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2. Determinare in modo che la forma dierenziale

α ∈ R

µ ¶ µ ¶

x α

2 2

ω = cos x + dx + sin y + dy

2 2

y − x y − x

risulti chiusa.

Per i valori di così ottenuti, calcolare

α Z ω

Γ

con circonferenza di centro e raggio .

Γ (0, 2) 1

3. Data la funzione ( 2

2 sin x+y per

, (x, y) 6 = (0, 0),

α

4 4

(x +y )

f (x, y) = per

0, (x, y) = (0, 0),

trovare i valori del numero reale per cui

α > 0

a) è continua nell'origine,

f

b) ha derivata parziale rispetto a in ,

f x (0, 0)

ha derivata parziale rispetto a in .

c) f y (0, 0)

4. 3

Data la curva semplice in di estremi e e denita da

R (0, 0, 0) (π, 6, 0)

 2 2

y + z = 6y,

z = 3 sin x,

0 6 x 6 π,

a) parametrizzarla,

b) calcolarne la lunghezza.

5. n

Dare la denizione di funzione dierenziabile in un punto di .

a R

Provare che una funzione dierenziabile è derivabile in ogni direzione.

6. Enunciare il teorema sugli integrali iterati.

Prova scritta del 17/02/05.

1. Data la funzione 3 3 3

f (x, y, z) = x + y + z − x (y + z) ,

trovarne i punti critici e studiarne la natura.

2. Considerata la funzione  ( ( ) )

 2

x cos xy −1 se

, (x, y) 6 = (0, 0),

f (x, y) = 8

|x| +y

 se

0, (x, y) = (0, 0),

calcolarne la derivata (se esiste) nel punto e nella direzione

(0, 0) (cos θ) i +

, in funzione di e .

(sin θ) j θ ∈ [0, 2π] α ∈ ]0, +∞[

2

3. Calcolare il seguente integrale iterato:

µ ¶

Z Z

1 y−1 sin πx

y dx dy.

x

2

0 y −1

4. Determinare una funzione tale che

α : R → R

α(1) = 1

e la forma dierenziale £ ¤

ω = α(x) (x + 1)y dx + x dy

2

risulti esatta in .

R

Con la funzione così trovata, calcolare la primitiva che si annulla

α φ(x, y)

in .

(1, 1)

5. Dimostrare la diseguaglianza triangolare.

6. 1

Dimostrare che una forma dierenziale di classe e chiusa su un aperto

C

stellato è esatta. Prova scritta del 27/04/05.

1. Determinare per quali valori di la seguente funzione è dierenziabile

α ∈ R

nell'origine: (¡ ¢ α

2 2 2 2

se

x − y , x > y ,

f (x, y) = 2 2

se

0, x 6 y .

2. Trovare i valori di per cui la seguente funzione ha almeno un minimo

α ∈ R

relativo: 3 2 2

f (x, y, z) = x + y + z + xy + 2αyz.

3. Calcolare il seguente integrale doppio:

ZZ p 2 2

x + y dx dy,

S

con © ª © ª

2 2 2 2 2

S = (x, y) ∈ R : y 6 3x ∩ (x, y) ∈ R : y 6 x(2 − x) .

4. Trovare una funzione tale che

α(z) α(0) = 1

e la forma dierenziale 2 2

x y x + y

ω = dx + dy + dz

¡ ¢

2

α(z) α(z) α(z)

risulti esatta in un aperto contenente l'origine.

5. n m m k

Date due funzioni dierenziabili e , consideriamo

f : R → R g : R → R

n k n

. Scelto e posto , esprimere la derivata

h = g ◦ f : R → R a ∈ R b = f (a)

∂g ∂f

∂h

partiale in termini delle derivate partiali e .

(a) (b) (a)

p r

1

∂x ∂y ∂x

1 q s

3


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in ingegneria informatica
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2005-2006

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Chiakka87 di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Zamboni Pietro.

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