Teoria analisi 2

ANALISI 2 - 2018/19

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Il sistema lineare è formato da equazioni in n incognite che determinano l'ordine del

sistema, la cui soluzione è data da quei numeri che sostituiti alle incognite soddisfano tutte

le equazioni e quindi si dice compatibile cioè che ammette almeno una soluzione.

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La matrice è una tabella rettangolare formata da righe e colonne. Se il numero di righe e

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colonne è uguale allora si dice che la matrice è quadrata​ . Una matrice quadrata è diagonale

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se tutti gli elementi al di fuori della diagonale principale sono nulli mentre è detta triangolare

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superiore se gli elementi sotto la diagonale sono tutti nulli e triangolare inferiore se al di

sopra. Per ridurre una matrice in forma triangolare alta si possono scambiare le linee oppure

seguire delle semplici operazioni: . Il metodo più usato è l'​ eliminazione Gauss​ ,

lj = αlj + β

li

una procedura che trasforma tramite operazioni elementari un qualunque sistema lineare

quadrato in un sistema triangolare superiore equivalente cioè con uguali soluzioni,

L'obiettivo è quello di annullare tutti gli elementi al di sotto della diagonale principale senza

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modificare le soluzioni del sistema. La riduzione a scala è un algoritmo che tramite

adeguate operazioni elementari trasforma una matrice A in una matrice a scala S in modo

da trasformare qualunque sistema lineare non omogeneo in un sistema a scala equivalente.

Pivot​ : primo elemento non nullo in ogni riga di una matrice ridotta in scala, se sono tutti non

nulli allora il sistema è non singolare altrimenti si dice singolare.

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Lo spazio vettoriale è un insieme di vettori in cui sono definite le operazioni somma e

prodotto vettoriale e valgono le seguenti proprietà:

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1. Commutativa → v + v = v + v

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1 2 2 1

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2. Associativa → ( v + v ) + v = v + ( v + v )

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1 2 3 1 2 3

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3. Distributiva → α ( v + v ) = α v + α v

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1 2 1 2

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NB: ( 0+ v = v ), ( 0 * v = 0)

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1 1 1

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Il sottospazio vettoriale di uno spazio vettoriale, , è un insieme chiuso rispetto alla

W V

⊆

somma e al prodotto scalare, uno spazio vettoriale è sempre sottospazio di se stesso.

Sistema lineare omogeneo​ : A · s = 0

Sistema lineare non omogeneo​ : A · s = b con b =

/ 0

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La combinazione lineare è la somma di un certo insie