Analisi Matematica - Formulario

Se allora si ha che in quanto la funzione è crescente, da cui si ricava che

(+ℎ)−() (+ℎ)−()

≥ 0 ⇒ lim ≥0

ℎ ℎ

ℎ→0

ℎ < 0, ( + ℎ) − () ≤ 0

Se allora si ha che in quanto la funzione è crescente, da cui si ricava che

(+ℎ)−() (+ℎ)−()

≥ 0 ⇒ lim ≥0

ℎ ℎ

ℎ→0 (+ℎ)−()

lim ≥ 0,

Ma quindi, essendo che in entrambi i casi abbiamo ottenuto che allora possiamo

ℎ

ℎ→0

′ ()

≥ 0

affermare che

Osservazioni

 Quindi se f è derivabile in un intervallo (qualsiasi) allora è una funzione monotona crescente se e

′ ()

≥ 0 ∀ .

solo se punto interno di

 Quindi se f è derivabile in un intervallo (qualsiasi) allora è una funzione monotona decrescente se e

′ ()

≤ 0 ∀ .

solo se punto interno di



Nel corollario è fondamentale che sia un intervallo (qualsiasi), e non un unione di intervalli.

Teorema sulle derivate di funzioni monotone

: → ℝ, ,

Sia con intervallo (qualsiasi) e derivabile nei punti interno a allora

 ′ ()

≥ 0 ∀ .

è crescente se e solo se punto interno di

 ′ ()

≤ 0 ∀ .

è decrescente se e solo se punto interno di

 ′ ()

> 0 ∀ ,

Se punto interno di allora è strettamente crescente (ma non vale il viceversa)

 ′ ()

< 0 ∀ ,

Se punto interno di allora è strettamente decrescente (ma non vale il viceversa)

Classificazione dei punti stazionari

: → ℝ

Sia e sia un punto stazionario, allora

0

 ′ ′

() ()

≥ 0 ∀ ∈ < ≤ 0 ∀ ∈

Se intorno di tale che e se intorno di tale che

0 0 0

>

, allora è un punto di massimo locale.

0 0

 ′ ′

() ()

≤ 0 ∀ ∈ < ≥ 0 ∀ ∈

Se intorno di tale che e se intorno di tale che

0 0 0

>

, allora è un punto di minimo locale.

0 0

 ′ ()

≥ 0 ∀ ∈

Se intorno di , allora è un punto di flesso ascendente.

0 0

 ′ ()

≥ 0 ∀ ∈

Se intorno di , allora è un punto di flesso discendente.

0 0

Teorema di De l’Hopital ∗

(, (, (,

: ) → ℝ : ) → ℝ , ∈ ℝ ) ∈

Siano e con , siano entrambe le funzioni derivabili in e sia 0

(, ).

′ ()

≠ 0 lim () = lim () = 0 lim () = lim () = ±∞

Se e se oppure (non per forza i due

+ + + +

→ → → →

′ ()

()

∗

∃ lim = ∈ ℝ lim =

limiti devono avere lo stesso segno all’infinito) allora se con si ha che

′ ()

()

+ +

→ →

−

→ →

Il teorema resta vero anche se oppure se 0

Osservazione ′ ()

()

∄ lim ∃ lim

Può accadere che ma che

′ ()

()

+ +

→ →

Corollario del teorema di De l’Hopital

Enunciato ′ ()

: [, ] → ℝ [, ] (, ), ∃ lim ′() lim =

Sia continua in e derivabile in allora se finito si ha che

+ +

→ →

+′

(). ′ −′

()

∃ lim ′() lim = ().

Analogamente se finito si ha che

− −

→ →

Dimostrazione ()−()

+′ ()

= lim

Sappiamo che −

+

→ ()−() ()−() 0

lim () = () lim = lim =

Essendo continua per definizione si ha che quindi − − 0

+ + +

→ → →

0

Abbiamo quindi una forma indeterminata del tipo ed, essendo verificate tutte le ipotesi del teorema di De

0

l’Hopital, possiamo applicarne il teorema.

′

()−() ()−0

′ ()

lim = lim = lim

− 1−0

+ + +

→ → → ()−()

+′ ′ ′

() () ()

= lim = lim ∃ lim

Quindi abbiamo ottenuto che da cui, se finito, si ha che

−

+ + +

→ → →

+′ ′

() ()

= lim

+

→

Osservazione ′ +′

() ()

∄ lim ∃

Può accadere che ma che

+

→

Concavità

Convessa

: → ℝ ∀ , ∈

Sia con intervallo (qualsiasi), allora si dice convessa se il segmento che unisce i

1 2

)) ))

, ( , ( .

