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Teoria degli insiemi
Definizione di insieme: una collezione di oggetti
Rappresentazione
- Simbolica: lettere maiuscole alfabeto
- Enumerativa: {1, 2, 3} - elenchiamo oggetti che ne fanno parte
- Generativa: x ∈ R | x > 1 - si indica la legge
- Grafico geometrico: x ∈ A - indicato diagramma di Venn
A, B, C - simbolo di appartenenza
Operazioni con gli insiemi
Uguaglianza
A = B ↔ ∀ x (x ∈ A ↔ x ∈ B) ← quando formati da stessi oggetti
A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A ↔ x ∈ A → x ∈ B. Condizione: 1 dentro l'altro
A = {1, 2, 3, 4} , B = {1, 2, 3, 4} - sono 2 insiemi uguali
Proprietà
- A = A - riflessiva
- A = B → B = A - simmetrica
- A = B ∧ B = C → A = C - transitiva
- A ⊆ A (A contenuto coincidente con A)
- A ⊆ B A contenuto coincidente con B (x ∈ A → x ∈ B)
Unione tra 2 insiemi ∪
L'unione tra 2 insiemi dati, A e B, forma un 3° insieme che chiameremo C
C = A ∪ B | x (x ∈ A ∪ x ∈ B)
Proprietà
- A ∪ B = B ∪ A - commutativa
- (A ∪ B) ∪ D = A ∪ (B ∪ D) - associativa
Intersezione tra 2 insiemi ∩
C = A ∩ B | x (x ∈ A ∧ x ∈ B)
- A, B = ∅
- A ∩ B = ∅ - insieme privo di oggetti
Proprietà
- A ∩ B ⊆ A - commutativa
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) - associativa
A ∪ ø = A
A ∩ ø = ø
A ∪ A = A
A ∩ A = A
Distributività di unione rispetto intersezione
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Distributività di intersezione rispetto unione
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
a ∩ (b ∪ c) = ab ∪ ac
Complementazione
A ∪ A' = α
(tutti gli elementi di A)
A ∩ A' = ø
(A ∩ B)' = A' ∪ B'
(A ∪ B)' = A' ∩ B'
Sottrazione
A \ B (x | x ∈ A ∧ x ∉ B)
Prodotto
A = {1, 2, 3}
B = {1, 2}
A x B = {(1,2), (2,2), (1,2), (1,2), (3,2), (3,2)}
Prodotto cartesiano tra 2 insiemi: totalità delle coppie di numeri con il primo elemento e al primo insieme e il secondo elemento appartiene al secondo insieme
A x B = {(x,y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
- (1,1)
- (1,2)
- (1,3)
B
A x B
A x ø = ø
Piano cartesiano R x R = R² totalità delle coppie (x, y)
A x ø = ø
Proprietà (Prodotto)
m ∙ n = n ∙ m Commutativa
(m ∙ n) ∙ r = m ∙ (n ∙ r) Associativa
(m + n) ∙ r = m ∙ r + n ∙ r Distribuitività prodotto rispetto alla somma
m ∙ 0 = 0 Se e solo se m = 0
Ordine
m n quando esiste r sopra a n che pone n + r successivo di m
Proprietà
m n e n r => m r Transitiva
m n = m ∙ k; n k = m; => m n ∙ k Tricotomia
m n è monotonia e all'incontrario cancellazione
se m - n => n = m => n
m = 0 => m ∙ 0 = 0Legge di annullamento
Differenza
n - r = m dati 2 numeri qualunque, differenza tra i 2 è un terzo numero r = m - n sempre positivo m n
Rapporto
n : r = m il rapporto r di n è un numero tale che r • k = m ricalcolato per denominatore fa da numeratore (con r ≠ 0)
m ; 0 = 0 ; n ≠ m ha significato di impossibilità
m ; 0 = 0 ; n ≠ 0 m = 0 è indeterminata dal punto di vista algebrico ma ha significato
m ∙ n = r => n = r/m
m n = rm rm
m0 = rm
mr m = mrm
[mn + (rm>] = (mn(r = [ mn, mr = mn0 IPO EQ LRLS0 yv 3
3|. ≠x -1
9(x) x 410 1| k 10
x ≠10
x 2 10 xR
x-1 x≠ 10
x 2 4x 3
3-2x CE.
k33≠2x
0
k+3≠24x+3 f_RE
x ≠ x 4 Vx | 3
3-2(x 3)
(3-2x |
(3different [3-2xNO
Δ差分：)4 (4-4;-4:10-1-4 x 3)-4-3
(X 3/x 24)
3兩一x3 -3X :6
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