Analisi Matematica - Appunti

VALORI ASSOLUTI

DEF

SE \( x ∈ R \) PONIAMO

\[ |x| = \begin{cases} x & \text{se } x ≥ 0 \\ -x & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

OSS

\[ |x| = \max (x, -x) \]

• SE \( x ≥ 0 \)
  • \(-x ≤ 0\) => \(-x ≤ x\)
  • \( => \max (x, -x) = x \)
  • \( x ≥ 0 => |x| = x \)
• SE \( x < 0 \)
  • \(-x > 0\) => \(-x > x\)
  • \( => \max (x, -x) = -x \)
  • \( x < 0 => |x| = -x \)

DEF

SE \( x ∈ R \) PONIAMO

\[ \text{SEGNO}(x) = \begin{cases} 1 & \text{se } x > 0 \\ 0 & \text{se } x = 0 \\ -1 & \text{se } x < 0 \end{cases} \]

OSS

SE \( x ∈ R \) => \[ |x| = x \cdot \text{SEGNO}(x) \]

• SE \( x > 0 => |x| = x, \text{SEGNO}(x) = 1 \) => \( x \cdot \text{SEGNO}(x) = x \)
• SE \( x = 0 => |x| = 0, \text{SEGNO}(x) = 0 \) => \( x \cdot \text{SEGNO}(x) = 0 \)
• SE \( x < 0 => |x| = -x, \text{SEGNO}(x) = -1 \) => \( x \cdot \text{SEGNO}(x)= -x \)

Oss

|x| ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

Dim

max(x, -x) ≤ a ⇔ -x ≤ a, x ≤ a -a ≤ x, x ≤ a ⇔ -a ≤ x ≤ a

Oss

1. |x| ≥ 0   ∇   ∀ x, |x| = 0 ⇔ x = 0
2. |c ⋅ x| = |c| ⋅ |x|   ∀ x, c ∈ R
3. |x + y| ≤ |x| + |y|   ∀ x, y ∈ R

Disuguaglianza Triangolare

Oss

|x| = max(x, -x) ≥ 0 Se |x| = 0 ⇔ 0 ≤ x ≤ 0 ⇔ x = 0

Es

|x - 1| ≤ 3     (x "dista da 1" meno di 3)

-3 ≤ x - 1 ≤ 3   ∇   -2 ≤ x ≤ 4

Es

|x - l| ≤ a     (x "dista da l" meno di "a")

Successioni

Def

Se ∀n ∈ ℕ, ∃ ed è unico a_n ∈ ℝ

si dice che è definita la successione (a_n)_n∈ℕ

Esempi

(a_n)_n∈ℕ è una successione

d_n = ⁷/_n^4.3 È una successione

d_n = (-7)^m n∈ℕ è una successione

DEF

_{n an} - l ⇒ ∀ ε>0 ∃_n ∈ N. ∀ _n≥_{n |an} - l|<Ɛ

_{n ^{ε > 0}∀} ∃_n ∈ N |a_n| ∈ ∀a_n

DEF

(a_n)_n∈N LIMITATO ED ∃M∈R⇔(a_n)_n∈N ≤ ∃M _∀n ∊ N

* CI SONO SUCCESSIONI LIMITATE CHE NON HANNO LIMITE (a_n)_n∈N LIMITATO (

PROP

SE (a_n)_n∈N È UNA SUCCESSIONE REALE ED ∃ lim a_n = l∈R⇔(a_n)_n∈N ÈLIMITATO _{n⟶ +∞}

