Analisi matematica - Domande

Corso di studi in matematica

Prove scritte di analisi matematica III, A.A. 2004-5

Esempio di prova scritta.

Esercizio 1

Data la funzione \( f(x, y, z) = x^2 + 4x + y^2 + z^2 \):

• Determinare il dominio;
• Trovarne i punti critici e studiarne la natura.

Esercizio 2

Calcolare la lunghezza del cammino semplice, di estremi \( 6(3i - j - 6k) \) e \( 6(3i + j + 6k) \) soddisfacente le equazioni \( x = \frac{y^2}{2} \), \( z = \frac{y^2}{36} \).

Esercizio 3

Calcolare l'integrale doppio

\(\iint 2|y| \cos y \, dx \, dy\),

con \( A = \{ (x, y) \in \mathbb{R}^2 : -1 \leq y \leq x \leq 1, 1 < x < 4 \} \).

Esercizio 4

Considerata la forma differenziale

\(\omega = \left( x^2 \sin \pi x + y^2 \right) dx + \left( y^2 \sin \pi x + y^2 - e^y \right) dy\),

• Provare che è esatta in \(\mathbb{R}^2\);
• Calcolare \(\int_C \omega\) con cammino semplice consistente nell'arco di parabola di \( C: y = x^2 - x \) con estremi \((1, 0)\) e \((0, 0)\).

Esercizio 5

Una funzione di due variabili con derivate parziali continue in un aperto di \(\mathbb{R}^2\) è continua? Motivare la risposta.

Esercizio 6

Dimostrare che una forma differenziale di classe \( C^1 \) in un aperto stellato di \(\mathbb{R}^n\) è esatta se e solo se è chiusa.

Prova scritta del 03/02/05

Esercizio 1

Calcolare il seguente integrale triplo:

\(\iiint_K x \, dx \, dy \, dz\),

con \( K = \{ (x, y, z) \in \mathbb{R}^3 : x^2 + y^2 \leq 4, x > 0, y > 0, y + z \leq 2 \leq y + 2z \} \).

Esercizio 2

Determinare \(\alpha\) in modo che la forma differenziale

\(\omega = \left( \cos \frac{x^2 + \alpha}{2} \right) dx + \left( \sin \frac{y^2 - x}{2} \right) dy\)

risulti chiusa. Per i valori di \(\alpha\) così ottenuti, calcolare \(\int_\Gamma \omega\) con \(\Gamma\) circonferenza di centro \((0, 2)\) e raggio 1.

Esercizio 3

Data la funzione

\( f(x, y) = \begin{cases} \frac{\sin(x+y)}{\alpha(x^2 + y^2)} & \text{per } (x, y) \neq (0, 0) \\ 0 & \text{per } (x, y) = (0, 0) \end{cases} \)

trovare i valori del numero reale \(\alpha > 0\) per cui:

• a) \( f \) è continua nell'origine;
• b) \( f \) ha derivata parziale rispetto a \( x \) in \( (0, 0) \);
• c) \( f \) ha derivata parziale rispetto a \( y \) in \( (0, 0) \).

Esercizio 4

Data la curva semplice in \(\mathbb{R}^3\) di estremi \((0, 0, 0)\) e \((\pi, 6, 0)\) definita da:

• \( y^2 + z = 6y \),
• \( z = 3 \sin x \),
• \( 0 \leq x \leq \pi \),

• a) parametrizzarla,
• b) calcolarne la lunghezza.

Esercizio 5

Definizione di funzione differenziabile in un punto di \(\mathbb{R}^n\). Provare che una funzione differenziabile è derivabile in ogni direzione.

Esercizio 6

Enunciare il teorema sugli integrali iterati.