Teoria degli insiemi
Definizione di insieme
Una collezione di oggetti.
Rappresentazione
Simbolica: lettere maiuscole alfabeto.
Elencativa: 1, 2, i generano oggetti che ne fanno parte.
{x ↔ x ∈ R | x > 1} si indica la legge.
Grafico o geometrico: diagramma di Venn.
∈ è simbolo di appartenenza ∉.
Operazioni con gli insiemi
Uguaglianza
A = B ↔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A (quando formati da stessi oggetti).
x ∈ A ↔ x ∈ B ∧ x ∈ B ↔ x ∈ A (se condizione 1 dentro l’altra).
A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3} sono 2 insiemi uguali.
Proprietà
A = A riflessiva.
A = B ↔ B = A simmetrica.
A = B ∧ B = C ↔ A = C transitiva.
A ⊆ B A è contenuto coincidente con B.
A ⊂ B A è contenuto in B.
x ∈ A ⇒ x ∈ B.
∃ B ¬&Is; A.
Unione tra 2 insiemi ∪
L’unione tra 2 insiemi dati A e B darà un 3° insieme che chiameremo C.
C = A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
U: (A ∪ B) → C.
Proprietà
A ∪ B = B ∪ A commutativa.
(A ∪ B) ∪ ∅ = A ∪ (B ∪ ∅) associativa.
Intersezione tra 2 insiemi ∩
C = A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A, B = ∅ A ∩ B = ∅ insieme privo di oggetti.
Proprietà
A ∩ ∅ = ∅ ∩ A commutativa.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) associativa.
Teoria degli insiemi
Definizione di insieme
Una collezione di oggetti.
Rappresentazione
Simbolica, lettere maiuscole alfabetico.
Estensiva {1, 2, ...} elencano oggetti che ne fanno parte.
{x ∈ R | x > 1} si indica la legge.
Grafico, geometrica, diagrammi di Venn.
∈ simbolo di appartenenza.
Operazioni con gli insiemi
Uguaglianza
A = B ⇔ A ⊆ B ∧ B ⊆ A.
Quando formati da stessi oggetti.
x ∈ A ⇔ x ∈ B ∧ x ∈ B ⇔ x ∈ A se di condizione 1 dentro l'altro.
A = {1, 2, 3} B = {1, 2, 3, 3} sono 2 insiemi uguali.
Proprietà
A = A riflessiva.
A = B ⇔ B = A simmetrica.
A = B ∧ B = C ⇔ A = C transitiva.
A ⊂ B A contenuto coincidente con B.
A ⊂ B A contenuto in B ⇔ x ∈ A ⇒ x ∈ B ∃ B, B ⊈ A.
Unione fra 2 insiemi ∪
L’unione fra 2 insiemi dati A e B forma un 3° insieme che chiameremo C.
C = A ∪ B = {x | x ∈ A ∨ x ∈ B}.
◻ : (A ∪ B) = C.
Proprietà
A ∪ B = B ∪ A commutativa.
(A ∪ B) ∪ D = A ∪ (B ∪ D) associativa.
Intersezione fra 2 insiemi ∩
C = A ∩ B = {x | x ∈ A ∧ x ∈ B}.
A, B = ∅ A ∩ B = ∅ insieme privo di oggetti.
Proprietà
A ∩ B = B ∩ A commutativa.
(A ∩ B) ∩ C = A ∩ (B ∩ C) associativa.
A ∪ ∅ = A ∩ ∅ = Ø ⊂ A.
A ∪ B = A → B ⊆ A.
Distributiva di unione rispetto intersezione A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C).
Distributiva di intersezione rispetto unione A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).
Complementazione
A’ = {x | x ∉ A} Generalmente di (A ∪ B)’ = A’ ∩ B’ (A ∩ B)’ = A’ ∪ B’.
Sottrazione
A \ B = {x | x ∈ A ∧ x ∉ B}.
Prodotto
A = {1, 2, 3} B = {2, 3}.
A × B = {(1, 2), (2, 3), (2, 2), (3, 2), (3, 3), (3, 2)}.
Prodotto cartesiano tra 2 insiemi: totalità delle coppie di numeri dove il primo elemento è al primo insieme e il secondo elemento appartiene al secondo insieme.
A × B = {(x, y) | x ∈ A ∧ y ∈ B}.
Piano cartesiano Y ⊤ R × R, R2 totalità delle coppie (x, y).
A × Ø = Ø.
Concetto di funzione
La funzione è una legge (modo che relaziona un elemento di X a uno di Y) permette di associare in ogni di X a uno di Y.
Dominio: dove la funzione può agire D f D ⊆ X.
Codominio o immagine: Im ⊆ Y.
x ∈ Df ⟹ Imf.
x ∈ Df y ∈ Imf | { x | x → y }.
y = 2x la funzione legge è la moltiplicazione per 2.
y = log x x > 0.
y = | x | x ∈ X x > 0.
Accetteremo | che da una x può passare a due y ma non che da una y si ricavino due x.
Funzione iniettiva perviene da una sola x | ∀ x1 ≠ x2 f(x1) ≠ f(x2) ( | <=
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