ESEMPIO

_{an - l ⇒ ∀}ε>0 ∃_n∈ G_N. ∀_n ≥_{ε n|an - l}|<ε

SE ε = 35

| a_n | ≤ |a_n - l + l | ≤ |a - l | + |l| _{≤ 35 + |l |}

USIAMO DISUGUAGLIANZA TRIANGOLARE

È IL NOSTRO

VALORE DI M

(-1)^m

m → +∞

DIM

∀ε > 0

∃mε ∈ ℕ . ∀m ≥ mε

|a_m - l| < ε

ε = ^l/₄

SCELTO ARBITARIAMENTE

POTREI SCEGLIERE UN NUMERO A CASO

NON POSSO SCEGLIERE "ε" E TROPPO GRANDE

∃m ∈ ℕ . ∀m ≥ mε

-ε < a_m - l < ε

l - ε < a_m < l + ε

0 < ³/₄l

l - ε < a_m < l + ε

TEOREMA

SIANO (a_n)_n∈ℕ (b_n)_n∈ℕ SUCCESSIONI REALI

SE ∃ lim a_n = a ∈ ℝn→+∞

SE ∃ lim b_n = b ∈ ℝn→+∞

ALLORA ∃ lim (a_n + b_n) = a + bn→+∞

ALLORA ∃ lim (a_n . b_n) = a . bn→+∞

SE b ≠ 0 ∃ lim (a_n / b_n) = a / bn→+∞

DIM

IP ∀ε>0 ∃η ∈ ℕ ∀ ∀n≥η_ε |a_n - a| ≤ ε ∀m≥η_ε |b_n - b| ≤ ε

|a_n + b_n - (a + b)| = |a_n - a + b_n - b| ≤ |a_n - a| + |b_n - b| ≤ ε + ε ≤ 2ε

∀ε>0 ∃η_ε ∈ ℕ ∀n≥η_ε |(a_n + b_n) - (a + b)| ≤ 2ε

∃ lim (a_n + b_n) = a + bn→+∞

Successioni Monotone

Ogni successione monotona ha limite

Def

Sia (a_n)_n∞ una successione reale

• (a_n)_n∞ si dice monotona crescente se a_n ≤ a_n+1 ∀n ∞ ℕ
• (a_n)_n∞ si dice monotona decrescente se a_n ≥ a_n+1 ∀n ∞ ℕ
• (a_n)_n∞ si dice monotona strettamente crescente se a_n < a_n+1 ∀n ∞ ℕ
• (a_n)_n∞ si dice monotona strettamente decrescente se a_n > a_n+1 ∀n ∞ ℕ

La definizione non è

Sia (a_n)_n∞ successione reale (a_n)_n∞ si dice monotona crescente se a_n ≤ a_n+1

Esempi

• a_n = n
• a_n = n ≤ m + 1 = a_n+1 ∀n ∞ ℕ
• a_n = n³
• a_{n = (n+1)³ = ≥ an∀n ∞ ℕ}

Sono monotone crescenti

• a_n = 1
• a_n + 1 / n
• 1 + 1 / n + 1 = ≤ 1 = a_n ∀n ∞ ℕ

Sono monotone decrescenti

• (-1)ⁿ
• -a non è monotona, non ha limite
• (-1)ⁿ
• -b non è monotona, ha limite "zero"

ESEMPI

{ x : a < x < b } = ]a , b[

{ x : a < x ≤ b } = ]a , b]

{ x : a ≤ x < b } = [a , b[

{ x : a ≤ x ≤ b } = [a , b]

* ∞ NON È UN NUMERO, NON VI HA COMPASSO NELLE PARENTESI

{ x : x < b } = ]-∞ , b[

{ x : x ≤ b } = ]-∞ , b]

{ x : x > a } = ]a , +∞ [

{ x : x ≥ a } = [a , +∞ [

OSS

SE A ≠ ∅

• SE ∃ min (A) ⇒ INF (A) = min (A)
• SE ∃ max (A) ⇒ SUP (A) = max (A)

ES

{¹/_n : n > 1} = A

0 = INF (A)

1 = max (A)

FUNZIONI

DEF

A ⊂ R

A ≠ ∅

Se  ∀x ∈ A sia definito un unico valore R(x) ∈ R.

Sia definita su A con valori reali una funzione ƒ

ƒ : A → R

A si chiama dominio

ƒ indica la funzione

∀x fissato, R(x) ∈ R é il valore assunto da ƒ in "x"

ES

ƒ₁: R → R

ƒ₂: R → R

ƒ₃: R → R

R(x)= x   ∀x ∈ R

R(x)= y   ∀y ∈ R

R(y)= e^y   ∀y ∈ R

Tutti i valori assunti sono reali

{(x, y) : x ∈ A, y= R(x) }  ⊆ R²

Si chiama grafico della funzione e un insieme, non una funzione

é un sottogruppo di R²:

R × R = R²

indica il piano cartesiano

f(x) = x   ∀x ∈ R