Analisi matematica

Calcolo dei limiti

R

→ → ∈

Siano , , .

a l b m l, m

n n

Valgono le seguenti regole di calcolo:

± → ±

a b l m

n n

⋅ → ⋅

a b l m

n n

a → + = 0, =

0

l ( )

b n m



n

b m

n → > 0, > 0

b m ( )

a l a l

n n

n ±∞

Casi in cui o siano :

l m

+ ∞ → +∞

l − ∞ → −∞

l

+∞ + ∞ → +∞

−∞ − ∞ → −∞

+∞ − ∞ → forma indeterminata

⋅ ±∞ → ±∞

l l → 0

±∞

→ ±∞ =

0

l ( )

l

0

Successione esponenziale n

=

a a

n

⎧ +∞ se > 1

a

⎨

n

lim = 0 se ∣a∣ < 1

⎩

a

n→+∞ ∄ lim se ≤ 1

a

Calcolo dei limiti 1

> 1 = ⇒ = 1 + > 0

n

Con , con .

a a a a h h

n n

= (1 + ≥ 1 +

a h) nh

n

diseguaglianza di Bernoulli

= 1 + → +∞ → +∞

n

Poichè , allora, per il teorema del confronto, .

b nh a

n

Forme indeterminate R

→ ∈ ∖ {0} → 0

l

Richiamando il caso , siano ,

a l b

n n

0

N a a

∃m ∈ ∀n ≥ > 0⇒ → +∞

1. Se t.c. m n n

b b

n n

N a a

∃m ∈ ∀n ≥ < 0⇒ → −∞

2. Se t.c. m n n

b b

n n

Calcolo dei limiti 2

Regola generale

Siano: p 2

∙ = = + + + ... + (a = 0)

j p

∑ 

a a n a a n a n a n

0 1 2

n j p p

j=0

q 2

∙ = = + + + ... + (b = 0)

j q

∑ 

b b n b b n b n b n

0 1 2

n j q q

j=0

Allora: ⎧±∞ se >

p q

⎨

a

n a

lim = se =

⎩ p p q

b

b q

n→+∞ n 0 se <

p q

Calcolo dei limiti 3

→ 0 ⋅ = 0

Se e è limitata,

a b a b

n n n n

Calcolo dei limiti 4

a denominatore ed esponente

n 1 n

(1 + ) = e

n

Dimostrazione wip 2 2

n

(1 + ) = e

n

Gerarchia degli infiniti

n

1. n

2. n! , > 1

n

3. a a

, > 1

k

4. n k

Calcolo dei limiti 5

Calcolo delle derivate

Definizione di differenziale

✒ Definizione R R R

2 2

(x , ) ∈ : →

Sia ,

y f

0 0 (x , )

Diciamo che è differenziabile in se:

f y

0 0

+ + = , ) + ∂ , ) ⋅ + ∂ , ) ⋅

f(x h, y k) f(x y f(x y h f(x y k

0 0 0 0 0 0 0 0

x y

2 2

+o( + )

h k

∣(h,k)∣

Dunque:

[f(x, − , ) + ∂ , )(x − ) + ∂ , )(y − )

y) f(x y f(x y x f(x y y

0 0 0 0 0 0 0 0

x y

+o( (x − ) + (y − ) )]

2 2

x y

0 0

✒ Definizione

La funzione lineare:

, ) : (h, ↦ ∂ , ) ⋅ + ∂ , ) ⋅

df(x y k) f(x y h f(x y k

0 0 0 0 0 0

x y

∇f (x ,y )⋅(h,k)

0 0

(x , )

si chiama differenziale di in

f y

0 0

Calcolo delle derivate 1

Osservazione (x , )

Se è differenziabile in allora il piano tangente al grafico di

f y f

0 0

(x , , , ))

nel punto è dato da:

y f(x y

0 0 0 0

= , ) + ∂ , )(x − ) + ∂ , )(y − )

z f(x y f(x y x f(x y y

0 0 0 0 0 0 0 0

x y

Se non è differenziabile, non ammette un piano tangente.

f

Osservazione (x , ) (x , )

Se è differenziabile in allora è continua in

f y y

0 0 0 0

(dimostrazione diretta dalla definizione di differenziabilità).