( (

punti e si trova non al di sotto del grafico di

1 1 2 2

Concava

: → ℝ ∀ , ∈

Sia con intervallo (qualsiasi), allora si dice concava se il segmento che unisce i punti

1 2

)) ))

, ( , ( .

( (

e si trova non al di sopra del grafico di

1 1 2 2

Strettamente concessa

: → ℝ ∀ , ∈

Sia con intervallo (qualsiasi), allora si dice strettamente convessa se il segmento

1 2

)) ))

, ( , ( .

( (

che unisce i punti e si trova al di sopra, estremi esclusi, del grafico di

1 1 2 2

Strettamente concava

: → ℝ ∀ , ∈

Sia con intervallo (qualsiasi), allora si dice strettamente concava se il segmento che

1 2

)) ))

, ( , ( .

( (

unisce i punti e si trova al di sotto, estremi esclusi, del grafico di

1 1 2 2

Teorema su una funzione in relazione alla sua concavità

(, (,

: ) → ℝ ),

Sia una funzione convessa in allora:

+′ −′

() ()

∃ ∃ ∀ ∈ (, )

1. ed

+′ −′

() ()

≥ ∀ ∈ (, )

2. +′ −′

() ()

3. e sono crescenti

(, )

4. è continua in (,

),

Se invece è una funzione strettamente crescente in allora

+′ −′

() ()

> ∀ ∈ (, )

2. +′ −′

() ()

3. e sono strettamente crescenti

(, (,

) ) −

Nel caso in cui sia concava in o sia strettamente concava in basta notare che diventa una

(, (,

) ).

funzione convessa in o strettamente convessa in

Osservazione

 (, )

Una funzione convessa o strettamente convessa può essere discontinua solo agli estremi di

 (, )

Una funzione convessa o strettamente convessa può non essere derivabile per ogni punti in

Teoremi su una derivata in relazione alla sua concavità

(,

: ) → ℝ

Sia derivabile allora le seguenti affermazioni sono equivalenti

(, )

1. è convessa o strettamente convessa in

′

(, )

2. è crescente o strettamente crescente in

′ ′

) ( )( ) ( )( ) (,

() ≥ ( + − ) () > ( + − ∀, ∈ )

3. oppure

0 0 0 0 0 0 0

Derivata seconda ′ ′

() ()

: → ℝ

Sia derivabile, allora se è derivabile si ha che la derivata di si chiama derivata seconda

.

di ′

′ (+ℎ)−′()

′′ ′

() ())

= = lim

( ℎ

ℎ→0 ′

(−1)

() ())

= ( ().

In generale si dice derivata ennesima di

Teorema sulla relazione tra concavità e derivata seconda

: → ℝ, ,

Sia con intervallo (qualsiasi), derivabile due volte in allora è convessa in se e solo se

′′ ()

≥ 0 ∀ ∈ . ′′ ()

: → ℝ, , > 0 ∀ ∈

Sia con intervallo (qualsiasi), derivabile due volte in allora se si ha che è

,

strettamente convessa in ma non vale il viceversa.

: → ℝ, ,

Sia con intervallo (qualsiasi), derivabile due volte in allora è concava in se e solo se

′′ ()

≤ 0 ∀ ∈ . ′′ ()

: → ℝ, , < 0 ∀ ∈

Sia con intervallo (qualsiasi), derivabile due volte in allora se si ha che è

,

strettamente concava in ma non vale il viceversa.

Osservazione

 ′′ ()

> 0 ∀ ∈

In generale non è vero che è strettamente convessa implica che

 ′′ ()

< 0 ∀ ∈

In generale non è vero che è strettamente concava implica che

Funzione di classe ()

∀ ∈ ()

Se è derivabile (e quindi anche continua) volte e è una funzione continua, allora si

∈ ()

scrive e si dice che è una funzione di classe .

∞

Funzione di classe ()

∀ ∈ ()

Se è derivabile (e quindi anche continua) infinite volte e è una funzione continua,

∞ ∞

∈ ()

allora si scrive e si dice che è una funzione di classe .

Punti di flesso ()&m