Analisi matematica 1 - Funzioni

FUNZIONI

ANALISI 1 - 9/10/13

CONSIDERIAMO A, B CON A, B ≠ Ø

CHIAMIAMO FUNZIONE DA A IN B UN'APPLICAZIONE CHE A OGNI ELEMENTO DI A ASSOCIA UNO E UN SOLO ELEMENTO DI B

APPLICAZIONE = CONCETTO PRIMITIVO (COME "LEGGE")

• A = {STUDENTI DEL 1º ANNO DI INGEGNERIA}
• B = {CORSI DI LAUREA}

È UNA FUNZIONE SURRATTIVA, MA NON INIETTIVA

ƒ: A ⟶ B

STUDENTI ⟼ CORSO DI LAUREA A CUI SI È ISCRITTO

• C = {STANZE NEI COLLEGI}

ƒ: A ⟶ C

STUDENTE ⟼ STANZA DI X NON È UNA FUNZIONE

• D = {LINGUE DEL MONDO}

ƒ: A ⟶ D

STUDENTE ⟼ LINGUE CONOSCIUTE DA X NON È UNA FUNZIONE ƒ(a){IPOTESI} = {ITALIANO, INGLESE}

ƒ: A ⟶ B FUNZIONE

DOMINIO CODOMINIO

DI ƒ DI ƒ

ƒ(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A b = ƒ(a)} IMMAGINE DI ƒ

ƒ: R ⟶ R SE ƒ È UNA FUNZIONE ED È RAPPRESENTATA MEDIANTE UNA FORMULA SI CHIAMA DOMINIO DELLA FUNZIONE {DOMƒ} LA SOTTOINSIEME DI R IN CUI LA FORMULA HA SENSO

ESEMPIO:

ƒ(x) = 1/x ⟹ domƒ = R\{0}, imgƒ = ]-∞, 0[ ∪ ]0, +∞[

DATA ƒ: A ⟶ B FUNZIONE DICIAMO CHE ƒ È SURRATTIVA SE:

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A: b = ƒ(a)

DICIAMO CHE ƒ È INIETTIVA SE:

∀ a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ ⇒ ƒ(a₁) ≠ ƒ(a₂) O SE:

ƒ(a₁) = ƒ(a₂) ⇒ a₁ = a₂

ƒ: A ⟶ N

STUDENTE ⟼ NUMERO DI MATRICOLA DI X ƒ È INIETTIVA

ƒ: N ⟶ N [200.000, 205.000] ƒ È INIETTIVA E SURRATTIVA ⇒ BILIETTIVA (O BIUNIVOCA)

FUNZIONI

ANALISI 1 - 9/10/13

CONSIDERIAMO A, B CON A, B ≠ ∅

CHIAMIAMO FUNZIONE DA A IN B UN'APPLICAZIONE CHE A OGNI ELEMENTO DI A ASSOCIA UNO E UN SOLO ELEMENTO DI B

APPLICAZIONE = CONCETTO PRIMITIVO

A = STUDENTI DEL 1° ANNO DI INGEGNERIA

B = CORSI DI LAUREA

ƒ: A → B

STUDENTE → CORSO DI LAUREA A CUI SI È ISCRITTO

• { STANZE NEI COLLEGI }

ƒ : A → C

STUDENTE → STANZA DI X → NON È UNA FUNZIONE

• D = LINGUE DEL MONDO

ƒ : A → D

STUDENTE → LINGUE CONOSCIUTE DA X → NON È UNA FUNZIONE

• ƒ(α){IPOTESI} = {ITALIANO, INGLESE}

ƒ : A → B FUNZIONE

DOMINIO CODOMINIO DI ƒ

ƒ(A) = {b ∈ B : ∃ a ∈ A, b = ƒ(a)} IMMAGINE DI ƒ

ƒ : R → R

SE ƒ È UNA FUNZIONE

ED È ASSEGNATA MEDIANTE UNA FORMULA SI CHIAMA DOMINIO DELLA FUNZIONE {DOMƒ}

È SOTTINSIEME DI IR IN CUI LA FORMULA HA SENSO

ESEMPIO:

ƒ(x) = 1/x → domƒ = R \{0}, immƒ = {y ∈ R : y ≠ 0}

• x ∈ R \ {0}, y = 1/x → R \ {0}

- DATA ƒ : A → B FUNZIONE DICIAMO CHE ƒ È SURGETTIVA SE:

∀ b ∈ B ∃ a ∈ A: b = ƒ(a)

- DICIAMO CHE ƒ È INIETTIVA SE:

∀ a₁, a₂ ∈ A, a₁ ≠ a₂ , ƒ(a₁) ≠ ƒ(a₂) O SE:

ƒ(a₁) = ƒ(a₂) ⇒ a₁ = a₂

ƒ : A → N

STUDENTE → NUMERO DI MATRICOLA DI X → ƒ È INIETTIVA

• {N ∈ {N | 208,000, 205,000}}

ƒ È INIETTIVA E SURGETTIVA ⇒ BIETTIVA (O BIUNIVOCA)