Teorema R R

2

⊆ : →

Sia aperto,

A f A

1

∈ (A) ⇒

Se è differenziabile.

f C f

Derivata direzionale

R 2

(x , ) ∈ = (cos sin

Sia ,

y V θ, θ)

0 0 (x , )

La retta passante per e con direzione è data da:

y V

0 0

{ = + cos

x x t θ

0

= + sin

y y t θ

0

Calcolo delle derivate 2

✒ Definizione

R R R

2 2

: → (x , ) ∈ = (cos sin

Sia , ,

f y V θ, θ)

0 0 (x , )

Chiamiamo derivata direzionale di nel punto lungo la

f y

0 0

direzione :

V + cos + sin − , )

f(x t θ, y t θ) f(x y

0 0 0 0 R

lim ∈

t

t→0 ∂

e la denotiamo con o

f D f

V V

Osservazione

= (1, 0) ⇒ ∂ = ∂

Se V f(−) f(−)

V x

= (0, 1) ⇒ ∂ = ∂

Se V f(−) f(−)

V y

Osservazione

= + cos + sin

g(t) f(x t θ, y t θ)

0 0

′

⇒ ∂ , ) = (0)

f(x y g

0 0

V g(t)−g(0)

lim

perchè t→0 t

✏ Esempio 2 2

= cos(x + )

f(x, y) x y

= (cos sin = (0, 0)

V θ, θ) P

= + cos + sin

g(t) f(x t θ, y t θ)

0 0

= cos sin

f(t θ, t θ)

2

= cos ⋅ cos(t )

t θ

′ 2 2 2

(t) = cos ⋅ cos(t ) − 2t cos sin(t )

g θ θ

′ (0) = cos

g θ

Calcolo delle derivate 3

Teorema: formula del gradiente

R R

2

⊆ : → (x , ) ∈

Sia aperto, differenziabile in .

A f A y A

0 0

= (cos sin

Sia V θ, θ)

∂ , ) = ∇f(x , ) ⋅

Allora: f(x y y V

0 0 0 0

V

Dimostrazione

+ cos , + sin ) − , )

f(x t θ y t θ f(x y

0 0 0 0

h k

∂ (x ,y )⋅t cos (x ,y )⋅t sin

f θ+∂ f θ+o(t)

= →0

0 0 0 0

x y per t

t

∂ , ) = ∂ , ) cos + ∂ , ) sin

f(x y f(x y θ f(x y θ

0 0 0 0 0 0

V x y

= ∇f(x , ) ⋅ (cos sin

y θ, θ)

0 0 V

Osservazione (x , )

Supponiamo differenziabile in .

f y

0 0

∂ , ) = ∇f(x , ) ⋅

Poichè f(x y y V

0 0 0 0

V ∇f(x , )

si ha che la direzione di massima crescita è data da y

0 0

Osservazione

∇f(x , ) ∇f ⋅ = 0

è ortogonale alla linea di livello perchè

y V

0 0

Calcolo delle derivate 4

Collezioni

Insiemi maggiori

N = = {0, 1, 2, 3, 4, ...}

numeri naturali

Z = = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ...}

numeri interi

Q Z

= = {q = , ∈ ∧ = 0}

m

numeri razionali m, n n 

n

R Q Q

= = 2

numeri reali + valori che non copre (es. ) + numeri trascendenti

(es. )

π

Teorema 2

Q

∈ ⇒ = 2



q q

Dimostrazione 2 = 2

Supponiamo per assurdo che .

q

Z

m m

= , ∈ ∧ = 0

Per ipotesi e possiamo supporre che sia



q m, n n

n n

ridotta ai minimi termini.

