Che materia stai cercando?

Anteprima

ESTRATTO DOCUMENTO

Esempio (retta tangente) Derivabilità Continuità

Calcoliamo la retta tangente al grafico di f (x) = ln x nel punto di

= 1. Allora,

ascissa x 0 Una funzione può essere continua in un punto senza essere ivi

f (x ) = ln 1 = 0 |x|

derivabile. Per esempio, la funzione f (x) = è continua ma non

0 1 = 0.

derivabile in x

0

f (x) = (x ) = 1

f 0

x

e dunque −

) + f (x ) (x x ) =

y = f (x 0 0 0

Derivabilità Continuità Derivata destra e sinistra

Definizione

Teorema → R ∈

Se f : (a, b) è derivabile in x (a, b) allora è continua in x . 1. Diciamo che la funzione f è derivabile da destra in x se

0 0 0

esiste, finito, il limite

Dimostrazione. −

f (x + h) f (x )

0 0

f (x ) := lim

0

+ h

h→0 +

lim f (x) = lim f (x) f (x ) + f (x )

0 0

x→x x→x

0 0 se

2. Diciamo che la funzione f è derivabile da sinistra in x 0

f (x) f (x )

0 − esiste, finito, il limite

(x x ) + f (x ) = f (x )

= lim 0 0 0

x→x x x 0

0 −

f (x + h) f (x )

0 0

f (x ) := lim

poiché − 0 h

h→0

f (x) f (x )

0 .

lim = f (x )

0

x→x x x (x ) e f (x ) si chiamano, rispettivamente, derivata

Il numeri f

0

0 −

0 0

+ .

destra e sinistra di f in x 0

Punti di non derivabilità

Proposizione Se la funzione f è continua ma non derivabile in x , il limite, finito

0

→ R ∈

La funzione f : (a, b) è derivabile in x (a, b) se e solo se è

0 o infinito, (eventualmente da destra e/o da sinistra) del rapporto

(x ) = f (x ). In tal caso

ivi derivabile da destra e da sinistra e f −

0 0 può darci delle informazioni sul

incrementale di f in x

+ 0

si ha comportamento della funzione (e del suo grafico) in un intorno di

.

(x ) = f (x ) = f (x )

f −

0 0 0 .

x

+ 0

Definizione

Se f è definita nell’intervallo chiuso e limitato [a, b], la derivata di

f in x = a è la derivata destra, mentre la derivata di f in x = b è

la derivata sinistra.

Derivata infinita Esempio (tangente verticale)

La funzione f (x) = x non è derivabile (da destra) in x = 0.

0

Infatti, −

f (x + h) f (x )

0 0

(x ) = lim

f 0

+

Introduciamo le seguenti convenzioni: se f è continua in x e h

h→0 +

0 √

√ −

0+ h 0 1

− √

f (x + h) f (x ) = +∞

= lim = lim

0 0 − ∞)

lim = +∞ (oppure h

h→0 h→0

+ + h

h

h→0 Tuttavia, la retta r secante il grafico di f nei punti (0, 0) e

h

−∞) √

è +∞ (oppure e scriviamo

diciamo che la derivata di f in x 0 h, h “tende” alla “retta limite” x = 0 parallela all’asse delle

− ∞)

(x ) = +∞ (oppure

f ordinate (parliamo di punti con tangente verticale)

0

Analoghe convenzioni valgono per le derivate destra e sinistra

Punti angolosi Flessi a tangente verticale

,

Diciamo che (x f (x )) è un punto di flesso a tangente verticale

0 0 e

per il grafico della funzione f se essa è continua in x 0

,

Diciamo che (x f (x )) è un punto angoloso per il grafico della

0 0

(x ) = f (x ) = +∞ (cioè f (x ) = +∞)

f

, esistono le derivate destra e

funzione f se essa è continua in x − 0 0 0

0 +

e

sinistra di f in x 0 oppure

(x ) = f (x )

f

− 0 0

+

−∞ −∞ −∞)