NOTAZIONI

f: A → B funzione K ⊆ A f(K) := {b ∈ B | ∃ a ∈ K | f(a) = b} = {f(a), a ∈ K} ⊆ f(A) ⊆ B f⁻¹(S) := {a ∈ A | f(a) ∈ S}

N.B. Non confondere questa notazione con la funzione funzione inversa, poiché qui S è un insieme non è una funzione

: dom f ⊆ A → B

| dom f ⊂ dom g f si dice restrizione di g a dom f g si dice estensione di f a dom g

f⁻¹: l’opposto Ferrero, Ferraro → N g: {STUDENTI PRIMO ANNO} → N dom f = dom g

COMPOSIZIONE DI FUNZIONI

f: A → B g: B → C fuzion

dom f ∩ dom g ≠ ∅ go

e

(p {f(a)},

studente x → n° di matricole

gof

f(f(x)):p → g o f ha senso: f o p non ha senso

g o f ≠

e in generale non è detto che abbiano senso entrambe

f(x) = √x

g(x) = -x²+4

dom f = [0; +∞)

dom g = ℝ

• g o f ≠ f o g
• g o f(α) = g(f(x)) = g(√x) = -(√x)² + 4 = -x + 4 però questa funzione ha dominio
• dom g o f = [0; +∞)

f o g(x) = f(-x²+4) = √(-x²+4) non ha senso perchè f o g non si può fare.

Img≠ Ø

dom g ≠ Ø

Img ∩ dom f ≠ Ø ma in questo caso Img ∩ dom f = Ø essendo dom f = [0; +∞)

ESEMPIO:

f(x) = x³

• f: ℝ → ℝ
• dom f = ℝ
• ∃ f^-1?

f deve essere iniettiva ed è iniettiva ⇒ ∃ f^-1: ℝ → ℝ; f^-1(x) = ∛x

y = x³

x = ∛y

• f^-1 o f: A → A identità in A ⇒ ⊆d A
• f o f^-1: B → B identità in B ⇒ ⊆d B

ANALISI 1 - ESERCITAZIONE - 11.10.13

Esercizio 1

i⁴ + i² + ? = 0 i - i = 0

Esercizio 2

• a) non ha radici reali
• b) ha almeno due radici uguali
• c) ha 13 radici complesse (non reali) e una reale
• d) ha le radici coincidenti con i vertici di un poligono di 14 lati

Esercizio 3

DET. ∃ ξ ∈ a.c. ξ(ℤ₂) ∈ ℝ ξ = { (-√3+ i) ; 2(√3 i cos 5π/6)

a₂ - δ ₆ a + 1 - ξ i

(a; i; 2ξ) + (1/3 + i) + i √3 a - 1/ i ( a - √3 a ₂ ) + i (-√3 i - √3₂) + i + a (1 - √3/2 i) + 1 (- i √3 + a)

QUESTO NUMERO È REALE SE -√3/3 - a = 0 ⇒ f₃d(a)

Analisi - 14/10/13

Funzioni

f: R → R ⇒ funzioni reali di variabile reale ⇒ y = f(x)

G(t) = graph f : {(x,y) ∈ R; x ∈ dom f, y = f(x)}

Esempio

f(x) = √x

dom f = x ∈ R; x ≥ 0

• Il sottoinsieme di R in cui la formula ha senso
• Im f = {f(x), x ∈ dom f}

• f suriettiva se Im f = R, esempio: y = x + 1 ⇒ f(x) = x + 1 ▼ suriettiva Sì
• ∀ y₀, x₀ ∈ [ ... , ... ] ∃ x₀; y = f(x₀)
• f iniettiva se a, x₁, x₂ ∈ dom f con x₁ ≠ x₂ ⇒ f(x₁) ≠ f(x₂) oppure f(x₁) - f(x₂) = x₁ = x₂
• esempio: g = x + 2 = f(x) = x + 1 ≠ inversa

f non è né invertibile ma simmetrica

• ∀x₀, f(x₀) = y₀
• x ∈ dom f ⇒ f(x) = x²
• lim_x→∞ = f(x); x = x’

• dom f = (-∞ ; +∞)
• Im f = {0 ; +∞}
• ∀x₀, f(x₀) = y₀

In queste note è possibile definire la funzione inversa

Restrizione dell'intervallo: f simmetrica = f -1(x) = x_R

Proprietà delle Funzioni

f: ℝ → ℝ si dice pari se ∃ dom_f, -x ∃ dom_f ⇒ f(x) = f(-x)

Esempio: f(x) = x²

f: ℝ → ℝ si dice dispari se ∃ dom_f, x ∃ dom_f ⇒ f(x) = -f(-x)

^f-1(x) pari x ogni x ∃ ℂ_∞; infatti f(-x) ≠ f(-(-x))

