Analisi matematica 1 - Funzioni

FUNZIONI

ANALISI 1 - 9/10/13

CONSIDERIAMO A, B CON A ≠ Ø

CHIAMIAMO FUNZIONE DA A IN B UN'APPLICAZIONE CHE A OGNI ELEMENTO DI A ASSOCIA UNO E UN SOLO

ELEMENTO DI B

APPLICAZIONE ↔ CONCETTO PRIMITIVO (COME "LEGGE")

A = STUDENTI DEL 1^o ANNO DI INGEGNERIA

B = CORSI DI LAUREA

f: A -> B

STUDENTE ↔ CORSO DI LAUREA A CUI SI È ISCRITTO

{STANZE NEI COLLEGI}

f: A -> C

STUDENTE ↔ STANZA DI X -> NON È UNA FUNZIONE

D = LINGUE DEL MONDO

f: A -> D

STUDENTE ↔ LINGUE CONOSCIUTE DA X -> NON È UNA FUNZIONE {f(a)=ippolito - ITALIANO, INGLESE}

f: A -> B

DOMINIO CODOMINIO DI f DI f

f(A) = {b ∈ B: ∃ a ∈ A b = f(a)} IMMAGINE DI f

f: R -> R SE f È UNA FUNZIONE

ED È RAPPRESENTATA MEDIANTE UNA FORMULA SI CHIAMA DOMINIO DELLA FUNZIONE {dom f }

SOTTOINSIEME DI R IN CUI LA FORMULA HA SENSO

ESEMPIO:

f(x) = 1/x -> dom f: R \ {0} ; img f: → 1/y ∈ R : x ∈ R\{0}, y = 1/x ; imgf=R\{0}

IMAGE{0}

DATA f: A -> B FUNZIONE DICIAMO CHE f È SURGIRE SE: ∀ b ∈ B ∃ a ∈ A b = f(a)

DICI AMO CHE f È INIETTIVA SE: ∀a₁, a₂ ∈ A a₁ ≠ a₂ implica f(a₁) ≠ f(a₂)

f(a₁) = f(a₂) => a₁ = a₂

f: A -> N

STUDENTE ↔ NUMERO DI MATRICOLA DI x f È INETTIVA

f: N -> N [200,000, 205.000 -> f È INIETTIVA SUPERTTIVA -> BIETTIVA (O BIUNIVOCA)

SE f è BIETTIVA POSSO DEFINIRE UNA FUNZIONE f^-1: B -> A ; b -> a t.c. f(a) = b

NOTAZIONI

f: A -> B funzione

K ⊆ A f(K) = {b ∈ B | &exists;a ∈ K t.c. f(a) = b} = {f(a), a ∈ K}

• S ⊆ f(A) ⊆ B
• f^-1 (S) = {a ∈ A | f(a) ∈ S}

N.B. Non confondere questa notazione con la funzione funzione inversa. Dico qui S è un insieme non è una funzione

• f|_D: dom f|_D ⊆ A -> B
• dom f|_D = D dom f
• f|_D si dice restrizione di f a dom f
• g: dom f ⊆ C -> B
• dom f = dom g
• g si dice estensione di f a dom g

f₁: l'appello Ferrero, Ferrara -> N

g: gli studenti primo anno -> N

dom g = dom f

COMPOSIZIONE DI FUNZIONI

f: A -> B

g: B -> C FUNZIONI

g o f: A -> C

a -> g(f(a)) dom g o f = {a ∈ A | f(a) ∈ dom g}

SI SCRIVE (g o f) (a) = g(f(a))

A = gli studente 1^o anno

N = IN

• g di A = IN
• STUDIANTE x -> no di matricole
• g di IN -> IN
• n di matricole -> somma delle cifre

g(g(f(x))) g o g o f ha senso: f o g o f non ha senso

g o f ≠ f o g

g o f o g o f ≠ g

È in generale non è detto che abbiano senso entrambi

ANALISI

15/10/13

Si dice MASSIMO ASSOLUTO per la f. data f domf IR x0 E domf. vale f(x0) f(x) V x E domf.

Si dice MASSIMO RELATIVO la f. con circostri x0 tale che خ (a) (a) V x E domf. ] (x0 - a, x0 + a)

Esempio:

f(x) = (a)/2 max (a)/2 Q -> un max.imo domf.f (x) = (Q) se 0(/) (a)

• y = a * x + b f (x) = a x + b RETA
• Esempio: y=3x+4 -> y - 3x + 4 = 0
• y = a * x² + b x + c PARABOLA f(x) = ax² + bx + c

y=x y = x²

y= x^-m m E\\N. m 2 3

y = m m\\E m m\\E y < x < (m x