Una delle derivate può anche essere +∞ o (x ) = f (x ) = (cioè f (x ) =

f

− 0 0 0

+

Cuspidi Esempio

Infine, sono punti di non derivabilità quelli in cui almeno una delle

derivate destra o sinistra non esiste. Per esempio,

,

Diciamo che (x f (x )) è una cuspide per il grafico della funzione

0 0 ⎧

e

f se essa è continua in x ⎪ 1

0 ⎨

x cos se x = 0

x

f (x) =

−∞ ⎪

(x ) = +∞ e f (x ) =

f ⎩

− 0 0

+ 0 se x = 0

oppure = 0 poiché

non è derivabile in x

0

−∞ (x ) = +∞

(x ) = e f

f

− 0 0

+ 1 −

h cos 0 1

h

(0) = lim cos

= lim =

f h h

h→0 h→0

k

Funzione derivata Funzioni di classe C

Definizione

Definizione (funzione derivata) k

∈ N.

Sia I un intervallo e k Indichiamo con C (I ) l’insieme (o la

→ R

Se f : (a, b) è derivabile in (a, b), la funzione che associa ad classe) di tutte le funzioni derivabili k volte in I con derivata

∈ (x), viene detta

ogni x (a, b) la derivata di f in x, cioè f k-esima continua; più brevemente diremo l’insieme delle funzioni k

.

funzione derivata di f e si indica con il simbolo f volte derivabili con continuità

Derivate successive Algebra delle derivate

Definizione (derivate successive) Teorema

→ R

Se f : (a, b) è derivabile in (a, b) e la funzione derivata f è a , → R ∈

Siano f g : (a, b) derivabili in x (a, b). Allora le funzioni

∈ f

sua volta derivabile in un punto x (a, b), chiamiamo derivata

± (g (x) = 0) sono derivabili in x e si ha:

f g , fg e g

in x e la indichiamo con uno dei

seconda di f in x la derivata di f

seguenti simboli: ±

± (x) = f (x) g (x)

1. (f g )

2

d f

, , .

2 2. (fg ) (x) = f (x) g (x) + f (x) g (x)

(x) D f (x) (x)

f 2

dx

f (x) g (x) f (x) g (x)

f

Si può ripetere il ragionamento sulla funzione derivata seconda e

, (g (x) = 0)

(x) =

3. 2

g [g (x)]

parlare di derivata terza e cosı̀ via. In questo modo si definisce il

concetto di derivata n-esima e di funzioni derivabili n volte in un

punto. La notazione per la derivata n-esima è la seguente: ∈ R

In particolare, se c è una costante e f è derivabile allora

n f

d

, , .

(n) (n)

(x) D f (x) (x)

f (x)

D (cf (x)) = cf

n

dx Derivata della funzione composta

Regola della catena

Esempio n n−1

→ , ∈ Z

1. f (x) = x f (x) = nx n Teorema → R, → R ∈

Siano f : (a, b) g : (c, d) e g (x) (a, b) per ogni

Applichiamo ripetutamente la 1 e la 2 del teorema precedente. ∈ ∈

x (c, d). Se g è derivabile in x (c, d) e f è derivabile in

g (x) (a, b), allora la funzione composta

1

→ , > >

2. f (x) = log x f (x) = a 0, a = 1, x 0 ◦

a (f g ) (x) := f (g (x))

x ln a è derivabile in x e si ha

Basta applicare la regola 2 del teorema precedente all’identità

ln x (x) = f (g (x)) g (x)

(f g )

x =

log a ln a

1 Esempio

2

3. f (x) = tan x f (x) = = 1 + (tan x)

2

(cos x) x x

→ >

1. f (x) = a f (x) = a ln a, a 0, a = 1

x

sin

Se poniamo f (x) = tan x = , allora

x

cos x

x a x a

ln ln

L’identità f (x) = a = e = e e il teorema precedente

cos x cos x sin x (− sin x)

implicano

f (x) = 2 x a x

(cos x) ln

(x) = e ln a = a ln a

f

1 2

= = 1 + (tan x)

