Caratterizzazione delle funzioni derivabili

Se una funzione f è derivabile in un punto x₀, allora esiste il valore limite della sua derivata quando x tende a x₀. Questo valore limite viene chiamato derivata di f nel punto x₀ e viene denotato con f'(x₀).

Inoltre, se una funzione è differenziabile in un intervallo, allora è continua in quell'intervallo.

Il teorema di caratterizzazione delle funzioni derivabili afferma che una funzione è differenziabile in un punto se e solo se esiste una retta tangente al grafico della funzione in quel punto.

Questo teorema è molto utile per determinare se una funzione è derivabile in un punto specifico o in un intervallo.

è derivabile in èXolConXo ain af è differenziabile derivabilf èse2 Xo Dinfin ae XoXoDine a 2 Hol74Alim ERPer _f'A1 ipotesi DX XO X XOIHD Yaolive L to oX D to Alto74Poniamo l'ltwe toAllo RWWaggaDa A hasi che WIIFGFG I'Ho A xDa diper oCxdfCxl fYxoHx.xo NAIK XOOGfa XO x DXverificato che L'Xoho vale apere essereChe sappiamo unico2 1 FAOICTFa IR LAT.C2 tohe Xo X DI toAfx f tXXo tXoa oX XoJlx 7h OH Xo DX toX to XfaJalfy of xdYY.atX xoIh IhIII IRE Per9 ipotesiX Xo7 è f'LAderivabile in eXo aCorollario condizioneUna pernecessariaLa derivabilitàIA AGIR IR DCAHEARf 7derivabileè è continuain Xo intoDim dimostrareDevoIII fa fixPer dimostratoquanto hasi cheappenaf f l'Ixx Xo to x Xo xoeee lite Ela è condizionecontinuità una necessariaper la derivabilitàla derivabilità estesoinOSS senso inun non implicapunto necessariamentela puntocontinuità in quelsoEs Agn seo x Oi sela funzione

aSgr ènon continuaL'HI tooma esercizioxderivata in senso Testeso derivabileOSS continuaControesempio7 FGIR IR I XIXo OI IRè continua quindi particolarein inIN 07 inderivabileènon o7h gofigo 11 o LIUgoo 0IXI Htpoiché ERXSgnixxSgr 7famo YI Sgr xftp.sgnlhperche fugosgnix i iFIG sgrixiEsercizio f.IR IRVerificare Iche FCX laVx Rifo L x ovveroe sguxX1 oIseIx x oIsl XLCambio def dinella derivatavariabileOss fai Jhoth glioGuy LI hx x LXoInterpretazione della derivatageometrica FG l'ho Hy XoGIÀ 740fix.tnXo hXocoefficiente angolare Tabfixoth IN tankiniMAB hf èse derivabile inI fftp.tglwnl xdChiamiamo falretta di nelgraficotangentela direttafpunto Xo equazioneXo l4 LIX xDa xEs IIILISf.IR FGIR f seo oE ZEKµ f derivabileè oinI25in olaX D oOper X Sintitemo oFNICinfinitesimo perlimitatarettaEq 10,0al graficotangente in4 OInterpretazione dellageometricadifferenziab litàflxoltflx.tkflxothl hatohDiff Bill in Xoflo l'ho h a

hFA4 f Xo x Xoffoth IX 4fa hXo Toth_puntoquota nellaflettefflx retel'hanEchl migliorel'approssimazione delIII graficofine o lineare diconcettoSi retta tangenteilinterpreta dial funzionegrafico una lacomedel graficoapprossimazione in unmigliore lineareapplicazioneintorno di quel Ieripunto e iiiL'applicazione lineare EFFIER e aIR iiisiflash4 i fdidetta è differenziale denotasito einagliocon IRdflxol.IRh L'Hoth1h haglio L aI flx.ladflxoldxPer flat aglioLa th A ERInfatti djsi scrive faglio L dxaBanfi notevolilimiti312Sint scriverepuò sinsi1oè i e1 inX dotogliti taglia XnX X doD COSA E NECOSAI2 DXesinaEsta 3naifModo sinlXMesink2 ie i.Sinat3 Jinx 2x U XII4 sincGEFEfuitefx.no nellecitonotevole limitenotevolee I iIY da4 Ado ELITE E natoa FNICIginitesimo pasasinaµ sin'Texn ìnE sei 4 0Sostituzione since4sensoaSinan2 continuità4 o_poLecita IIINfinisce EPoi si dottCosa nella asintoticaSostituzioneabbiamo usato equivalenzaFGfuSeEx

Quando 4 seNo e94 DioUn della sostituzioneipotesi ta diintorno dige inyo toun pagatoFiglifigliallora per sxDimostra esercizioperGuardiamo dellail dellaassettovero tecnicaSostituzione delVogliamo risultato tipounftp.flghtE yliy.IMindichiamoChe lecitàsostituzionecome 4 galaEbbene è severa fogLa è ben5.0 supostacomposizione unA Con Dettainsieme EX ERS già Gox p5 YFgf2 in senso estesoèl'identitàdice un'uguaglianzache condizionatasecondodall'esistenza membrodelRapportoCesaro radiceusS V7 diA94 43 e intornoE con in XounEsempio Sadi diviolazione EtgIILI Ising vale saifigo nonallora senon sol'uguaglianza è vero o4 oXSINX nooMostriamo falsal'uguaglianza ècheiline FN infinitesimoinfatti o posSintf do Sint do per diSint intornoin uno 0diprivato 0fluScelta diastuta IIIIsis singliFI già 4fuoveEI TEEII JOHNè vera benMEJO tool posto EJO.toperche sinInflèfera aiin intornoper unto diprivatoo Xo5NONSonoEX ci per aggirareescamotage 2FILI Sint oII poicheEnt FN limitepergg oSi dimostrare chepuò esistenonforzo il denominatore disegnoa cambiare ItaànArtini flanno 9ns Dobe ElbabaNo otdal pontefice 4ftp.tsintancxalEx setteEgawaX 4 sex xosentoN sinctorchlostitàfuoridasempre Sost 4 tangacon le composte Ceci contdibuon degli esponenticomportamento nil numCOSTEIsinltonh.DE NIKEN 1 1In tò EI yoXraccogliamodiElgli gradobasso per Dx òRazionali frateEx74TIIEF LLAH o InfE Eline itFI084X D EII GFI IH viII IH alaeIttite3 t 22 12 12line oI3 SIagata Ga 2X D i FILEIII Ruffini divisioneT tra polinomiESILIO3N 2733t i 1D 3 2X 1 XÉ73 2G E 3 Etc2 3 2 piùannuitàfino il den sichea nontitini HighIEè siaAL FILIEx Cosaline IIe vietatan perchésiD lex comporta cono maleben posto composizioni lecitaprodottiStudio l'esponente solo n1959Inalogicosan logonelSostituzione eEcosti ego per diragionicostinuitàlog Ita ou ysen esponeteèIIIfigo logex acutiZTO IFIFI IIIII Dlog Cogli soseloggia n 4u oII1 lecitao TTIFAX 2 iEi sto aIIE LIFNEI XEX FILO Oeh XIII eXII E X oIL ex6112 Banfi DirichletPoniamo funzione diEsercizio naElose iINIR7 0,1 seo Loxe 1310fDimostra è discontinuache inogni LOEXo i èfquesta monotonaEs ha infinite discontinuitàI EJ Dined è continua in 0e altrinegliDIDo5 EIn valegenerale unilaterilimiti diTeorema f monotoneElt7 39,5L bSia IR a7 monotona Ef haallora limite unilatero inin ognipunto bludi Ja 915Precisamentefè inallorase senso