{ 2 2

= 2

q m 2 2

⇒ = 2 ⟺ = 2n

m

2

= m n

q n Z

2

⇒ ⇒ ⇒ = 2p, ∈ ⇒ ⇒

è pari è pari è pari è pari ed

m m m p n m

2

hanno il fattore in comune.

n m

Assurdo perchè era ridotta ai minimi termini.

n

R

Assiomi di

R + ⋅

è un campo, cioè un insieme su cui sono definite due operazioni ( e ) che gode

delle seguenti proprietà:

Collezioni 1

Proprietà associativa

R

∀x, ∈

y, z

(x + + = + (y +

y) z x z)

(x ⋅ ⋅ = ⋅ (y ⋅

y) z x z)

Proprietà commutativa

R

∀x, ∈

y

+ = +

x y y x

⋅ = ⋅

x y y x

Proprietà distributiva

R,

∀x, ∈ ⋅ (y + = ⋅ + ⋅

y, z x z) x y x z

∃ elemento neutro

0 + = ∀x

x x

1 ⋅ = ∀x

x x

∃ opposto

R, R

∀x ∈ ∃y ∈ + = 0

t.c. x y

∃ reciproco o inverso

R, R

∀x ∈ = 0, ∃y ∈ ⋅ = 1

x t.c. x y



Assioma d'ordine R

È sempre possibile dire se un numero è maggiore o minore di un altro. è un

campo totalmente ordinato. R Q

Assioma di completezza che distingue da

Collezioni 2

∀a ∈ ∀b ∈ ≤

Siano e due sottoinsiemi separati (cioè si ha )

A B A, B a b

allora R

∃c ∈ ≤ ≤ ∀a ∈ ∈ .

t.c. a c b A, b B

In sostanza, tra due numeri reali esistono infiniti numeri reali.

Cardinalità

Contare gli elementi di un insieme significa stabilire una corrispondenza iniettiva con

N

un sottoinsieme di .

✏ Esempio = {∙, ∙, ∙}

A 3 elementi N

Se ha infiniti elementi e può essere messo in corrispondenza biunivoca con ,

A A

si dice numerabile.

✏ Esempio N

= {n ∈ ∣ n ˋ

e pari}

A

N

è equipotente a .

A

Q è numerabile.

R non è numerabile.

Proprietà di densità

Q R Q R

∖

e sono densi su . ⁍

Collezioni 3

Notazioni

R R

∗ = ∖ {0}

R R

= {x ∈ ∣ ≥ 0}

x

+

R R

∗ = {x ∈ ∣ > 0}

x

+

Max/min

✒ Definizione

R, ∅

⊆ =

Sia , un numero reale si dice massimo di se:

A A λ A

 ∈ ≥ ∀ ∈

λ A, λ x x A

✒ Definizione

R, ∅

⊆ =

Sia , un numero reale si dice minimo di se:

A A μ A

 ∈ ≤ ∀ ∈

μ A, λ x x A

✏ Esempio R

=

A +

∄

∃ min = 0, max

A A

✏ Esempio 1 N

={ ∣ ∈ ∖ {0}}

A n

n ∄

∃ max = 1, min

A A

1 1

<

infatti n+1 n

Collezioni 4

✏ Esempio ∗

R

=

A +

∄ ∄

min max

A, A

x x

∈ ∈ <

infatti se si ha che , e

x A A x

2 2

Inf/sup

✒ Definizione

R, ∅ R

⊆ = ∈

Sia , diciamo che è un maggiorante di se:

A A λ A

 ≥ ∀ ∈

λ x x A

✒ Definizione

R, ∅ R

⊆ = ∈

Sia , diciamo che è un minorante di se:

A A μ A

 ≤ ∀ ∈

μ x x A

✒ Definizione

Se ammette un maggiorante si dice superiormente limitato, se

A

ammette un minorante si dice inferiormente limitato. Se entrambi, si dice

è limitato.