2

(cos x) α α−1

→ αx , α ∈ R

f (x) =

2. f (x) = x α

α x α x

ln ln

L’identità f (x) = x = e = e e il teorema precedente

Esercizio implicano

Calcolare le funzioni derivate delle seguenti funzioni:

x α α

sin x

1. f (x) = 2x + e α x α α−1

αx

ln

f (x) = e = x =

x cos x x x

2. f (x) = x

e

Esempio

−1

La continuità di f implica che

x +1 . Allora

Sia f (x) = ln 2x + 3 −1 −1

→ →

(y ) f (y ) = x se (e solo se) y y

x = f 0 0 0

× − ×

1 1 (2x + 3) (x + 1) 2

× e dunque

f (x) = x+1 2

(2x + 3)

2x+3 −1 −1

f (y ) f (y )

2x + 3 1

1

−1 0

× f (y ) := lim

= = 0 −

y →y

2 y y

x +1 (2x + 3) (x + 1)

(2x + 3) 0

0 1

1

= lim =

x→x f (x) f (x ) f (x )

0 0

0

Esercizio −

x x 0

Calcolare le funzioni derivate delle seguenti funzioni: −1 in y := f (x ) è il reciproco della derivata

Cioè, la derivata di f

x 0 0

sin

1. f (x) = e

di f in x

x 0

cos f

2 ln (x)

2. f (x) = 1 + x (si usi l’identità f (x) = e )

Derivata della funzione inversa Derivata della funzione inversa

Se f è una funzione continua e invertibile nell’intervallo I , allora

−1 è continua nell’intervallo J := f (I ). Se poniamo y := f (x),

f −1 −1

(y ) e il rapporto incrementale di f in y := f (x )

allora x = f 0 0

può essere scritto come segue:

−1 −1 −1 −1

− −

f

f (y ) f (y ) (f (x)) f (f (x ))

0 0

=

− −

y y f (x) f (x )

0 0

x x 1

0

= = −

− f (x) f (x )

f (x) f (x ) 0

0 −

x x 0 Se poi vogliamo la stessa variabile indipendente in ambo i membri

Teorema della (**), possiamo procedere in due modi:

→ R

Sia f : (a, b) continua e invertibile. Se f è derivabile in

−1

(a, b) e f (x ) = 0, allora la funzione inversa f è derivabile

x 1. sostituiamo la y con f (x) e otteniamo

0 0

= f (x ) e si ha

in y 0 0

1

−1 (f (x)) = ;

f

f (x)

1

−1 (y ) = (*)

f 0

f (x ) −1

0 (y ) e otteniamo

2. sostituiamo la x con f

1

−1 ,

(y ) =

f

Osservazione −1

f (f (y ))

−1

Nella formula (*), gli argomenti delle funzioni f e f sono

−1 ovvero, usando la solita lettera x per la variabile indipendente,

diversi: f è calcolata in y = f (x ) mentre la f è calcolata in

0 0

. Gli argomenti sono legati dalla relazione

x 0

1

−1 (x) =

f −1

f (f (x))

= f (x )

y 0 0

Perciò, scrivere e ricordare la (*) nella forma

1

Quest’ultima versione è più utile perché ci permette di ottenere

−1

=

f

−1

attraverso la composizione (e il passaggio al reciproco) di

f

f due funzioni che in molti casi (anche se non sempre) conosciamo:

è sbagliato perché può far pensare che sia −1

e f . Infatti, correttamente, possiamo ricordare la formula

f

1

−1

,

(z) =

f (NO!!!) 1 1

−1

f (z) =

f =

−1 −1

f (f ) f f

mentre, invece, è

tralasciando la variabile (che è la stessa!)

1

−1 ,

(y ) = (**)

f

f (x)

dove y = f (x).

