Valori assoluti
Definizione: Se x ∈ ℜ, poniamo
|x| = {
- x se x ≥ 0
- -x se x < 0
Ossia |x| = max(x, -x)
Se x ≥ 0 allora -x ≤ 0 ⇒ -x ≤ x = max(x, -x) = x ⇒ |x| = x
Se x < 0 allora -x > x = max(x, -x) = -x ⇒ |x| = -x
Funzione segno
Definizione: Se x ∈ ℜ, poniamo
SEGNO(x) = {
- 1 se x > 0
- 0 se x = 0
- -1 se x < 0
Ossia, se x ∈ ℜ allora |x| = x ⋅ SEGNO(x)
Se x > 0 allora |x| = x, SEGNO(x) = 1 ⇒ x ⋅ SEGNO(x) = x
Se x = 0 allora |x| = 0, SEGNO(x) = 0 ⇒ x ⋅ SEGNO(x) = 0
Se x < 0 allora |x| = -x, SEGNO(x) = -1 ⇒ x ⋅ SEGNO(x) = -x
Disuguaglianza triangolare
Oss: |x| ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a
Dim: max(x, x) ≤ a ⇒ -x ≤ a, x ≤ a ⇒ -a ≤ x ≤ a
Proprietà
- |x| ≥ 0 ∀x, |x| = 0 ⇒ x = 0
- |c⋅x| = |c| |x| ∀x, c ∈ ℜ
- |x + y| ≤ |x| + |y| ∀x, y ∈ ℜ
Esempi
Se |x - 1| ≤ 3 ("x dista da 1 meno di 3")
-3 ≤ x - 1 ≤ 3 ⇒ -2 ≤ x ≤ 4
Se |x - ℓ| ≤ a ("x dista da ℓ meno di a")
Massimo
Definizione: Se x, y ∈ ℜ, allora
Se x ≤ y ⇒ max(x, y) = y
Definizione: x1, x2, x3 ∈ ℜ
max(x1, x2, x3) = max(max(x1, x2), x3)
Numeri naturali
Definizione: A ⊆ ℜ, 0 ∈ A
- Se m ∈ A → m+1 ∈ A
Se "A" ha queste proprietà, si dice induttivo.
Disuguaglianza di Bernoulli
(1 + x)m ≥ 1 + mx ∀ x > -1 ∀ m ∈ ℕ
Oss: n=0 {(1 + x)m = 1
1 + mx = 1 } Vera
Se è vera per "m"
(1 + x)m ≥ 1 + mx
Proviamo che è vera per "m+1"
(1 + x)m+1 ≥ 1 + (m+1)x
Dim: (1 + x)m ≥ 1 + mx
(1 + x)m+1 ≥ (1 + x)(1 + mx)
≥ 1 + x + mx + mx2
≥ 1 + (m+1)x + mx2
(1 + x)m+1 ≥ 1 + (m+1)x
Verifica: 1 + (m+1)x + mx2 ≥ 1 + (m+1)x
mx2 ≥ 0 Vero
Successioni
Definizione: Sia ∀n ∈ ℕ, ∃ ed è unico an ∈ ℜ. Si dice che è definita la successione (an)n ∈ ℕ
Esempi
- (an)n ∈ ℕ è una successione
- an = 1/(n2 + 3) è una successione
- an = (-1)n n ∈ ℕ è una successione
Precisione
∀ ε > 0 ∃ mε ∈ ℕ
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