Teoria degli Insiemi
Definizione di insieme: una collezione di oggetti
Rappresentazione:
- Simbolica lettere maiuscole alfabeto
- Elencativa 1, 2, i generano oggetti che ne fanno parte
- {x ↔ x ∈ R | x > 1} si indica la legge
- Graficor Geometrico diagramma di Venn
∈ è simbolo di appartenenza ∉
Operazioni con gli insiemi
Uguaglianza
A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A (quando formati da stessi oggetti)
x ∈ A ↔ x ∈ B ∧ x ∈ B ↔ x ∈ A (se condizione 1 dentro l’altra)A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3} sono 2 insiemi uguali
Proprietà
A = A riflessiva
A = B ↔ B = A simmetrica
A = B ∧ B = C ↔ A = C transitiva
A ⊆ B
A è contenuto coincidente con BA ⊂ B
A è contenuto in Bx ∈ A ⇒ x ∈ B∃ B ¬&Is; AUnione tra 2 insiemi ∪
L'unione tra 2 insiemi dati A e B darà un 3° insieme che chiameremo C
C = A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
U:(A ∪ B) → C
Proprietà
A ∪ B = B ∪ A commutativa
(A ∪ B) ∪ ∅ = A ∪ (B ∪ ∅) associativa
Intersezione tra 2 insiemi ∩
C = A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A, B = ∅ A ∩ B = ∅ insieme privo di oggetti
Proprietà
A ∩ ∅ = ∅ ∩ A commutativa
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) associativa
Teoria degli insiemi
Definizione di insieme
Una collezione di oggetti
Rappresentazione
- Simbolica, lettere maiuscole alfabetico
- Estensiva {1, 2, ...} elencano oggetti che ne fanno parte
- {x ∈ R | x > 1} si indica la legge
- Grafico, geometrica, diagrammi di Venn
- ∈ simbolo di appartenenza
Operazioni con gli insiemi
Uguaglianza
A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A
Quando formati da stessi oggetti
x ∈ A ⇔ x ∈ B ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A se di condizione 1 dentro l'altro
A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 3} sono 2 insiemi uguali
Proprietà
- A = A riflessiva
- A = B ⇔ B = A simmetrica
- A = B ∧ B = C ⇔ A = C transitiva
A ⊂ B A contenuto coincidente con B
A ⊂ B A contenuto in B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B ∃ B, B ⊈ A
Unione fra 2 insiemi ∪
L'unione fra 2 insiemi dati A e B forma un 3° insieme che chiameremo C
C = A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}
◻ : (A ∪ B) = C
Proprietà
- A ∪ B = B ∪ A commutativa
- (A ∪ B) ∪ D = A ∪ (B ∪ D) associativa
Intersezione fra 2 insiemi ∩
C = A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}
A, B = ∅ A ∩ B = ∅ insieme privo di oggetti
Proprietà
- A ∩ B = B ∩ A commutativa
- (A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) associativa
A ∪ ∅ = A ∩ ∅ = Ø ⊂ A
A ∪ B = A → B ⊆ A
Distributiva di unione risp. intersezione A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
Distributiva di intersezione risp. unione A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
Complementazione
A’ = {x | x ∉ A} Generalmente di (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’
Sottrazione
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}
Prodotto
A = {1, 2, 3} B = {2, 3}
A × B = {(1, 2), (2, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 2)}
Prodotto cartesiano tra 2 insiemi: totalità delle coppie di numeri dove il primo elemento è al primo insieme e il secondo elemento appartiene al secondo insieme
A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}
Piano cartesiano Y ⊤ R × R, R2 totalità delle coppie (x, y)
A × Ø = Ø
Concetto di funzione
La funzione è una legge (modo che relaziona un elemento di X a uno di Y) permette di associare in ogni di X a uno di Y
Dominio: dove la funzione può agire D f D ⊆ X
Codominio o immagine: Im ⊆ Y
x ∈ Df ⟹ Imf
x ∈ Df y ∈ Imf | { x | x → y }
y = 2x la funzione legge è la moltiplicazione per 2
y = log x x > 0
y = | x | x ∈ X x > 0
Accetteremo | che da una x può passare a due y ma non che da una y si ricavino due x
- Funzione iniettiva perviene da una sola x | ∀ x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) ( | <=
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