Esempio (derivata inversa) 1

→ , −1 < <

1. f (x) = arcsin x f (x) = x 1

− 1

2

1 x

3. f (x) = arctan x f (x) = 2

1 + x

La funzione arcsin x è l’inversa della funzione f (x) = sin x

π/2]. La funzione arctan x è l’inversa della funzione f (x) = tan x

(x) = cos x e

ristretta all’intervallo [−π/2, Abbiamo f π/2).

ristretta all’intervallo (−π/2, Abbiamo

dunque 2

(x) = 1 + tan x e dunque

f

1

D (arcsin x) = 1 1

cos (arcsin x) D (arctan x) = =

2 2

1+ tan (arctan x) 1 + x

1

1 √

=

= − 2

1 x

− 2

1 sin (arcsin x) ≥

La radice è stata presa con il segno positivo poiché cos x 0

−π/2 ≤ ≤ π/2

per x 1

→ − , −1 < <

2. f (x) = arccos x f (x) = x 1

− 2

1 x √ 1

→ , ∈ N

n

4. f (x) = x f (x) = n

n−1

n

n x

La funzione arccos x è l’inversa della funzione f (x) = cos x

π]. (x) = sin x e

ristretta all’intervallo [0, Abbiamo f √ n

∈ N,

n

La funzione x, n è l’inversa della funzione f (x) = x

dunque R

se n è dispari oppure della sua restrizione a se se n è pari.

+

1 n−1

(x) = nx e dunque

Abbiamo f

D (arccos x) = − sin (arccos x)

√ 1

1

1 n

√ D x =

− =

= n−1

n

− n x

2

2 1 x

1 cos (arccos x) ≥

La radice è stata presa con il segno positivo poiché sin x 0

≤ ≤ π

per 0 x

Derivate delle funzioni elementari Tabella regole di derivazione

1. f (x) = c (costante) f (x) = 0

1. D (f (x) + g (x)) = f (x) + g (x)

α α−1

∈ R) → αx

(α f (x) =

2. f (x) = x

− (x) g (x)

2. D (f (x) g (x)) = f

In particolare

(x) g (x) + f (x) g (x)

3. D (f (x) g (x)) = f

n n−1

∈ N) →

f (x) = x (n f (x) = nx

f

f (x) (x) g (x) f (x) g (x)

=

4. D

√ 1 2

∈ N) → g (x)

n [g (x)]

f (x) = x (n f (x) = n−1

n

n x

5. D (f (g (x))) = f (g (x)) g (x)

1

> →

3. f (x) = log x (a 0, a = 1) f (x) =

a 1

x ln a −1

6. D f (x) = −1

f (f (x))

x x

> →

(a 0, a = 1) f (x) = a ln a

4. f (x) = a

5. f (x) = sin x f (x) = cos x

→ (x) = sin x

6. f (x) = cos x f 1

→ 2

7. f (x) = tan x f (x) = x

= 1 + tan

2

cos x Differenziale

1

8. f (x) = arcsin x f (x) = − 2

1 x

1

→ −

9. f (x) = arccos x f (x) = − 2

1 x

1

10. f (x) = arctan x f (x) = 2

1 + x

Differenziale Poiché, il differenziale della funzione identità f (x) = x è

·

→ R ∈ df (x) = dx = 1 h = h,

Se la funzione f : (a, b) è derivabile in x (a, b) allora

0

+ h) f (x )

f (x (cioè, dx = h) scriviamo il differenziale di f in x nella forma

0 0 ε →

− (x ) =: (h) 0

f 0

h (x) dx

df (x) = f

per h 0. Moltiplicando ambo i membri per h abbiamo

− ,

+ h) f (x ) = f (x ) h + o (h)

∆f = f (x 0 0 0 Esempio

o(h) ε

con lim = lim (h) = 0.

h→0 h→0

h 1

1. d arctan x = dx

2

1+x

(x ) h si chiama differenziale di f in x e si

La funzione (di h) f 0 0 1

2. d x = dx

x

indica con 2

)

df (x 3. d sin x = cos x dx

0 Regole di differenziazione

Perciò, se f è derivabile in x , l’incremento ∆f corrispondente ad

0

un incremento h della variabile indipendente può essere scomposto

nella somma del differenziale e di un infinitesimo di ordine

superiore ad h per h 0. Se prendiamo f (x ) h come stima di

0

+ h) f (x ) commettiamo un errore che tende a zero più

f (x Teorema

0 0 →

velocemente di h per h 0. , → R

Se f g : (a, b) sono derivabili, allora:

± ±

1. d (f g ) = df dg

· ·

2. d (fg ) = df g + f dg

· − ·

df g f dg

f =

3. d g 2

g

∈ >

mentre se x B e x x ,

0 − )

f (x) f (x 0 ≤ 0.

x x 0 ∈ R

La derivabilità di f in x implica che esiste tale che

0 − −

Teoremi fondamentali del f (x) f (x ) f (x) f (x )

0 0 .

(x ) = lim = lim =

f 0 − −

x x x x

− +

x→x

x→x 0 0

0

0

calcolo differenziale Ma allora −

f (x) f (x )

0

= lim 0

x x

x→x 0

0

e −

f (x) f (x )

0

= lim 0

x x

+

x→x 0

0

Dunque = 0.

Teorema di Fermat Punti stazionari

Teorema → R

Sia f : D e sia x un punto di massimo o di minimo relativo,

0 si ha

interno all’insieme D. Se f è derivabile in x

0 Definizione (punto stazionario)

(x ) = 0

f 0 → R, ∈

Sia f : D un punto x D si dice stazionario per f se

(x) = 0

f

Dimostrazione

Dimostriamo il caso del punto di massimo. Per ipotesi, esiste un

tale che B D e

intorno B di x Perciò, il teorema afferma che se x è un punto di massimo o di

0 0

minimo relativo interno al dominio di f e f è ivi derivabile, allora

,

≤ )

f (x) f (x 0 è un punto stazionario per f .

x 0

∈ ∈ < , si ha

per ogni x B. In particolare, se x B e x x 0

f (x) f (x )

0 ≥ 0,

x x 0 Esempio 1

Osservazione

La condizione f (x) = 0 non è né necessaria né sufficiente per

l’esistenza di un punto di massimo o di minimo relativo. Infatti,

1. La condizione f (x) = 0 è necessaria solo per i punti di

massimo o di minimo di f interni al dominio e in cui la

funzione è derivabile, come mostrano i seguenti esempi ,

D = [x x ].

1 7

sono punti di massimo relativo

3

2. La funzione x ha derivata nulla nell’origine, ma non ha né un sono punti di minimo relativo

massimo relativo né un minimo relativo Esempio 2

Osservazione (sulla ricerca degli estremi di una funzione)

→ R,

Sia f : D allora possono essere punti di massimo o di minimo

per f :

1. i punti di frontiera di D che appartengono a D

2. i punti in cui la funzione non è derivabile

3. i punti in cui la derivata è zero

Esercizio

Si cacolino, se esistono, il massimo e il minimo assoluti della ,

D = (x x ].

1 7

funzione − −

2 4 x

f (x) = x sono punti di massimo relativo

nell’intervallo [−2, 3] sono punti di minimo relativo

Teorema di Rolle Teorema di Cauchy

Teorema → R

Sia f : [a, b] continua in [a, b], derivabile in (a, b) e tale che Teorema

∈ (a, b) tale che

f (a) = f (b). Allora esiste almeno un punto x

0 , → R

Siano f g : [a, b] continue in [a, b] e derivabili in (a, b).

(a, b) tale che

Allora esiste almeno un punto x

(x ) = 0

f 0

0

− (x ) = [g (b) g (a)] f (x )

[f (b) f (a)] g 0 0

Dimostrazione.

La funzione ammette massimo e minimo assoluti (teorema di Osservazione

un punto di massimo assoluto e x un

Weierstrass). Siano x m

M Il teorema di Lagrange è un caso particolare del teorema di Cauchy

∈ ∈

(a, b) oppure x (a, b),

punto di minimo assoluto. Se x m

M in cui g (x) = x

(x ) = 0 oppure

allora per il teorema di Fermat si ha f M

∈ {a, ∈ {a,

(x ) = 0. Se x b} e x b}, allora f (x ) = f (x )

f m m m

M M

(x) = 0 per ogni x (a, b).

e dunque f è costante e f

Teorema di Lagrange Monotonia per funzioni definite su intervalli

Teorema → R

Sia f : [a, b] continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Allora

∈ (a, b) tale che

esiste almeno un punto x 0 Un’applicazione notevole del teorema di Lagrange è allo studio

f (b) f (a)

della monotonia di una funzione.

