Programma
- Numeri complessi
- Polinomi
- Sistemi lineari
- Spazi vettoriali
- Applicazioni lineari
30/09/2020
Introduzione
Consideriamo la successione
0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13
f0 f1 f2 fn
Sia fn l'n-esimo termine (n ≥ 0)
Dobbiamo trovare una formula per fn
Osservazione
fn+2 = fn+1 + fn
Idea: Cerchiamo una soluzione della forma fn = λn
λn+2 = λn+1 + λn = λn (λ2 - λ - 1) = 0
→ C'è una condizione necessaria λ2 - λ - 1 = 0
Δ = 1 + 4 = 5
λ1,2 = 1±√5/2
An = ( 1+√5/2)n e Bn = ( 1-√5/2)n soddisfano
Cerchiamo fn = aAn + bBn dove a, b sono numeri fissati
faute di una combinazione lineare
[fn+2 = aAn+2 + bBn+2 = (aAn+1 + bBn+1) + (aAn + bBn)]
a(An+2 - An+1 - An) + b(Bn+2 - Bn+1 - Bn) = 0
- f0 = 0
- f1 = 1
aA0 + bB0 = 0
aA1 + bB1 = 1
a + b = 0
a( 1+√5/2) + b( 1-√5/2) = 1
a = -b
a = 1/√5
b = -1/√5
fn = 1/√5( ( 1+√5/2)n - ( 1-√5/2)n )
Programma
- Numeri complessi
- Polinomi
- Sistemi lineari
- Spazi vettoriali
- Applicazioni lineari
Introduzione
Consideriamo la successione
0 1 1 2 3 5 8 13
f0 f1 f2 fn
Sia fn l'n-esimo termine (n≥0)
Dobbiamo trovare una formula per fn
Osservazione
fn+2 = fn+1 + fn
Idea: Cerchiamo una soluzione della forma fn = λn
λ2 - λ - 1 = (λ - λ1)(λ-1)=0
Δ = 1 + 4 = 5
λ1, λ2 = -:1; :±: √:5 / 2
An = (1 + √5 / 2)n e Bn = (1 - √5 / 2)n soddisfano
Cerchiamo fn = aAn + bBn dove a,b sono numeri fissati
fn+2 = pn+1 + fn = (aAn+2 + bBn+2) - (aAn+1 + bBn+1).(aAn + bBn) = a(An+2 - An+1 + An) + b(Bn+2 - Bn+1 + Bn) = 0
{f0: = 0 aA0 + bB0:0 a+b:0 a=-b
{f1:1 aA1 + bB1:1 a√5 / 2) + b:(1 - √5 / 2):1
a = 1/√5 b = -1/√5
fn = 1/√5(1 + √5/2)n - 1/√5(1 - √5/2)n
Numeri Complessi
x trovare le radici dei polinomi
ℝ insieme dei numeri reali
ℝ2 : (x;y), x,y ∈ ℝ
definizione di forma cartesiana
Non tutti i polinomi hanno soluzioni reali
∃ x2+1 ≥ 0
Sia "i" la soluzione "immaginaria" di x2+1 = 0, i2 = -1
Un numero complesso z = x+iy dove x,y ∈ ℝ
ℂ = { z = x+iy, x,y ∈ ℝ } insieme dei numeri complessi
x = parte reale e y = parte immaginaria
(predilige le coordinate cartesiane )
Somma : z1 + z2 = (a1+b1)
z2 * w = xy + (y1+b)
Dal punto di vista cartesiano è nulla somma di vettori
(predilige le coordinate polari)
Prodotto:
distributivo usando i2 = -1
z = x + ia
Valgono tutte le proprietà algebriche (assiomi di campo) che
valgono su ℝ
Ad esempio: la proprietà distributiva
Dimostrazione
(esercizio)
Sia x il numero complesso
forma polare
cosx sinx sono le coordinate cartesiane di P0
P0 = (cosθ; sinθ)
tanθ = sinθ/cosθ
∀α,β ∈ ℝ:
sin(α+β) = sinα cosβ + sinβ cosα
cos(α+β) = cosα cosβ - sinα sinβ
eiθ = cosθ + i sinθ = P0
TEOREMA ∀α,β ∈ ℝ ei(α+β) = eiα eiβ
cm
deiα ediβ
eiα eiβ = (cosα + i sinα) (cosβ + i sinβ)
= (cosα cosβ - sinα sinβ) +
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