g(x) V (A W

λ 1 x 0 1

0

<=> lim g(x) = λ

x→x 0 (algebra delle funzioni convergenti)

Dimostrazione.

Per ipotesi: ∀σ ∈ |f − ∈ − {x }) ∩

1) > 0∃W U : (x) l| < σ∀x (A W (∗)

1 x 0 1

0

∀σ ∈ |g(x) − ∈ − {x }) ∩

> 0∃W U : m| < σ∀x (A W (∗∗)

2 x 0 2

0

0.7 Derivata 25

Dimostriamo che per , si tratta di dimostrare la

→ →

f (x) + g(x) l + m x x 0

seguente aermazione:

∀ ∃W ∈ |(f − ∈ − {x }) ∩

> 0, U : (x) + g(x)) (l + m)| < ∀x (A W

x 0

0

Fissiamo dunque ad arbitrio. Per ogni verichiamo le due

> 0 σ > 0

ipotesi .

(∗)(∗∗)

Poniamo Allora e inoltre risulta:

∩ ∈ ∈ − {x }) ∩

W = W W . W U x (A W

1 2 x 0

0

|(f |(f ≤ |f

(x)+g(x))−(l+m)| = (x)−l)+(g(x)−m)| (x)−l| +|g(x)−m| < 2σ =

<σ <σ

Se e ricordando la disuguaglianza triangolare:

|a ≤ |a| |b|

σ = + b| +

2

Conclusione:

∀ ∈ |(f ∀x ∈ })∩W

> 0∃W U : (x)+g(x))−(l+m)| < , (A−{x <=> lim (f (x)+g(x)) = l+m

x 0

0 x→x 0

Dimostriamo che per . Si tratta di dimostrare

−→ →

2) f (x)g(x) lm x x 0

l'aermazione seguente:

∀ ∈ |f − ∈ − {x }) ∩

> 0∃W U : (x)g(x) lm| < ∀x (A W

x 0

0

Fissiamo dunque ad arbitrio. Per ogni verichiamo

> 0 σ > 0 (∗)(∗∗)

Poniamo Allora e inoltre:

∩ ∈ ∈ − {x }) ∩

W = W W . W U x (A W

1 2 x 0

0

risulta:

|f − |(f − − −

(x)g(x) lm| = (x) l)(g(x) m) + mf (x) + lg(x) 2lm| =

|(f − − − − ≤

= (x) l)(g(x) m) + m(f (x) l) + l(g(x) m)|

2

≤ |f |g(x)−m|

(x)−l| +|m||f (x)−l| +|l||g(x)−m| < σ +|m|σ+|l|σ <

<σ <σ <σ <σ

Se , quindi 2

0 < σ < 1 σ < σ

2 |m|σ |l|σ |m|σ |l|σ |m| |l|)

σ + + < σ + + = σ(1 + + < se σ < |m| |l|

1 + +

26 INDICE

Prendiamo }

0 < σ < min{1, 1+|m|+|l|

Conclusione:

∀ ∈ |(f ∀x ∈ })∩W (f (x)g(x)) = lm

> 0∃W U : (x)g(x))−(lm)| < , (A−{x <=> lim

x 0

0 x→x 0

Nelle ipotesi ulteriori dimostriamo che f (x) l

6 ∈ 6 →

3) g(x) = 0∀x A, m = 0, g(x) m

per →

x x 0

Per questo è suciente dimostrare che:

1 1

→ →

per x x 0

g(x) m

Perché: 1 1 l

f (x) l =

g(x) m m

Dimostriamo preliminarmente che:

|m| ∀x ∈ − {x }) ∩ ∗ ∗)

∃W ∈ |g(x)| ≥ (A W (∗

U : 0 0

0 x 0 2

Nella considero e sia il corrispondente del punto .

|m|

(∗∗) σ = (> 0) W x

0 0

2

Allora: |m|

|m|

∈ })∩W |g(x)| |m−(m−g(x))| ≥ |m|−|g(x)−m| |m|− =

x (A−{x => = >

0 0 2 2

Perché |a − ≥ ||a| − |b||

b|

Fissiamo ad arbitrio. Si ha:

> 0 |g(x) −

1 m|

1 m g(x)

− = = |m||g(x)|

g(x) m m(g(x))

siano ora ∩

W = W W

2 0

Dove e sono gli intorni che gurano in e .Allora:

∗ ∗)

