Analisi Matematica 2 - Teoria

Analisi II

Integrali impropri:

Prendiamo 2 insiemi:

I: (a; +∞) I: (a; b]

Consideriamo ora il primo caso cioè dove abbiamo funzioni definite in un intervallo non limitato.

Il valore dell'integrale (quando esiste finito o infinito) si definisce come

∫_a^+∞ f(x) dx = lim_b→+∞ ∫_a^b f(x) dx

Se tale limite risulta finito diciamo che l'integrale è CONVERGENTE

Se tale limite risulta +∞ o -∞ diciamo che è DIVERGENTE

Se il limite non esiste l'integrale improprio sarà INDETERMINATO

Esempio:

∫₀^+∞ 1/(1+x²) dx = lim_b→+∞ ∫₀^b 1/(1+x²) dx = lim_b→+∞ arctg b = π/2

Criterio del confronto

Siano f, g: [a, +∞] ➝ ℝ due funzioni localmente integrabili e tali che

0 ≤ f(x) ≤ g(x) ∀x ≥ a

Avremo quindi che:

∫_a^+∞ f(x) dx ≤ ∫_a^+∞ g(x) dx

Vediamo quindi che se converge l'integrale della funzione maggiore g allora converge anche l'integrale della funzione minore f (vale lo stesso per la divergenza).

Esempio

f(x) = ^sen2x/_x² ha integrale improprio tra [1, +∞]

La funzione infatti è positiva e si ha

Poiché ∫₁^+∞ 1/x² dx è convergente anche l'integrale della funzione data è convergente.

Esempio

Studiare il carattere del seguente integrale

∫₁^+∞ 1/(√x + cos x) dx

Vediamo che la funzione integranda è sicuramente positiva in [1, +∞) per cui possiamo applicare il confronto. Vediamo che per valori alti la funzione si approssima a 1/√x e che quindi il suo integrale sarà divergente.

Possiamo minore la funzione integranda con una funzione il cui integrale sia divergente.

1/2√x ≤ 1/(√x + cos x) (∀√x ≥ 1)

Di conseguenza l'integrale assegnato è divergente.

Esempio:

^lim_{n → ∞} 1/n = 0

Dato ε > 0, dovremo determinare N ∈ ℕ se n > N si debba ε < 1/n < ε Ovviamente ¹/_n < ¹/_n = 0.

Esempio: Verificare che ^{n - 1}/_{n + 1}

Fissiamo sempre ε > 0 Si prova che n > N ⟹ │^{n - 1}/_{n + 1}│ < ε delle definizione precedente. Tale disequazione è ^negativa/_negativa

Una successione diverge a ±∞ se ∀ M ∈ ℝ, ∃ m indice N (che dipende da M) tale che per n > N si ha a_n > M a_n < M

Esercizio:

Verificare che ^{3n + 1}/_{n + 2} ⟶ 3 usando la definizione di limite

│^{3n + 1}/_{n + 2} - 3│ < ε⟷ │^-5/_{n + 2}│ < ε (ε < │^-5/_{n + 2}│ < ε)

vero per ogni n > ⁵/_ε - 2

Teorema di collegamento: Sia f: X ⊆ ℝ → ℝ e sia α ε ℝ^* un punto di accumulazione per X.

Allora lim f(x) = l se e solo se per ogni successione ({a_n}_n∈ℕ) di elementi a_n ε X

a_n → α

si ha che lim f(a_n) = l.

Esempio:

lim arctg x = π/2

x → +∞

Nel caso in cui a_n → +∞ allora lim arctg a_n = π/2

a_n → +∞

Esempio:

lim e^x = +∞ questo si verifica con lo svolgimento

x → +∞ x² dell'Hôpital ^{3 volte}.

Grazie a questo posso dire che lim eⁿ = +∞

       n → +∞ n²

                       questo limite è dimostrabile solo

                        mediante l' altro potere NON si può

                                 svolgere l' Hôpital se compare "n".

Tramite questi teoremi si dimostra che il senx per x → +∞ non esiste

a_n = π/2 + 2nπ

̄a_n = 3π/2 + 2nπ

lim sen a_n = 1

n → +∞

lim sen ̄a_n = -1

n → +∞

- Stabilire il carattere di una serie a termini positivi: Metodo del confronto asintotico

Sia Σ_n=0^∞ a_n una serie a termini positivi. Supponiamo che:

     ∃ λ > 0 / lim_n→∞ ^a_n/_1/ = λ ∈ ℝ⁺

Allora:

• se 0 < α < 1 la serie Σa_n ha lo stesso carattere della serie Σ1/n^α cioè converge se e solo se α > 1, e diverge se 0 < α ≤ 1
• se λ ≠ 0 e α > 1, la serie converge
• se λ = +∞ e 0 < α ≤ 1, la serie diverge

Esercizio: Studiare il carattere delle seguenti serie

• Σ_n=1^∞ arctg ¹/_{(n ln²)}

     lim_n→∞ arctg ¹/_n * n^α = lim_n→∞ ¹/_{n ln²(1+o(1/n))} * nⁿ = ...

     = lim_n→∞ n² ∑_a=2n_x = 1

Poiché la serie Σ1/n² converge, anche la serie data converge, e o = 0 < λ < +∞ α > 1

Σ_n=1^∞ 1/sin ¹/_n²

     lim_n→∞ ¹/_lnⁿ * n² * [ln ¹/_n - sin ¹/_n]

     ^{h 1}/_n^h [¹/_n (n²) n]

     _h[¹/_n²]

Poiché la serie Σ1/n diverge, e -∞< λ < +∞, α = 1, anche la serie data diverge.

Esempio:

∑_n=2 ^∞ n log ( 1 + ^|x|n / _n(n-1) )

Si vede che per x ∈ [-1, 1[ il lim n log ( 1 + ^|x|n / _n(n-1) ) = 0 e quindi la serie converge

per x ∈ ]-1, 1[ il lim n log ( 1 - ^|x|n / _n(n-1) ) = ∞ e quindi la serie diverge

Teorema: Dato ∑_n=0 ^∞ f_n(x) con f_n : X → ℝ continua ∀n e supponendo che la serie converge totalmente in A ⊂ X, allora denotando f la somma della serie, si ha:

• f funzione continua in A
• per ogni [a, b] ⊂ A si ha che ∫_a^b f(x) dx = ∫_a^b ( ∑_n=0 ^∞ f_n(x) ) dx = ∑_n=0 ^∞ ∫_a^b f_n(x) dx
• se {g_n} converge totalmente in A allora ∫_a^b f(x) dx = ∑_n=0 ^∞ g_n(x)

Serie di potenze:

Una serie ∑_n=0 ^∞ a_n (x-x₀)ⁿ dove x₀ centro della serie ∈ ℝ si dice serie di potenze a_n ∈ ℝ

• Una serie di potenze converge per x = x₀

Teorema: Supponiamo che ∑_n=0 ^∞ a_n (x-x₀)ⁿ convegga in x ≠ x₀. Allora la serie converge assolutamente in ogni 1/|x-x₀| < |x ₋ x₀| inoltre converge totalmente in ogni intervallo del tipo [x₀-r, x₀+r] con 0 < r < |x ₋ x₀|