Il grafico di f simmetrico rispetto all'asse y

f(x) si dice dispari se x ∃ dom_f, -x ∃ dom_f ⇒ f(-x) = f(x) ⇔ "Il grafico di f simmetrico rispetto all'origine"

Composizione: l'insieme f di una funzione pari e di una funzione dispari; affinché se g o f, sia p o f, se o g

Esercizio:

Izz(f) = f dispari o f dom f = {0, r} f(0) opp

f si dice periodica se esiste t tale che x ∃ dom_f ⇒ x+nT ∃ dom_f con n ∈ ℤ e inoltre vale

f(x) = f(x+nT)

Definizione

−3 −2 −1 0 1 2 3

x_1 x_2 x_3 x_4

dom_f = f(x)=x f(x)

periodica

f se periodica se di e minimo t per cui vale la proprieta: x ∃ dom_f ⇒ x+mt ∃ dom_f con m ∈ ℤ, e inoltre vale f(x) = f(x+mT)

f si dice limitata inferiormente se esiste m ∃ R tale che f(x) > m ∀x ∃ dom_f

Esempio: f(x) = x

m = 1000

Equivalente posso dire che dom_f un sottoinsiemi di R limitati inferiormente.

f si dice limitata superiormente se esist M ∃ ℤ tale che f(x) < M ∀x ∃ dom_f

Esempio: f(x) = -x

f si dice limitata se esistono m, M ∃ ℤ tali che m < f(x) < M ∀x ∃ dom_f

Esempio: f(x) ∃ (0,5)

f è crescente se, ∀ x, y ∃ dom_f [x₁, x₂ ∃ dom_f [x₁, x₂ ∃ dom_f ⇒ f(x₁) < f(x₂)]

f è decrescente se [x₁, x₂ ∃ dom_f, &exists; x₁, x₂ ∃ dom_f ⇒ f(x₂) < f(x₁)]

f è strettamente decrescente [x₁, x₂ ∃ f(x₁) = f(x₁) < f(x₂)]

Esempio: f(x) → x = -2x+4, x+1>f(x)=f(x)

Nelle vare crescente e crescente e decrescente; f: ℝ, ℝ si dicono che f o f, e o f, f o f, sono crescenti.

Decrescenti si nessuna delle due.

a

si dice MASSIMO ASSOLUTO per f_x, dato f orientale E

si dice MASSIMO RELATIVO per f se esiste

E

Example:

x

ANALISI 1 - 15/10/13

y = ax + b ↔ f(x) = ax + b ↔ RETA

Esempio: y = 3x - 5 -> 3t - 5 RTX

y = ax² + bx + c -> vertici ¹/₂g

Esempio:

y = x²

y = x^-m con m ∈ N, m ≥ 4

m = 1 f(x) = ¶ x¹ T

m = 4 f(x) = x⁴ e f = pari

"e^x" funzione esponenziale, a = e = numero di Nepero

1) f(x) = e^x → grafico A

2) f(x) = e^-x → grafico B

3) funzioni trigonometriche o circolari

f(x) = cosx ; dom f = ℝ

cosx = cos(x + 2π)

senx = sen(x); → f(x) pari

5) f(x) = tgx ; dom f = ℝ / {x ≠ π/2 + kπ, k ∈ ℤ}

f(x) = coshx = (e^x + e^-x) / 2

7) f(x) = |x| ; x ∈ ℝ

f(x) = sgnx

8) f(x) = H(x) = {0 per x < 0, 1 per x ≥ 0}

Funzioni indicatrici di un insieme

Esempio: 1_A(x) = { 1, 0

Calcolo: Dimostrare che 1_A∩B(x) = 1_A(x) · 1_B(x) e trovare una formula per 1_AΔB(x)

Parte intera (funzioni) = E(x) = [ x ] = sotto più piccolo intero ≤ x

Manfissa (funzioni) = H(x) = x - [ x ]

Funzione periodica di periodo T limitata

FUNZIONI INVERSE

f(x) = ax + b = funzione affine = y = ax + b ; vogliamo trovare f^-1

x = a ( y - b ) a ≠ 0

Graph: { 1, x } R dom f = R = f(x)

Graph: { f, x } R², ¹ dom f = f^-1 (y)

Funzione logaritmica

f(x) = log_a x = def. log_a e c, y = a^z = funzione inversa della funzione esponenziale

log_a k z = log_a a log_a z

log_a (k · z) = log_a k + log_a z

log_a (a) = 1 log_a 1 = 0

Funzioni trigonometriche inverse

f(x) = sin x è periodica pertanto non è iniettiva, dunque non invertibile; occorre restringere il dominio

sin x : [ -π/2, π/2 ] → [ -1, 1 ] = invertibile = f^-1 = arcsin x = l'angolo compreso fra [-π/2, π/2] il cui seno è x

cos x : [ 0 ,π ] = inverso = f^-1 = arccos x = l'angolo compreso fra 0 e π il cui coseno è x

f(x) = tg x = inverso = f^-1 = arctg x