Analisi Matematica 3 Teoria

Serie di potenze

R^m in: ∑a_m (x - x₀)^m

(a ∉ F): a_m = a_n (z - z₀)^m

∑_m=0^∞ (x - x₀)³ a_m + a₂ (x - x₀)² + ....

Serie di potenze centrata in x₀

Teorema convergenza puntuale

Sia ∑ a_m x^m una serie di potenza centrata nell'origine (x₀ = z₀)

L := max_m √|a_m|

R := 1 / L | ∞; L = 0; 0 < L < ∞; L = ∞

Dim

è sufficiente farla per 0 < L < ∞

Sia L|x| R, quindi |x| ⋅ L < R: L = 1

Sia ε > 0: |x| (L + ε) < 1

∀j: m_j → √|a_mj|L + ε C →

∑ |a_nj| |x|^m

∑_j |a_m| |x|^m ≤ C + ∑_V+1 ((L + ε)|x|)^m →^∞

|x| ≤ R → |x| ≤ L; St. Sia ε > 0: |x| (L - ε) ≤ 1

∀ε ∃J ∀0 → indici m_j: ∛|a_mj| ≥ L - ε → |a_mj| |x|

|x|>1 : L ≤ ε |x| (L - ε) > |x|^m_j → ∞

→ ∑ a_m x^m non può convergere

TEOREMA CONVERGENZA TOTALE

Sia ∑ a_nxⁿ una serie di potenze con R > 0

Sia 0 < ε ∈ R → la serie converge totalmente in [ -R + ε, R - ε]

Dim| f_m(x) | = ∑ a_mx^m| f_m(x) | = max_{x ∈ [-R+ε, R-ε]} | f_m(x) | ≤ | a_m | . (R- ε)^m

∑ | a_m | (R- ε)^m ↔ ∞ ◻

SERIE DI FOURIER

C^∞( ]-π, π[ ) V_n: SPAN { 1, sin(πx), ..., sin(nx), cos(πx), ... cos(nx) } ⊂ R ( ] -π, π[ )

b_m V_n 2nπ

(f, g) := ∫_-π^π f(x) g(x) dx

( 1, sin(jx) ) => ∫_-π^πsin(jx) dx = -[ 1/j cos(jx) ]_-π^π = 0 ∀ 1 ≤ j ≤ n

( 1, cos(jx) ) => ∫_-π^π cos(jx) dx = [ 1/j sin(jx) ]_-π^π = 0

( 1, 1 ) := 1 → 2π

( sin(hx), cos(jx) ) => ∫_-π^π sin(hx) cos(jx) dx

=: 1/2 ∫_-π^π [ sin((h+j)x) - sin((h-j)x) ] dx = 0

( sin(hx), sin(jx) ) => ∫_-π^π sin(hx) sin(jx) dx = 1/2 [ cos((h+j)x) + cos((h-j)x) ] dx = :

=≪ 0 se j ≠ hπ se j = h∀ 1 ≤ j, h ≤ n

( cos(hx), cos(jx) ) => ∫_-π^π cos(hx) cos(jx) dx = 1/2[ cos((h+j)x) + cos((h-j)x) ] dx = :

=≪ 0 se j ≡ hπ se j = h

TEOREMA DI ABEL

∑₀^∞ C_n xⁿ = f(x)   ∀ x ∈ (-1, 1)

C_n = 1   →   lim_x↓1 f(x) = 1

DIMOSTRAZIONE

S_m(x) = ∑₀^m C_k x^k

C_n = S_n - S_n-1   ∀ n ≥ 1

QUINDI

S_m(x) = ∑_k=0^m C_k x^k = S₀ + ∑₁^m (S_k - S_k-1) x^k = S₀ + ∑₁^m S_k x^k - x ∑₁^m S_k-1 x^k-1

= S₀ + S₀ x + ∑₁^m-1 S_k x^k - x ∑₁^m-1 S_k x^k = S_m x + (1-x) ∑₁^m-1 S_k x^k

∑_m=-∞ x^m + (1-x) ∑₁^n-1 S_k x^k

ρ(1,x) = ∑₀^∞ S_k x^k , h_m = ∑_m S_k . S_t-k ∑₀⁰ S x^m

ρ(x) : S_t (1-x) ∑₀^∞ (S_m - S_x x)

