Analisi matematica - Domande

CORSO DI STUDI IN MATEMATICA

PROVE SCRITTE DI ANALISI MATEMATICA III, A.A. 2004-5.

Esempio di prova scritta.

1. Data la funzione f(x, y, z) = x^2 + 4xy + 2z^2,

   a) determinarne il dominio;

   b) trovarne i punti critici e studiarne la natura.

2. Calcolare la lunghezza del cammino semplice, di estremi e6 (3i - j - 6k) e soddisfacente le equazioni 6 (3i + j + 6k) = (2x - y, 3x + 6z = y).

3. Calcolare l'integrale doppio

   ∬ 2|y| cos y dxdy,

   con A = {(x, y) ∈ R : -1 ≤ y ≤ x ≤ 1, 1 < x < 4}.

4. Considerata la forma differenziale

   ω = x sin πx + y dx + y sin πx + y - e dy,

   a) provare che è esatta in R;

   b) calcolare ∮ ω con cammino semplice consistente nell'arco di parabola di equazione y = x - x^2 e estremi (1, 0) e (0, 0).

5. Una funzione di due variabili con derivate parziali continue in un aperto di R^2 è continua? Motivare la risposta.

R6.

1Dimostrare che una forma dierenziale di classe in un aperto stellato diCn è esatta se e solo se è chiusa.R Prova scritta del 03/02/05.

1. Calcolare il seguente integrale triplo:

ZZZ x dxdydz,

Kcon © ª3 2 2K = (x, y, z) ∈ R : x + y ≤ 4, x > 0, y > 0, y + z ≤ 2 ≤ y + 2z .

12. Determinare in modo che la forma dierenzialeα ∈ Rµ ∂ µ ∂x α2 2ω = cos x + dx + sin y + dy2 2y − x y − xrisulti chiusa.

Per i valori di così ottenuti, calcolareα Z ωΓcon circonferenza di centro e raggio Γ (0, 2) 13. Data la funzione ( 22 sin x+y per, (x, y) ≠ (0, 0),α4 4(x +y )f (x, y) = per0, (x, y) = (0, 0),trovare i valori del numero reale per cuiα > 0a) è continua nell'origine,fb) ha derivata parziale rispetto a in ,f x (0, 0)ha derivata parziale rispetto a in .c) f y (0, 0)4. 3Data la curva semplice in di estremi e e denita daR (0, 0, 0) (π, 6, 0) 2 2y + z

1. a) parametrizzarla

<p>a) parametrizzarla</p>

2. b) calcolarne la lunghezza.

<p>b) calcolarne la lunghezza.</p>

3. n Dare la denizione di funzione dierenziabile in un punto di .a R Provare che una funzione dierenziabile è derivabile in ogni direzione.

<p>n Dare la denizione di funzione dierenziabile in un punto di .a R Provare che una funzione dierenziabile è derivabile in ogni direzione.</p>

4. Enunciare il teorema sugli integrali iterati.

<p>Enunciare il teorema sugli integrali iterati.</p>

5. Prova scritta del 17/02/05.

<p>Prova scritta del 17/02/05.</p>

6. Data la funzione 3 3 3f (x, y, z) = x + y + z − x (y + z) ,trovarne i punti critici e studiarne la natura.

<p>Data la funzione 3 3 3f (x, y, z) = x + y + z − x (y + z) ,trovarne i punti critici e studiarne la natura.</p>

7. Considerata la funzione  ( ( ) ) 2x cos xy −1 se, (x, y) 6 = (0, 0),2αf (x, y) = 8|x| +y se0, (x, y) = (0, 0),calcolarne la derivata (se esiste) nel punto e nella direzione(0, 0) (cos θ) i +, in funzione di e .(sin θ) j θ ∈ [0, 2π] α ∈ ]0, +∞[2

<p>Considerata la funzione  ( ( ) ) 2x cos xy −1 se, (x, y) 6 = (0, 0),2αf (x, y) = 8|x| +y se0, (x, y) = (0, 0),calcolarne la derivata (se esiste) nel punto e nella direzione(0, 0) (cos θ) i +, in funzione di e .(sin θ) j θ ∈ [0, 2π] α ∈ ]0, +∞[2</p>

8. Calcolare il seguente integrale iterato:µ ¶Z Z1 y−1 sin πxy dx dy.x20 y −1

<p>Calcolare il seguente integrale iterato:µ ¶Z Z1 y−1 sin πxy dx dy.x20 y −1</p>

9. Determinare una funzione tale cheα : R → Rα(1) = 1e la forma dierenziale £ ¤ω = α(x) (x + 1)y dx + x dy2risulti esatta

<p>Determinare una funzione tale cheα : R → Rα(1) = 1e la forma dierenziale £ ¤ω = α(x) (x + 1)y dx + x dy2risulti esatta</p>

1. In .RCon la funzione così trovata, calcolare la primitiva che si annullaα φ(x, y)in .(1, 1)

2. Dimostrare la diseguaglianza triangolare.

3. 1Dimostrare che una forma dierenziale di classe e chiusa su un apertoCstellato è esatta. Prova scritta del 27/04/05.

4. Determinare per quali valori di la seguente funzione è dierenziabileα ∈ Rnell'origine: (¡ ¢ α2 2 2 2sex − y , x > y ,f (x, y) = 2 2se0, x 6 y .

5. Trovare i valori di per cui la seguente funzione ha almeno un minimoα ∈ Rrelativo: 3 2 2f (x, y, z) = x + y + z + xy + 2αyz.

6. Calcolare il seguente integrale doppio:ZZ p 2 2x + y dx dy,Scon © ª © ª2 2 2 2 2S = (x, y) ∈ R : y 6 3x ∩ (x, y) ∈ R : y 6 x(2 − x) .

7. Trovare una funzione tale cheα(z) α(0) = 1e la forma dierenziale 2 2x y x + yω = dx + dy + dz¡ ¢2α(z) α(z) α(z)risulti esatta in un aperto contenente l'origine.

Iniziamo definendo le due funzioni differenziabili:

f : R → R

g : R → R^n

Scelto un punto a ∈ R, poniamo:

b = f(a)

Esprimiamo ora la derivata h = g ◦ f : R → R in termini delle derivate parziali:

h' = g'(f(a)) * f'(a)

Dove:

g'(f(a)) ∂g ∂f ∂h = ∂g ∂f ∂h

f'(a) ∂g ∂f ∂h = ∂g ∂f ∂h

Quindi, la derivata parziale di h rispetto a x1 è:

∂h ∂x1 = ∂g ∂x1 * ∂f ∂x1

E la derivata parziale di h rispetto a y è:

∂h ∂y = ∂g ∂y * ∂f ∂y

Infine, la derivata parziale di h rispetto a x è:

∂h ∂x = ∂g ∂x * ∂f ∂x