(x ) =

f 0 −

b a Teorema

Dimostrazione. → R

Sia I un intervallo e f : I derivabile in I . Allora:

La funzione ≥ ∈

(x) 0 per ogni x I ;

1. f è crescente in I se e solo se f

f (b) f (a) ≤ ∈

(x) 0 per ogni x I ;

2. f è decrescente in I se e solo se f

− −

g (x) := f (x) (x a)

b a ∈

(x) = 0 per ogni x I .

3. f è costante in I se e solo se f

soddisfa le ipotesi del teorema di Rolle. Perciò, esiste almeno un

∈ (a, b) tale che

punto x 0 −

f (b) f (a)

(x ) = f (x )

g = 0.

0 0 −

b a

Dimostrazione.

, ∈ <

Siano x x I , x x , il teorema di Lagrange applicato alla f

1 2 1 2

, x ] implica che

nell’intervallo [x Osservazione

1 2 Per stabilire la monotonia di una funzione f usando il segno della

) f (x )

f (x

2 1 (x) sia definita su tutto un

sua derivata prima è essenziale che f

= f (x )

0

x x 1 è tale che

intervallo. Per esempio, la funzione f (x) =

2 1 x

∈ ,

(x x

per qualche x ). Allora,

0 1 2 1

− <

f (x) = 0

f

(x )−f (x ) 2

≥ ⇒ ≥ ⇒ ≤ x

2 1

(x) 0 in I 0 f (x ) f (x );

1. f 1 2

x −x

2 1

f ∈ R \ {0}. R \ {0}

(x )−f (x )

≤ ⇒ ≤ ⇒ ≥ per ogni x Tuttavia f non è decrescente in (le

2 1

2. f (x) 0 in I 0 f (x ) f (x );

1 2

x −x

2 1 restrizioni di f agli intervalli (−∞, 0) e (0, +∞) sono strettamente

f

(x )−f (x )

⇒ ⇒

2 1

3. f (x) = 0 in I = 0 f (x ) = f (x ).

1 2

x −x decrescenti)

2 1

Viceversa, se f è crescente (decrescente) allora il rapporto

incrementale è non-negativo (non-positivo) in ogni punto e dunque

il suo limite è non-negativo (non-positivo). Natura dei punti stazionari e segno di f

Proposizione → R

Sia I un intervallo e f : I derivabile in I . → R ∈

Sia f : (a, b) derivabile in (a, b) e x (a, b) tale che

0

(x ) = 0. Se esistono un intorno sinistro (destro) in cui

f

> ∈

(x) 0, per ogni x I , allora f è strettamente

1. Se f 0

< >

(x) 0 e un intorno destro (sinistro) in cui f (x) 0 , allora x

f

crescente in I ; 0

è un punto di minimo (massimo) locale per f

< ∈

(x) 0, per ogni x I , allora f è strettamente

2. Se f

decrescente in I .

Osservazione

La proposizione precedente non è invertibile. Per esempio, la

R

3 è strettamente crescente in ma

funzione f (x) = x

≥ ∈ R >

2 2

(x) = 3x 0 per ogni x (e non f (x) = 3x 0)

f

Una condizione sufficiente di derivabilità Osservazione

Teorema Il teorema fornisce una condizione solo sufficiente ma non

→ R

Sia f : [a, b] continua in [a, b] e derivabile in (a, b). Se esiste, necessaria, come mostra il seguente esempio. Sia

f (x), allora esiste, finito o infinito,

finito o infinito, lim x→a +

f (a+h)−f (a) e si ha

lim

2

h→0 + h sin (1/x) se x = 0

x

f (x) :=

− 0 se x = 0

f (a + h) f (a) .

