Analisi Matematica - Formulario

Analisi matematica formulario Marco Mantovani

Sommario

Introduzione ......................................................................................................................................... 3 Algebra e geometria ............................................................................................................................ 4 Intervalli ............................................................................................................................................... 8 Radici e potenze ................................................................................................................................... 9 Funzioni .............................................................................................................................................. 10 Disequazioni ....................................................................................................................................... 14 Funzioni esponenziali e logaritmiche ................................................................................................. 17 Limiti ................................................................................................................................................... 18 Forme asintotiche............................................................................................................................... 30 Successioni e fattoriale ....................................................................................................................... 32 Serie .................................................................................................................................................... 35 Asintoti ............................................................................................................................................... 41 Continuità e discontinuità .................................................................................................................. 41 Derivate, punti di non derivabilità e punti stazionari ........................................................................ 46 Studio di funzione ............................................................................................................................... 56 Polinomio di Taylor e di McLaurin e resto di Peano e di Lagrange .................................................... 57 Integrali .............................................................................................................................................. 60 I numeri complessi .............................................................................................................................. 67

Introduzione

Simboli

• → Insiemi
• → Elementi insieme
• ∈ → a appartiene ad A
• ∉ → a non appartiene ad A
• ∀→ Per ogni
• ∃→ Esiste
• ∄→ Non esiste
• ∃! → Esiste ed è unico
• ⇒ → Implica
• ⇔ → Se e solo se (sse)
• ∅ → Insieme vuoto
• ( ) → Intervallo aperto a sinistra e aperto a destra
• [ ] → Intervallo chiuso a sinistra e chiuso a destra
• ( ] → Intervallo aperto a sinistra e chiuso a destra
• [ ) → Intervallo chiuso a sinistra e aperto a destra
• ∨ → Oppure
• ∧ → E
• | → La funzione ma con dominio ridotto ad

Trigonometria

• cos( + ) = cos() cos() − sin() sin()
• sin(α + β) = sin() cos() + cos() sin()
• 2 2 ()sin () + cos = 1

Divisione tra polinomi

Dati due polinomi e con il grado di maggiore o uguale al grado di la divisione si effettua nella seguente maniera:

• Pongo () () :
• Prendo il termine di grado massimo in e lo divido per il termine di grado massimo di questo valore sarà l’i-esimo termine del risultato (quoziente) () () :
• Moltiplico il termine appena trovato per e lo sottraggo a il risultato della sottrazione sarà il nuovo dividendo (),
• Se il nuovo dividendo ha grado minore di allora ho finito la divisione e l’ultimo dividendo sarà il resto della divisione, altrimenti incremento e torno al punto 1.

Alla fine il risultato sarà quoziente + resto/divisore.

Rette

Il coefficiente angolare di una retta (non verticale) è il rapporto tra la differenza delle ordinate e la differenza delle ascisse fra due punti distinti della retta.

Algebra e geometria

Insiemistica

Sottoinsiemi ⊆ ) ∀ ∈ , ∈. Dati due insiemi A e B, A è un sottoinsieme di B (se ⊆ ≠ ⊂ Se ma allora si scrive (A sottoinsieme proprio di B).

Operazioni tra insiemi

• Unione: { | ∪ = ∈ ∈ }. Se A e B insiemi, l’unione di A e B è l’insieme
• Intersezione: { | ∩ = ∈ ∈ }. Se A e B insiemi, l’intersezione di A e B è l’insieme
• Differenza: { |\ = ∈ ∉ }. Se A e B insiemi, la differenza di A e B è l’insieme
• Complementare: ⊆. = Sia M un insieme tale che Si chiama insieme complementare di A in M l’insieme { |∈ ∉ }.

Proprietà del complementare

⊆ Dati ( ∪ ) = ∩ 1. ( ∩ ) = ∪ 2. ( ) = 3.

Prodotto cartesiano

{(, | = ) ∈ ∈} Siano A e B insiemi, il prodotto cartesiano Proprietà (, ) ≠ (, ) ≠ e quindi anche

Insieme compatto

Dato un insieme, esso si dice compatto se e solo se è chiuso e limitato. In particolare sono compatti gli intervalli chiusi, le intersezioni di intervalli chiusi e le unioni di intervalli chiusi.

Insiemi di numeri

• {0, }→ ℕ = 1, 2, 3, … Numeri naturali
• {… }→ ℤ = , −3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, … Numeri relativi (interi)
• {ℤ→ ℚ = + } = {±, ∈ ℕ, ≠ 0 , } Numeri razionali

Proprietà

ℕ⊂ ℤ⊂ℚ

Numeri primi tra loro

Due numeri si dicono primi tra loro se nella loro scomposizione in fattori primi non hanno fattori in comune.

