Analisi matematica - parte 3

PROGRAMMA

• Numeri Complessi
• Polinomi
• Sistemi Lineari
• Spazi Vettoriali
• Applicazioni Lineari

Introduzione

Consideriamo la successione

0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13

f₀ f₁ f₂ f_n

Sia f_n l'n-esimo termine (n≥0)

Dobbiamo trovare una formula per f_n

Osservazione

f_n+2 = f_n+1 + f_n

Idea: Cerchiamo una soluzione della forma f_n = λⁿ

λⁿ⁺² = λⁿ⁺¹ + λⁿ - λⁿ(λ² - λ - 1) = 0

-> C'è unica condizione necessaria λ² - λ - 1 = 0

Δ = 1 + 4 = 5

λ₁, λ₂ = ^{1 ± √5}/₂

A_n = (^{1 + √5}/₂)ⁿ e B_n = (^{1 - √5}/₂)ⁿ soddisfano

Cerchiamo f_n = aA_n + bB_n dove a,b sono numeri fissati

fn+2 = p_n+1 - fn = (aA_n+2 + bB_n+2) - (aA_n+1 + bB_n+1) - (aA_n + bB_n)

= a (A_n+2 - A_n+1 - A_n) + b (B_n+2 - B_n+1 - B_n) = 0

aA₀ + bB₀ = 0 ⇔ a+b = 0 ⇔ a = -b

aA₁ + bB₁ = 1 ⇔ a^{1 + √5}/₂ + b^{1 - √5}/₂ = 1

a = ¹/_√5 b = -¹/_√5

f_n = (^{1 + √5}/₂)ⁿ - (^{1 - √5}/₂)ⁿ

NUMERI COMPLESSI

x trovare le radici dei polinomi

ℝ insieme dei numeri reali

ℝ² = { (x,y) , x,y ∈ ℝ }

definire il piano cartesiano

Non tutti i polinomi hanno soluzioni reali

Sia "i" la soluzione "immaginaria" di x² + 1 = 0 → i² = -1

Un numero complesso z = x + iy dove x,y ∈ ℝ

ℂ = { x + iy , x,y ∈ ℝ } insieme dei numeri complessi

forma cartesiana di z

x = parte reale e y = parte immaginaria

(Predilige le coordinate cartesiane)

SOMMA : z + iw w = a + ib

z + iw = x + iy (y + ib)

Dal punto di vista cartesiano è nulla somma di vettori

(Predilige le coordinate polari)

PRODOTTO : distributiva usando i² = -1

z * iw → z * w = (x + iy) (a + ib) = xa + iyo + ix b + i²yb = xa - yb + (ya + xb)

Valgono tutte le proprietà algebriche (assiomi di campo) che valgono su ℝ

Ad esempio la proprietà distributiva

DIMOSTRAZIONE (esercizio)

Mettere in forma cartesiana

(2 + i)³ = 3 + 4i

(-1)⁹ = (√2/2 e^i1/4π)⁸ = 2√2 e^i1/2π = 2(-i -1)

doppio e^-i3/4π = cos(-3/4π) + i sin(-3/4π)

24 i ^i1/4 = - 3 - i i1 + i i1 + i1 ² = 3 i³ = 4i ⁴ = lei³ = 12 - i² (2 - i)² = ^{(3 + 4i)2 +7 - 24i} = 2/24_25 5² 25

^2πi + 3/8 = ^{3 cos 2π + 3i sin 2π} + 3 + i(3√ ₂) ₂

e^5πi/4 -2 ... + i + ^{√12 +1/2}

^{√ i3 8π . 1} - e^{-i9/10π √e 4}

-4e_3π/10i/3/20 -4e^i9/10 = 4.1^{√3i . 2}

Mettere in forma polare

-1 - i√2/4 e^-in/4

√6 - 3i = 2√6 . i√1/3i - i √12 e^i1/3

- √3 - 3i = ^{√12 ei1/3} =i² ^{√6 . e} = ^(-8/4) e^π

- (1 + i) (2 - 2) - 2 (1 + i) (1 + i) = 4 _{se otteniamo 2 + 2 e l'angolo scompare}

Esercizio

2^x - 2x + 4 = 0

cambiando variabile t = 2^x

t² - t + 4 = (t-1)³ = 0

t₁, t₂ = -1 ± √3 , 2 = 3√(-2/e)^4/3π

t_1;2 = ±1, ±√2e^±i7/3π

t_2;3;4 = √2, ±√2e^±i1/3π

Bionomio di Newton

notazione a₁, a₂, …, a_n ∈ ℂ

• ∑_k=1ⁿ a_k = a₁ + a₂ + … + a_n
• ∏_k=1ⁿ a_k = a₁ , a₂ , … , a_n

definizione 0! = 1 , n! = ∏_k=1ⁿ k = 1·2·3 ·…· n

n_k = n!

