Analisi matematica – calcolo differenziale – Appunti

Polinomio di Taylor

Tx→x (x x ) 100 (x) =Tse e solo se 2 (n) (x) =Tf f(x ) (x ) 30 0, , , ... .a = f (x ) a = f (x ) a = =an0 0 1 0 2 2! n!Polinomio di TaylorCon riferimento al Teorema di Taylor, il polinomio (x )f 0 2− −(x) := f (x ) + f (x ) (x x ) + )T (x xn 0 0 0 02! (n)f f(x ) (x ) n0 03 ...− −+ ) + + )(x x (x x0 03! n!n (k)f (x ) k0 ,−= )(x x 0k!k=0(0) := f , si chiama polinomio di Taylor didove abbiamo posto f .grado n generato da f con centro x0Perciò, se approssimiamo f (x) con T (x), commettiamo un erroren−E (x) := f (x) T (x)n n n→ −che tende a zero, per x x , più velocemente di (x x ) , cioè0 0n− , → .E (x) = o ((x x ) ) per x xn 0 0Formula di Taylor con resto nella forma di Peano Dove uso la formula?La condizione (∗) del Teorema di Taylor scritta comef (x ) 0 2− −) + f (x ) (x x ) + )(x xf (x) = f (x 1. La formula di Taylor con resto nella forma di Peano è utile per0 0 0 02! il calcolo dei limiti(n)f (x

1. n &n0... − , → ,−+ + ) + o ((x x ) ) x x(x x 0 0 0n!
2. La formula di Taylor con resto nella forma di Lagrange è utile per la stima numerica dell’errore della funzione f con resto nella forma di Peano.
3. Se x ≠ 0 parliamo rispettivamente di polinomio e formula di MacLaurin.
4. Formula di Taylor con resto nella forma di Lagrange Esempio −3 2
5. Sia f (x) = x 3x + x + 2. Calcoliamo T in x = 1.3 0
6. Teorema − →3 23x + x + 2 f (1) =f (x) = x→ R ∈
7. Sia f : (a, b) derivabile n + 1 volte in (a, b) e x (a, b).0∈ →e x
8. Allora, per ogni x (a, b) esiste un punto c compreso tra x f (x) = f (1) =0tale che: →f (x) = f (1) =f (x ) 0 2 →− − f (x) = f (1) =) + f (x ) (x x ) + )(x xf (x) = f (x 0 0 0 02!(n) (n+1)f f(x ) (c) e dunquen n+10... − −+ + ) + )(x x (x x0 0n! (n + 1)! (x) =T3
9. La formula precedente prende il nome di formula di Taylor didella funzione f

con resto nella forma diordine n e centro x 0Lagrange.

Se x = 0 parliamo di formula di MacLaurin

Formule di MacLaurin di alcune funzionin2 3x x xx n...

1. e = 1 + x + ) ;+ + + + o (x2! 3! n! n2 3 4
2. In particolare,xx xx n−1 n− ...− ) ;+ + + (−1) + o (x2.
3. ln (1 + x) = x 2 3 4 n 3 5 2n+1x xx f (x ) = 0n 0− ... 2n+1
4. sin x = x + + + (−1) + o x ; ⇒ x1. punto di minimo locale3! 5! (2n + 1)! 0 >f (x ) 00 2 4 2nxx x n− ... 2n
5. cos x = 1 + + + (−1) + o x ; 2! 4! (2n)! f (x ) = 0 03x 16 ⇒ x punto di massimo locale2.5 5+ o x
6. tan x = x + + x ; 0 <3 5! f (x ) 00 3 5 2n+1x xx n− ... 2n+1
7. arctan x = x + + + (−1) + o x ;3 5 2n + 1−a (a 1)a ...2= 1 + ax + +x
8. (1 + x) 2!− − ... −a (a 1) (a 2) (a n + 1) n n .+ o (x )x+ n!

Natura dei punti stazionari

La formula di Taylor con resto nella forma di Peano ci permette diprovare il seguente

Teorema → R ≥Sia f : (a, b) derivabile n volte in x , n 2 e

tale che (n-1)(n)(x) = f(x) = f(x) = 0, f(x) = 0.

1. Se n è pari e f(x) > 0 allora x è un punto di minimo locale; f(x) < 0 allora x è un punto di massimo locale.

2. Se n è dispari allora x non è un punto di estremo.

Intrepretazione geometrica

Se x < α < x, l'insieme dei punti del tipo α(x - α), con α ≤ x, rappresenta l'intervallo [x, x].

Una funzione f è concava (convessa) nell'intervallo I se e solo se, per ogni x1, x2 ∈ I, il segmento che unisce i punti (x1, f(x1)) e (x2, f(x2)) sta tutto al di sotto (sopra) del grafico di f, o al più coincide con esso.

