Teoria analisi 2

Teorema Lavoisier sulle dimensioni: dove dim(V) è

d

im (V ) = d

im (Im (f )) + d

im (Ker (f ))

A A

la dimensione del dominio. Le colonne della matrice associata ad una trasformazione lineare

sono i coefficienti delle immagini dei vettori di base. Questo è specifico e quindi dipende

dalla scelta della base. Una trasformazione lineare è univocamente determinata dalle

immagini dei suoi vettori di base.

Teorema Rouché-Capelli

Sia un sistema lineare non omogeneo e sia A’ la matrice completa del sistema,

A · s = b

allora il sistema ammette soluzioni se e solo se e tale soluzione se

r ank (A) = r ank (A ) = n

′

esiste è unica.

​

Il cambiamento di base è una trasformazione lineare che permette di effettuare il

passaggio da una base di uno spazio vettoriale a un’altra base dello stesso spazio vettoriale

e si può fare se e se .

r ank (A) = d

im (V ) k er (A) = 0 -1 -1 -1​

​

Una matrice A è invertibile se esiste una matrice A​ tale che: AA​ = A​ A = I e se l’inversa

esiste, è unica.

​

Il determinante è il fattore di moltiplicazione dei volumi sotto la trasformazione, corrisponde

a una funzione multilineare data dalla somma dei prodotti degli elementi di una linea

​ ​

qualsiasi per i complementi algebrici o cofattori di una matrice quadrata. A è invertibile se

, e . Proprietà:

d

im (Im) = n d

im (ker) = 0 d

et =

/ 0

1. Si annulla se due righe sono uguali

2. è omogeneo e lineare in ogni riga: d

et (λ A) = λ det (A)

3. è addittivo e lineare in ogni riga: d

et (A + A ) = d

et (A) + d

et (A )

′ ′

4. L’unica funzione che soddisfa le tre proprietà è la funzione nulla e per escludere

questo caso il determinante della matrice identica deve essere uguale 1.

Se le righe delle matrici sono linearmente dipendenti o se gli elementi di una linea di una

matrice quadrata sono nulli allora det = 0. Inoltre se la matrice è diagonale, il det è uguale al

prodotto degli elementi sulla diagonale principale. Se si scambiano tra loro due righe o

colonne il det cambia segno, mentre se gli elementi vengono moltiplicati per un coefficiente

allora il det sarà moltiplicato per k. Può essere ricavato dalla Regola di Sarrus per matrici

2X2 o 3X3 e dallo sviluppo di Laplace.

Regola di Sarrus

Teorema Laplace In una matrice quadrata la somma dei prodotti degli

elementi di una linea per i complementi algebrici di una

linea parallela vale 0.

Teorema Binet

Il prodotto di due matrici quadrate A e B dello stesso ordine è dato: d

et (AB) = d

et (A) · d

et (B)

​

v è un autovettore della trasformazione lineare f se

λ R (v) = λ

v v =

/ 0

, λ è autovalore

∃ ∈ 丨f