k!(n-k)!

coefficiente binomiale = numero di sottoinsiemi di k elementi estratti da un insieme di n elementi

• Q5: \( \binom{4}{3} = \frac{2·3}{2·3} 4 = 4 \)

Vogliamo una struttura per organizzare i coefficienti binomiali → TRIANGOLO DI TARTAGLIA

• n=0
• 1
• n=1
• 1 1
• n=2
• 1 2 1
• n=3
• 1 3 3 1
• n=4
• 1 4 6 4 1

es.

(7+5i)x²x +12 ∈ ℂ \ ℂ [x] vale se due sono reali allora c'è necessità di considerare ℝ

es.

(x+1)(x+2) = x³±2x²×x+1

Somma

P(x) = _k=0^m a_kx^k+Q(x) = _k=0∑ⁿ b_kx^k

P(x)+Q(x) = _k=0^Max(m,n) (a_k+b_k)x^k → quindi Gr (P+Q) Max {Gr (P), Gr (Q)}, dove "=" se e solo se

[Gr (P) = Gr (Q) = n|an| = |bn|]

Prodotto

es.

(x³+x²)(x₁+1)(x² x₁) = = x⁵ (l+1)x⁴ + (l+1) x³ + (l+1)x² + (l+1)x +1

→ tutti gli uno sono somme di prodotti!

P . Q(x) = _k=0^n+m (_h+j=k∑lb a_ib_j ) x^k → questa somma contiene |k+1| termini

a_ixⁱb_jx^j = a_ijx⁴

→ quindi Gr (PQ) = Gr (P) + Gr (Q)

es.

∑_ij=2 a_ib_j = a_ob2 + a_o6 + o26o

Teorema

Riformulazione

α radice di P ⇔ (x-α) divide P(x)

Significato di esiste Q(x): P(x) = (x-α)Q(x)

Dim: grazie alla divisione euclidea

∃ ! (Q,R) : P(x) = Q(x)(x-α) + R(x)

dove Gr _R < Gr _(x-α) d = 1 ⇒ R = cost

f ⇔ R = cost = P(α)

P(α) = Q(α)(α-α) + R

Riassunto

16/01/2020

Teorema

∀A, B ∈ K[x], B ≠ 0

∃ ! Q, R ∈ K[x] : { A = QB + R Gr R < Gr B

(*) ∀P ∈ K[x] ∀α ∈ K

∃Q ∈ K[x] : P(x) = Q(x)(x-α) + P(α)

Teorema

x-α|P(x) ⇔ P(α)= 0

B divide P

Conclusione

Se Gr P = n ⇒ max n radici distinte

Dim per assurdo

Se P(α_i) = 0 per i= 1,2 f... H α_n+1

⇒ x-α₁|P(x)

x-α_n+1|P(x)

⇒ (x-α₁)(x-α_n+1) | P(x)

Gr = n+1

Gr = n

Assurdo

Usiamo il sistema

(x⁴ + 4x) (x⁴ + ax + b)

grado 0: 4 - 4b = b - 1

grado 4: ...

grado n: ...

(x - 2) (x - 1)₁ radia₂ m(2) = 2

m(i) = 1 m(-i) = 1

C[x] e R[x]

TEOREMA FONDAMENTALE DELL'ALGEBRA

∀ p(x) ∈ C[x] ∃ z ∈ C: P(z) = 0

Corollario: p ∈ C[x] Gr(p) = n

∃ d₁, ..., d_r ∈ C P(x) = (x - d₁)^m₁ ... (x - d_r)^mᵣ

∃ m₁, ..., m_r ∈ N

Osservazione m₁ + ... + m_r = n

ESEMPIO

x⁴ - 4x³ + 5x³ - 4x + 4 = (x - 2)³(x - i)(x + 1)

Sia Q: ogni polinomio ha n radici, contate con molteplicità

dici portando di induzione su grado

n = 1 Gr p = n ⇒ P(x) = ax + b = x b/a

∃ di b/a

n = n

Teo ⇒ ∃ d < C

P(x) = Q(x)(x - d)

Q ∈ C[x]

...

Gr Q = n - 1 grado p = (x - d)

P(x) = (x - d₁)^m₁ ... (x - d_r)^mᵣ