Insieme numeri pari e dispari

• Pari { | ℕ → = ∈ ℕ = 2, ∈ ℕ} Insieme dei numeri pari in
• Dispari { | ℕ → = ∈ ℕ = 2 + 1, ∈ ℕ} Insieme dei numeri dispari in

Proprietà

• ∪ = ℕ
• ∩ = ∅

Campi

ℚ ℚ Su è possibile definire 2 operazioni (addizione e moltiplicazione). È chiuso rispetto a queste due operazioni (ovvero il risultato di somme e prodotti tra numeri razionali appartiene sempre a ℚ).

Proprietà

1. Proprietà commutativa: ∀, ∈ ℚ → + = + ∀, ∈ ℚ → =
2. Proprietà associativa (∀, , ∈ ℚ → + ) + = + ( + ) ()
3. Esistenza di un elemento neutro ∀ ∈ ℚ → + 0 = 0 + = ∀ ∈ ℚ → 1 = 1 =
4. a) Esistenza dell’elemento opposto (−) ∀ ∈ ℚ ∃ (−) ∈ ℚ ℎ + = 0
   b) Esistenza dell’elemento inverso −1 −1 ∀ ∈ ℚ{0} ∃ ∈ ℚ ℎ = 1
5. Proprietà distributiva (∀, , ∈ ℚ → + ) = +

Campo commutativo

Se un insieme numerico con due operazioni rispetta tutte e cinque le proprietà si dice commutativo. ℚ ℕ ℤ è un campo commutativo. Non sono un campo (non hanno l’inverso della moltiplicazione).

Sottrazione e divisione

Sottrazione: ∀, ∈ ℚ → − = + (−) La sottrazione non è altro che una somma.

Divisione: −1 ∀ ∈ ℚ ∀ ∈ ℚ\{0} → = La divisione non è altro che una moltiplicazione.

Relazione d’ordine su un insieme numerico

ℚ Su si può definire una relazione d’ordine (≤) che verifica le seguenti proprietà.

1. ∀, , ∈ ℚ ≤ ⇒ + ≤ +
2. ∀, , ∈ ℚ ≥ 0 ≤ ⇒ ≤

Osservazione

∀, , ∈ ℚ ≤ 0 ≤ ⇒ ≥

Campo totalmente ordinato

∀, ∈ ℚ ≤ ≤, ℚ Dato che valgono le proprietà, ovvero è sempre vero che o o che allora è un campo totalmente ordinato.

Osservazione

≤ ≠ < Se ma allora (x strettamente minore di y).

Proprietà dell’ordinamento

1. ∀ ∈ ℚ ℎ ≥ 0 ⇒ − ≤ 0
2. −1 ∀ ∈ ℚ ℎ > 0 ⇒ > 0
3. −1 −1 ∀, ∈ ℚ ℎ ≥ > 0 ⇒ 0 < ≤
4. ∀, , ∈ ℚ ≤ 0 ≤ ⇒ ≥
5. 2∀ ∈ ℚ ≠ 0 ⇒ > 0

Proprietà di densità

Definizione: ∀, ∈ ℚ < ⇒ ∃ ∈ ℚ < <. ℚ con infinite tali che è un insieme denso in quanto preso un qualsiasi intervallo, esiste sempre almeno un numero che si colloca in questo intervallo. ℕ ℤ non sono insiemi densi. Si dicono insiemi discreti.

Dimostrazione

+ +1, ∈ ℚ <, = ∈ ℚ, = ∈ ℚ < Presi con il numero il numero e cosi via. Si ricava che 1 22 2 ⋯ < < 2 1 ℚ

Divisione in

Dalla divisione di due numeri interi si ottiene sempre o un numero decimale limitato o un numero decimale periodico.

Decimale limitato

… 0 ≤ ≤ 9 ∈ ℤ con e 1 2

Decimale periodico

• ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ … 0 ≤ ≤ 9 ∈ ℤ con e 1 2
• … ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ … 0 ≤ ≤ 9 ∈ ℤ con e (periodico misto) 1 +1

Osservazione

9̅0. = 1

Numeri reali

ℚ non è chiuso rispetto ad alcune operazioni

Proposizione 2

∄ ∈ ℚ ℎ = 2, quindi i numeri razionali non sono chiusi rispetto ad alcune operazioni, quali le radici quadrate.

Dimostrazione (per assurdo)

∈ ℚ, = , ∈ ℕ, ≠ 0 , , Supponiamo per assurdo che preso ovvero 22 = 2, = 2. tale che ovvero 22 2 2 2= 2 ⇒ = 2 ⇒ è ⇒ è ⇒ = 2 ∈ ℕ Se 2 2 2 2 2 2 = 2 ⇒ 4 = 2 ⇒ = 2 ⇒ è ⇒ è Se Quindi p e q sono entrambi pari, ma questo è assurdo in quanto essi devo essere primi tra loro.