A

Osservazione

finito ⇒ limitato, limitato = finito



Collezioni 5

Teorema R, ∅

⊆ =

Sia A A  ⇒

Sia sup. limitato l'insieme dei maggioranti ammette minimo.

A ⇒

Sia inf. limitato l'insieme dei minoranti ammette massimo.

A

Osservazione

Se un insieme ammette massimo o minimo, esso è unico.

✒ Definizione sup.A

Se è sup. limitato chiamo estremo superiore di ( ) il minimo

A A

inf.A

dell'insieme dei maggiorantu, e viceversa ( ).

sup.A = +∞ −∞

Se non è sup. limitato, poniamo e analogamente

A

se non è inf. limitato.

✏ Esempio R

= {x ∈ ∣ 0 ≤ < 3}

A x

inf.A = min = 0

A

∄

sup.A = 3, max A

R

Intervalli di R

(a, =]a, {x ∈ ∣ < <

b) b[= a x b}

R

[a, = {x ∈ ∣ ≤ ≤

b] a x b}

R

(a, = {x ∈ ∣ < ≤

b] a x b}

R

(a, +∞) = {x ∈ ∣ >

x a}

R

(−∞, = {x ∈ ∣ <

b) x b}

Collezioni 6

Questi insiemi sono intervalli, cioè soddisfano la proprietà:

✒ Definizione

R R

⊆ ∀c, ∈ ∀h ∈

Sia , diciamo che è un intervallo se

A A d A, t.c.

≤ ≤ ∈

, allora

c h d h A

✏ Esempio

(2, 3) (2, 3) ∪ (4, 5)

è un intervallo, non è un intervallo perchè non

appartengono i valori tra 3 e 4.

Punto interno di un intervallo

✒ Definizione R ∈

Sia intervallo di , diciamo che è un punto interno di quando

I c I c I

∈ ∖ {inf sup

ma non è estremo, cioè

c c I I, I}

= (a, = [a, ∖ {a,

I b) b] b} ˚

L'insieme dei punti interni si definisce .

I

Tipi di intervalli

Limitato se sono presenti maggiorante e minorante.

✏ Esempio

(a, (a, +∞)

è limitato, non è limitato perchè non ha maggiorante.

b) ˚

=

Aperto se I I

Collezioni 7

✏ Esempi

(a, b)

(a, +∞)

R ∖ {−∞, +∞}

Chiuso

✏ Esempio

[a, b]

Simmetria

✒ Definizione

R

⊆ ∈ ⇒ −x ∈

è simmetrico rispetto all'origine se

A x A A

✏ Esempio

(−a, a)

Periodicità

✒ Definizione

R R

∗

⊆ ⊆ ∀x ∈

Sia , sia , diciamo che è -periodico se

T A A T

+

Z

∀x ∈ ⇒ + ∈

A, x kT A

Collezioni 8

Derivate parziali

Definizione di derivata parziale

✒ Definizione R 2

(x , ) ∈ (x , )

Sia , sia definita in un intorno di . Diciamo che

y f y f

0 0 0 0

(x , )

è derivabbile rispetto a nel punto se:

x y

0 0

+ ) − , )

f(x h, y f(x y

0 0 0 0 R

∃ lim ∈

h

h→0 ∂f

∂ , )

In tal caso lo indichiamo con o .

f(x y

0 0

x ∂x

∂ , )

Analogamente, equivale a:

f(x y

0 0

y , + − , )

f(x y h) f(x y

0 0 0 0 R

∃ lim ∈

h

h→0

Gradiente ∇f(x , ) = (∂ , ), ∂ , ))

y f(x y f(x y

0 0 0 0 0 0

x y

Il gradiente di è un vettore con componenti le derivate parziali in e .

f x y

Derivate parziali 1

✏ Esempio 2 2

= 6xy − 7x

f(x, y) 2

∂ = 6y − 14x

f(x, y)

x

∂ = 12xy

f(x, y)

y 2

∇f(x, = (6y − 14x, 12xy)

y)

= sin(x +

f(x, y) x y)