W W (∗∗) (∗

2 0 |g(x) −

1 1 m| σ 2σ

∈ − {x }) ∩ −

x (A W = = < = <

0 m 2

|m||g(x)| |m|| | |m |

g(x) m 2

Se 2

|m|

σ < ,σ > 0

2

Conclusione: 1 1

∀∃W ∈ | − | ∈ − {x }) ∩

U : < ∀x (A W

x 0

0 g(x) m

0.7 Derivata 27

ALGEBRA DELLE FUNZIONI DIVERGENTI

Siano −→ ⊆ ∈

f, g : A A x D(A)

R, R, 0

−→ −→ 6 −∞(+∞) →

1)f (x) +∞(−∞), g(x) µ, µ = => f (x)+g(x) +∞(−∞)

x→x x→x

0 0

−→ −→ →

2)f (x) +∞(−∞), g(x) µ, µ > 0 oppure +∞ => f (x)g(x) +∞(−∞)

x→x x→x

0 0

0 −→ −→ −∞ → −∞(+∞)

2 )f (x) +∞(−∞), g(x) µ, µ < 0 oppure => f (x)g(x)

x→x x→x

0 0

Attenzione: → → −∞

f (x) +∞, g(x) => f (x) + g(x)?

→ →

f (x) +∞, g(x) 0 => f (x)g(x)?

Allora e sono forme indeterminate quindi non si può concludere

∞·0

+∞−∞

niente. 1)

Dimostrazione. −→ → →

f (x) +∞, g(x) µ => f (x) + g(x) +∞

x→x 0

→ ∀ ∈ − ∈ − {x }) ∩

g(x) µ => > 0∃W U : µ < g(x) < µ + ∀x (A W

1 x 0 1

0

In particolare ciò vale per = 1

, allora:

f (x) +∞

∀M ∈ ∈ − ∀x ∈ − {x }) ∩

U : f (x) > M µ + 1, (A W

R∃W

2 x 0 2

0

Poniamo . Allora Inoltre allora:

∩ ∈ ∈ − {x }) ∩

W = W W W U . x (A W

1 2 x 0

0

− −

f (x) + g(x) > M µ + 1 + µ 1 = M

Conclusione:

∀M ∈ ∈ ∀x ∈ })∩W −→

U : f (x)+g(x) > M (A−{x <=> f (x)+g(x) +∞

R∃W x 0 x→x

0 0

28 INDICE

2)

Dimostrazione.

,

→ → →

f (x) +∞ g(x) µ > 0 => f (x)g(x) +∞ µ

→ ∃W ∈

g(x) µ > 0 => U : g(x) >

0 x 0 2

→ ∀M ∈ ∈ ∀x ∈ − {x }) ∩

f (x) +∞ => U : f (x) > M, (A W

R∃W 1 x 0 1

0

|+1|

M · 2

f (x) > µ

Poniamo Allora Inoltre:

∩ ∈

W = W W . W U .

0 1 x 0

|M | µ

+ 1 ·2 |M |+1

∈ })∩W => f (x)g(x) > > M

x (A−{x => f (x)g(x) >

0 µ 2

Conclusione:

∀M ∈ ∈ ∀x ∈ })∩W

U : f (x)g(x) > M (A−{x <=> lim f (x)g(x) = +∞

R∃W x 0

0 x→+∞

TERMINOLOGIA

Sia −→ ⊆ ∈

f : A A x D(A)

R, R, 0

Si dice:

è innitesima per se

→ →

1) f x x f (x) 0

0

è innita per se o

→ → → −∞

2) f x x f (x) +∞ f (x)

0

FUNZIONI INFINITESIME E FUNZIONI INFINITE

supponiamo per

−→ ⊆ ∈ →

1) f : A A x D(A), f (x) +∞(−∞)

R, R, 0

x x 0

Allora: 1 → → 6 ∈

0 per x x f (x) = 0∀x A

0

f (x)

Siano −→ ⊆ ∈ 6 ∈

2) f : A A x D(A), f (x) = 0∀x D(A)

R, R, 0

Supponiamo: 1 → →

→ → ∀x ∈ +∞(−∞) per x x

f (x) 0 per x x , f (x) > (<)0, A =>

0 0

f (x)


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kimiko88

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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Bologna - Unibo
A.A.: 2008-2009

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher kimiko88 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica 1 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Bologna - Unibo o del prof Lanconelli Ermanno.

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