SIA ε > 0   ∀ n : n > v → |S_n - S| < ε

ρ(x) - S| < (1-x) ∑₀^∞ |(S_n - S)| xⁿ + (1-x) S_ν+1 |(S₀ - S)| x^ν+1

1 x ∑_ν+1^∞ (1-x) |∑(S_t - S_x) x

ε(x) ε(t, x) ∑_ν¹ ∑_k≥ν(S_ν)|<ε/2

∑_&!; S₀: ∑₀^∞ C_k x^k - (1 - x) (ν+1) ∑₀ x ε

∀ ε ∑_\0 : (S₀) ∑ x^∞ ∑(u+1) 2 M |2 ε

→ |ρ(x) - S| < ε

IMPLICA LA CONVERGENZA UNIFORME

|S_n (x) - f(x)|

| = (1-x) ∑₀^m S_k x^k + S_n x = z₀

|v:v :v | v : v = v: ∩

alert >< f(x) : f(x)

Teorema di Beppo Levi

(X, Σ, μ), f_n ≥ 0 f_n misurabile f_n non negativa e crescente

(X, Σ, μ) (f_n misurabile) ⇒ ∫_X f_n ≤ ∫₀∞ ψ dμ

∀ ε ∈ ]a, b[

f_n mis. su X → [0, ∞) × N f_n ≥ 0

sup (ρ(x))

∀ x ∈ X

∫_X φ(x) dμ

dimostrazione

ψ misurabile (perché lim f_n misurabile)

∫_X φ(x) dμ ≥ ∫_X lim f_n (x) dμ

→ ∫_X f(x) dμ = lim ∫_X f_n (x) dμ

per mostrare che ∫_X φ(x) dμ = limⁿ ∫_X ψ(x) dμ

basta mostrare che ψ ≤ φ, semplice φ ∈ f, ∀ α > 1

φ ∫_X φ(x) dμ ≤ lim ∫_X f_n (x) dμ

∀ α ∈ I:

ψ(x) = ∑^∞ α E_{i, α} ; E_{i, α} = { x ∈ X | α < ψ(x) ≤ f_n(x) = lim f_{i, n}(x)} con E_{i, α}, C⊆ E_{i, n}, ∀ α ∈ N

• μ uniform → E_i,n ; E_i (senza ε la disuguaglianza ψ(i) ≤ f_n(x) diventa assurda)

infatti, α ψ(x) > φ(x) (x) φ(x) (φ)

lim f_n(x) = φ(x) ∀ x, t

∀ ν, v

∫_D ψ(ν) → ∃ ν E x ∈ E_{i, n} ∀ ν > v

∫_D ψ(ν) dμ _∫i μ(E^x E^{i, n})

∀ α ≥ λ; m (E_{i, n})

∫_Dx ∫_X; μ(E_i) dμα → ∫_X φ(x) dμ

1. lim ∫_X (b_α(x) dμ ≤ ∫_X (ψ(x)) dμ ≤ ∀ a, α ≥ 1 ψ semplice, φ ∈ f

facendo tendere α → 1 e per l'arbitrarietà di φ semplice si ottiene la tesi

Teorema: Successione di insiemi misurabili

Sia _{E R} una successione di insiemi misurabili.

Siano _{E R} ∅ * h f ∈ E ^U E _R

Allora E è misurabile e inoltre m_N(E) = ∑_R=1 m_N(E_R)

Dimostrazione

Sia E _{∨ N ; 1 J K R} E _{R A R}

Compatto _{mN(KR) > mω(ER) - ϵ/2^h}

Aperto _{mN(AR) < mω(ER) + ϵ/2h}

Prenendo _AR¹⩚AR=1

• ∑^∞_R=1 m_N(E_R) < ϵ
• K = ⋃_R=1k_R m_N(E) = m_ω(K) ≥ ∑_R=1 m_N(K_R)
• = ∑ _∞ m_ω(E_R) - ∑ ^ϵ ∑ ^∞ m_ω(E_R) - 2ϵ

m_N (E) < m_N(A) < ∑_∞^-∑m_N(A) < ∑^∞₁ m_ω(E_R) + ϵ

• Mostriamo che se P ∈⩚ A^R=1 allora m_N(P) < ∑^∞₁ m_N (A_R)→
• ∃h₀ : P ∈⩚ A_R

Quindi m_{N (P)¹ ≤ ∑ ^∞ 1 mN (AR1) □}