∂ = sin(x + + cos(x +

f(x, y) y) x y)

x

∂ = cos(x +

f(x, y) x y)

y

∇f(x, = (sin(x + + cos(x + cos(x +

y) y) x y), x y))

Osservazione (x , )

Se ammette derivate parziali in non è detto che sia continua

f y f

0 0

(x , )

in y

0 0

✏ Esempio {

0 se = 0

xy

=

f(x, y) 1 se = 0

xy 

∂ = = 0

f d f

x y (0, 0)

ma non è continua in

f

Piano tangente = = )

1. Seziono il grafico di con il piano e individuo la curva

f y y z f(x, y

0 0

= = ,

2. Seziono il grafico di con il piano e individuo la curva

f x x z f(x y)

0 0

Derivate parziali 2

= (x , )

Se è derivabile (ammette le derivate parziali) nel punto :

f P y

0 0

La retta tangente alla curva 1 è:

{ = , ) + ∂ , )(x − )

z f(x y f(x y x

0 0 0 0 0

x

=

y y

0

La retta tangente alla curva 2 è:

{ = , ) + ∂ , )(y − )

z f(x y f(x y y

0 0 0 0 0

y

=

x x

0 = , ) + ∂ , )(x − ) + ∂ , )(y − )

Il piano z f(x y f(x y x f(x y y

0 0 0 0 0 0 0 0

x y

contiene entrambe le rette.

Differenziabilità

Differenziabilità 1

Derivate seconde

2

R R

: →

Sia f

∂ ∂

Se e sono derivabili, allora diciamo che è derivabile due volte.

f f f

x y 2

Se le derivate seconde di sono continue, diciamo che è di classe .

f f C

2

∂ f

∂ oppure = ∂x(∂

f f)

xx x

2

∂x

2

Derivate parziali 3

2

∂ f

∂ oppure = ∂y(∂

f f)

yy y

∂y 2

✏ Esempio 2

= xy

f(x, y) x ye 2 2

∂ = 2xy + = (2 +

xy xy

f(x, y) x y e xye xy)

x 2 3 2

∂ = + = (1 +

xy xy xy

f(x, y) x e x ye x e xy)

y 2 2

∂ = (2 + + (2 + +

xy xy xy

f(x, y) ye xy) xy e xy) xy e

xx

Matrice Hessiana

∂ ∂

( )

f(x, y) f(x, y)

xx xy

(x, = = (∂ ∂

H y) f(x, y), f(x, y))

f x y

∂ ∂

f(x, y) f(x, y)

yx yy

Teorema di Schwarz

R)

2 2

∈ (R , ⇒ ∂ = ∂

Sia f C f(x, y) f(x, y)

xy yx

Calcolo delle derivate

Calcolo delle derivate 1

Forme quadratiche

Forme quadratiche 1

Derivate parziali 4

Differenziabilità

Definizione di differenziale

✒ Definizione R R R

2 2

(x , ) ∈ : →

Sia ,

y f

0 0 (x , )

Diciamo che è differenziabile in se:

f y

0 0

+ + = , ) + ∂ , ) ⋅ + ∂ , ) ⋅

f(x h, y k) f(x y f(x y h f(x y k

0 0 0 0 0 0 0 0

x y

2 2

+o( + )

h k

∣(h,k)∣

Dunque:

[f(x, − , ) + ∂ , )(x − ) + ∂ , )(y − )

y) f(x y f(x y x f(x y y

0 0 0 0 0 0 0 0

x y

+o( (x − ) + (y − ) )]

2 2

x y

0 0

✒ Definizione

La funzione lineare:

, ) : (h, ↦ ∂ , ) ⋅ + ∂ , ) ⋅

df(x y k) f(x y h f(x y k

0 0 0 0 0 0

x y

∇f (x ,y )⋅(h,k)

0 0

(x , )

si chiama differenziale di in

f y

0 0

Differenziabilità 1

Osservazione (x , )

Se è differenziabile in allora