Funzioni concave e convesse

Definizione → Sia I un intervallo, diciamo che la funzione f: I è concava (convessa) in I se per ogni x1, x2 ∈ I e per ogni α ∈ [0, 1] si ha

f(αx1 + (1-α)x2) ≥ αf(x1) + (1-α)f(x2)

(*)f (αx 1 2 1 2≤Diciamo che f è strettamente concava (convessa) se nella (*) = x erichiediamo che valga la disuguaglianza stretta per ogni x 1 2< α <per ogni 0 1OsservazioneIl concetto di funzione concava e convessa è definito solo perfunzioni il cui dominio sia un intervalloLe diverse tipologie Esempio |x|Sia f (x) = lnDomanda: f è concava?Risposta:Funzioni concave e convesse derivabiliOsservazione −f1. f è concava se e solo se è convessa2. Ogni funzione strettamente concava è concava ma non è vero Teoremail contrario (analogamente per le funzioni convesse) Sia f una funzione derivabile sull’intervallo I . Allora le seguentiaffermazioni sono equivalenti:3. Esistono funzioni che non sono né concave né convesse. Per 1. f è concava (convessa) in I ;esempio è decrescente (crescente) in I ;2. f ∈ I ,3. Per ogni x, x 0 −≤ ) + f (x ) (x x ) (*)f (x) f (x 0 0 0≥)(Si osservi che f è concava, f è concava e che il

dominio[1,2] [2,3]∪è l’intervallo [1, 3] = [1, 2] [2, 3]4. f è sia concava che convessa se e solo se f (x) = mx + q In simboli: ≤ ⇔f (x) 0 f concavaOsservazione ≥ ⇔f (x) 0 f convessaGeometricamente, la condizione (*) del teorema precedentesignifica che il grafico di una funzione concava (convessa) sta tutto < ⇒f (x) 0 f strett. concavasotto (sopra) la retta tangente il grafico stesso in ogni suo punto, o > ⇒al più coincide con essa f (x) 0 f strett. convessaOsservazioneLe ultime due implicazioni non si possono invertire. Per esempio,4 2è strett. convessa ma f (x) = 12x non èla funzione f (x) = x (0) = 0positiva poiché fFunzioni concave e convesse derivabili due volte massimi (minimi) di funzioni concave (convesse)ProposizioneTeorema Sia f una funzione concava (convessa) nell’intervallo I . Allora:Una funzione f derivabile due volte sull’intervallo I è 1. Ogni punto di massimo (minimo) relativo è un punto di1.

concava (convessa) se e solo se massimo (minimo) assoluto;

≤ ≥, ∀x ∈(x) 0 f (x) 0 If 2.

Ogni punto stazionario (cioè un punto in cui si annulla laderivata prima) è un punto di massimo (minimo) assoluto;

2. strettamente concava (convessa) se 3.

L’insieme dei punti di massimo è un intervallo; < >, ∀x ∈(x) 0 f (x) 0 If 4.

Se f è strettamente concava (convessa) allora ammette al piùun punto di massimo (minimo) assoluto.

Una condizione sufficiente di ottimo ProposizioneOsservazione → RSia f : D e x un punto di flesso per f . Se f è derivabile due0Il punto 2. del teorema precedente afferma che in presenza di alloravolte in x 0funzioni concave o convesse la condizione necessaria di ottimo (x ) = 0f 0(x) = 0) diventa ancheespressa dal teorema di Fermat (cioè fsufficiente. Questo si può comprendere ricordando la Osservazionecaratterizzazione (*) della concavità che impiega la retta tangente. ∈ La condizione f (x ) = 0

è solo necessaria ma non sufficiente per) = 0 allora, per ogni x I ,Infatti, se f (x 00 4 è taleavere un punto di flesso. Per esempio, la funzione f (x) = x ≤ ) + f (x ) (x x ) = f (x )f (x) f (x (0) = 0, ma x = 0 non è un punto di flesso per fche f0 0 0 0 0≥Punti di flessoDefinizione→ RSia f : D e x un punto interno di D in cui f è derivabile,0 ±∞.(x ) = Diciamo che x è un punto di flesso per f seoppure f 0 0in cui f è concava (convessa) e unesiste un intorno destro di x 0in cui f è convessa (concava)intorno sinistro di x 0 Definizione⊂ R → R. → RSia D e f : D Una funzione F : D si diceprimitiva di f in D se F è derivabile in D e (x) = f (x)FPrimitive ∈per ogni x D.Esempio1. Una primitiva di f (x) = 3 è F (x) =2. Una primitiva di f (x) = sin x è F (x) =4x è F (x) =3. Una primitiva di f (x) = eUna conseguenza del teorema di Lagrange è il seguenteTeorema “Invertiremo” il processo di derivazione

Se F e G sono due primitive di f nell'intervallo I, allora esiste una funzione F che è una primitiva di f, tale che F(x) = G(x) + k, per ogni x in I, dove k è una costante.

Per esempio, la funzione cos x è la derivata di sin x e quindi la funzione sin x è una primitiva di cos x. Diciamo "una primitiva" perché anche sin x + 3, sin x + 5 e, in generale, sin x + k (dove k è una costante) sono primitive di cos x.

La determinazione delle primitive, contrariamente al calcolo della derivata, è un processo più complesso se non addirittura impossibile in molti casi. Se I è un intervallo e f: I ammette una primitiva F in I, allora ne ammette infinite e tutte sono date dalla formula F(x) + k, dove k è una costante.

Integrale indefinito: Calcolo delle primitive

Definizione

La famiglia (o l'insieme) di tutte le primitive di una funzione data f si chiama integrale indefinito di f e si indica con il simbolo f(x) dx. Una prima tabella delle primitive si ottiene "leggendo al contrario" la tabella delle derivate.

Diremo "leggere al contrario" perché se la derivata di una funzione è f'(x), allora la primitiva di f'(x) sarà f(x) + C, dove C è una costante arbitraria.