lim f (x)

= lim

h

h→0 x→a

+ + Allora −

f (x) = lim (2x sin (1/x) cos (1/x))

lim

Un risultato analogo vale per x = b e, unendo i casi, per un punto x→0 x→0

interno ad [a, b]

x non esiste ma

0 2 −

1

}

\ {x (0 + h) sin 0

e

In particolare, se f è continua in (a, b), derivabile in (a, b) 1

0 0+h

f (0) = lim h sin

= lim = 0.

f (x), allora f è derivabile in x e si ha

esiste, finito, lim x→x h h

h→0 h→0

0

0

(x ) = lim f (x)

f 0 x→x

0

Esempio

Stabilire per quali valori dei parametri reali h e k, se esistono,

risulta continua e derivabile la funzione

Osservazione (essenzialità della continuità)

<

sin kx se x 0

f (x) := ≥

2 + x + h se x 0

kx Nel teorema precedente, la continuità della funzione è essenziale

come mostra il seguente esempio. Sia

⎧ − <

⎨ x 1 se x 0 .

0 se x = 0

f (x) := ⎩ >

x + 1 se x 0

f (x) = 1 ma f (0) non esiste

Allora lim

x→0

Teoremi di de l’Hospital Esempio

Calcoliamo, usando il teorema precedente,

I teoremi che seguono sono utili nel calcolo dei limiti che si sin x

presentano nelle forme di indecisione .

lim

x→0 x

0 oppure Verifichiamo le ipotesi:

0

sin x = lim x = 0,

1. lim x→0 x→0

(x) = 1 = 0,

2. g

Vedremo che, sotto opportune ipotesi,

f x

(x)

cos

= lim =1

3. lim x→0 x→0

g 1

(x)

f (x) f (x)

lim = lim Dunque,

x→x x→x

g (x) g (x)

0 0 sin x cos x

= lim =1

lim

x→0 x→0

x 1

0

Teoremi di de l’Hospital: forma 0 Teorema

−∞ ≤ < ≤ , → R

Teorema Siano a b +∞ e f g : (a, b) derivabili in (a, b).

−∞ ≤ < ≤ , → R Se

Siano a b +∞ e f g : (a, b) derivabili in (a, b).

Se ±∞;

g (x) =

1. lim x→a +

f (x) = lim g (x) = 0;

1. lim ∈

x→a x→a (x) = 0 per ogni x (a, b);

2. g

+ +

f

(x) = 0 per ogni x (a, b);

2. g (x) → +

per x a

3. esiste, finito o infinito, il limite di

g (x)

f (x) → +

per x a

3. esiste, finito o infinito, il limite di

g f

(x) (x) → +

Allora esiste il limite di per x a e si ha

g (x)

f (x) → +

Allora esiste il limite di per x a e si ha

g (x)

f (x) f (x)

lim = lim

f (x) f (x) g (x) g (x)

x→a x→a

+ +

lim = lim

g (x) g (x)

x→a x→a

+ + −

Il teorema vale anche nel caso in cui x b e nel caso in cui le

→ ipotesi siano verificate in un punto interno di (a, b),

Il teorema vale anche nel caso in cui x b e nel caso in cui le

ipotesi siano verificate in un punto interno di (a, b)

Osservazione

Nel teorema precedente richiediamo che sia infinita solo la funzione

a denominatore. La funzione a numeratore può anche non

ammettere limite La formula di Taylor

Esercizio α >

Si dimostri, usando il teorema precedente, che per ogni 0 e

>

a 1 si ha α

x

lim = 0

x

x→+∞ a Approssimare una funzione con polinomi

Osservazione (sull’ipotesi 3. dei teoremi di de l’Hospital)

f (x)

Se valgono le ipotesi 1. e 2. dei teoremi precedenti e lim x→a +

g (x)

f (x)

non esiste, non possiamo concludere che lim non esiste. I polinomi sono tra le funzioni più semplici. Calcolare il valore

x→a + g (x) di un polinomio in un punto richiede un numero finito di

Per esempio, siano f (x) = 2x + sin x e g (x) = x. Allora moltiplicazioni e addizioni

f (x) 2 + cos x Vogliamo approssimare f (x) con un polinomio in un intorno

= lim

lim

x→+∞ x→+∞

g (x) 1 fissato.

di un punto x 0

In particolare, considereremo polinomi che condividono con f

insieme al valore delle derivate successive, fino

il valore in x 0

ad un certo ordine.

