Analisi Matematica 3 - Appunti del corso

Il calcolo e le proprietà degli insiemi numerabili

Il concetto di insieme numerabile è fondamentale nel calcolo. Un esempio di insieme numerabile è l'insieme dei numeri interi. Questo insieme ha la proprietà di essere numerabile, cioè è possibile associare ad ogni elemento un numero naturale.

Un'altra proprietà importante è quella dell'additività. Se prendiamo due insiemi numerabili e li uniamo, otteniamo un insieme numerabile. Questo è vero anche per l'intersezione di due insiemi numerabili.

Un problema che può sorgere è la misura degli insiemi numerabili. Non è possibile assegnare una misura ad un insieme numerabile, in quanto la misura è invariante per deformazioni, rotazioni e traslazioni esterne.

Un'altra proprietà interessante è quella della distanza. Se consideriamo due punti in uno spazio, la distanza tra di essi è definita come la lunghezza del segmento che li congiunge. Questa proprietà è necessaria per definire il concetto di limite.

Infine, dimostriamo che l'Unione di insiemi numerabili è ancora numerabile. Questo è vero anche per l'intersezione di insiemi numerabili.

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