Esistenza insieme

ℚ → ℝ ℝ Esiste un insieme numerico che contiene propriamente (insieme numeri reali). È l’insieme di tutti i numeri decimali.

Numeri irrazionali

ℝ\ℚ sono i numeri irrazionali, ovvero i numeri decimali con infinite cifre decimali non periodici.

Osservazione

• ℚ⊂ℝ
• ℝ con le operazioni di somma e prodotto ha una struttura di campo commutativo totalmente ℚ.

Densità di ℝ

∀, ∈ ℝ < ⇒ ∃ ∈ ℚ ℎ < < è un insieme denso, infatti ∃ ∈ ℝ\ℚ ℎ < <.

I numeri reali nella geometria

Retta

ℝ è in corrispondenza biunivoca con i punti di una retta.

Piano

ℝℝ è in corrispondenza biunivoca con i punti di un piano.

ℝ ampliato

∗ ℝ ℝ = ℝ ∪ {−∞, +∞}. Si dice ampliato l’insieme non numerico

Moduli

≥ 0 || = {− < 0

Proprietà

• || ≥ 0 ∀ ∈ ℝ
• || = 0 ⇔ = 0
• || ||||= ∀, ∈ ℝ
• ||= ∀, ∈ ℝ| |
• ||| || ||+ | ≤ + ∀, ∈ ℝ (disuguaglianza triangolare)
• (−, ∈ ℝ < ⇔ − < < ⇔ ∈) + [ −, || ∈ ℝ ≤ ⇔ − ≤ ≤ ⇔ ∈ ]
• (−∞, ∈ ℝ > ⇔ < − ∨ > ⇔ ∈- ) ∪ (, +∞)
• (−∞, ∈ ℝ ≥ ⇔ ≤ − ∨ ≥ ⇔ ∈ −] ∪ [, +∞)

Dimostrazione proprietà 6 e 7

• ≥ 0 < 0 + || ∈ ℝ < ∨ { 0 ≤ < ∨ 0 > > − ⇔ − < < {6. < > − (−, ⇔ ∈ )}
• ≥0 <0 + || (−∞, ∈ ℝ > ∨ { > ∨ < − ⇔ ∈ −) ∪ {7. > < −(, +∞)}

Osservazioni

• 2 2 ||∀, ∈ ℝ ∈ ℕ, = ⇔ = ||
• 2+1 2+1 ∀, ∈ ℝ ∈ ℕ, = ⇔ =

Intervalli

Gli intervalli

Gli intervalli sono suddivisi in limitati e illimitati.

Intervalli limitati

• ∀, ∈ ℝ < {(, |) = ∈ ℝ < < }
• [, { |] = ∈ ℝ ≤ ≤ }
• [, { |) = ∈ ℝ ≤ < }
• {(, |] = ∈ ℝ < ≤ }

Intervalli illimitati

• ∀, ∈ ℝ < {(, |+∞) = ∈ ℝ > }
• [, { |+∞) = ∈ ℝ ≥ }
• {(−∞, |) = ∈ ℝ < }
• {(−∞, |] = ∈ ℝ ≤ }
• (−∞, )+∞ = ℝ

Notazione

• + (0, ℝ = +∞)
• − (−∞, ℝ = 0)
• − + ℝ = ℝ ∪ {0} ∪ ℝ ℝ

Caratteristiche degli intervalli

Gli intervalli hanno le seguenti caratteristiche:

Maggioranti

Se ⊆ ℝ, ≠ ∅, allora k ∈ ℝ è maggiorante di A se e solo se ∀x ∈ A ⇒ x ≤ k. Se esistono i maggioranti sono infiniti.

Minoranti

Se ⊆ ℝ, ≠ ∅, allora k ∈ ℝ è minorante di A se e solo se ∀x ∈ A ⇒ x ≥ k. Se esistono i minoranti sono infiniti.

Limitato superiormente

Un insieme A che ammette un maggiorante si dice limitato superiormente.

Limitato inferiormente

Un insieme A che ammette un minorante si dice limitato inferiormente.

Insieme limitato

Un insieme A si dice limitato se è sia limitato inferiormente che limitato superiormente.

Massimo e minimo

∈ ℝ è ⊆ ℝ, ≠ ∅, ℎ ∈, .

∈ ℝ è ⊆ ℝ, ≠ ∅, ℎ ∈, .

Proposizione sul massimo

′ ⊆ ℝ, ≠ ∅, , è .