Fattoriale di un numero naturale Approssimare con un polinomio di secondo grado

→ R ∈

Sia f : (a, b) derivabile due volte in (a, b) e x (a, b). Il

0

Definizione polinomio di secondo grado

Sia n un numero naturale, definiamo fattoriale di n e lo (x )

f

indichiamo con n! la quantità: 0 2

− −

(x) := f (x ) + f (x ) (x x ) + )

T (x x

2 0 0 0 0

2

× − × − × ... × × × ≥

n! := n (n 1) (n 2) 3 2 1, se n 1, è tale che −

f (x) T (x)

2

0! := 1. lim = 0.

2

x→x (x x )

0 0

Per esempio, Perciò, se approssimiamo f (x) con T (x), commettiamo un

2

errore

× × ×

4! = 4 3 2 1 = 24 −

(x) := f (x) T (x)

E 2 2

× × × ×

5! = 5 4 3 2 1 = 120 2

→ −

che tende a zero, per x x , più velocemente di (x x ) , cioè

6! = 720 0 0

8! = 40 320 2

− .

, →

(x) = o (x x )

E per x x

2 0 0

Si osservi che il fattoriale cresce molto velocemente

Approssimare con un polinomio di primo grado Esempio 30000 70

Sia C (x) = + ln x il costo medio, espresso in euro,

M x

→ R ∈ corrispondente ad una quantità x. Assumendo che la produzione

Sia f : (a, b) derivabile in x (a, b). Il polinomio di primo

0 in un intorno

annua sia circa 1000, approssimiamo la funzione C

grado M

− = 1000 con i polinomi:

di x

(x) := f (x ) + f (x ) (x x )

T 0

1 0 0 0 x−1000

è tale che ,

T (x) = 30 + 210 ln 10 +

1 25

− − − − 2

f (x) T (x) f (x) f (x ) f (x ) (x x ) x−1000 (x−1000)

− ,

1 0 0 0 T (x) = 30 + 210 ln 10 +

= lim = 0.

lim 2 25 200000

− −

x→x x→x

x x x x

0 0

0 0 ≈

dove 30 + 210 ln 10 513, 5428. Allora,

(x), commettiamo un

Perciò, se approssimiamo f (x) con T

1

errore |E |E

x C (x) T (x) T (x) (x)| (x)|

M 1 2 1 2

(x) := f (x) T (x)

E 1 1 800 505, 4228 505, 5428 505, 3428 0, 1200 0, 0800

→ − 900 509, 5009 509, 5428 509, 4928 0, 0419 0, 0081

che tende a zero, per x x , più velocemente di x x , cioè

0 0 1000 513, 5428 513, 5428 513, 5428 0 0

− , → .

(x) = o (x x ) per x x

E 1100 517, 4873 517, 5428 517, 4928 0, 0555 0, 0055

1 0 0 1200 521, 3053 521, 5428 521, 3428 0, 2375 0, 0375


ACQUISTATO

1 volte

PAGINE

41

PESO

432.42 KB

PUBBLICATO

+1 anno fa


DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea magistrale in economia (MILANO)
SSD:

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi matematica e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Cattolica del Sacro Cuore - Milano Unicatt o del prof Longo Michele.

Acquista con carta o conto PayPal

Scarica il file tutte le volte che vuoi

Paga con un conto PayPal per usufruire della garanzia Soddisfatto o rimborsato

Recensioni
Ti è piaciuto questo appunto? Valutalo!

Altri appunti di Analisi matematica

Analisi matematica - teoremi sul limite
Appunto
Analisi matematica - Rienmann - Appunti
Appunto