Analisi 2 teoria

Topologia in R

• DISTANZA

^R

d(x₁, x₂) = |x₁ - x₂|

^R2

Siano P₁(x₁, y₁) e P₂(x₂, y₂), la loro distanza è

d(P₁, P₂) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)²)

^R3

Siano Q₁(x₁, y₁, z₁) e Q₂(x₂, y₂, z₂), la loro distanza è

d(Q₁, Q₂) = √((x₂ - x₁)² + (y₂ - y₁)² + (z₂ - z₁)²)

^Rn

Siano x = (x₁, x₂, x₃, ..., x_n) ∈ Rⁿ e y = (y₁, y₂, y₃, ..., y_n) ∈ Rⁿ

d(x, y) = √(Σ_i=1ⁿ(x_i - y_i)²)

La distanza è un'applicazione Rⁿ × Rⁿ -> R⁺ ∪ {0} (ha come immagine un numero reale positivo o al più nullo)

GODE DELLE SEGUENTI PROPRIETÀ

• - d(x, y) ≥ 0
• - d(x, y) = 0 ↔ x = y (la distanza è nulla se e solo se i due punti coincidono)
• - d(x, y) = d(y, x) (la distanza da x a y è uguale alla distanza da y a x)
• - d_f(x, y) ≤ d(x, y) + d(z, y) disuguaglianza triangolare

INTORNO

Insieme dei punti che distano da un punto P₀ meno di un δ

INTERVALLO | x₀ - δ < x < x₀ + δ

P(x) generico punto d(P,P₀) < δ | x - x₀ | < δ

d(P,P₀) < δ

√((x - x₀)² + (y - y₀)²) < δ

CERCHIO DI CENTRO P₀ E DI RAGGIO δ PUNTO DELLA CIRCONFERENZA

SFERA DI CENTRO Q₀ E RAGGIO δ PUNTI DELLA SUA SUPERFICIE

PUNTO INTERNO

P₀ è interno all'insieme D se:

Esiste un intorno di P₀ di ampiezza δ incluso nell'insieme D, cioè l'intorno contiene tutti i punti dell'insieme

PUNTO ESTERNO

P₀ è esterno all'insieme D se è interno al complemento di D I_P0,δ C ⋅ C\D

esiste un intorno di P₀ di ampiezza δ incluso nel complemento dell'insieme

PUNTO DI FRONTIERA

P₀ è un punto di frontiera se

V_P0^δ In esso cadono punti di D e punti di C\D

ovveo qualunque intorno, in esso cadono punti dell'insieme D e del suo complementare

DERIVATE PARZIALI SECONDE

• Sia f(x,y) una funzione derivabile e siano definite in un dominio le due derivate parziali:

f_x(x,y)     f_y(x,y)

Tali funzioni possono a loro volta essere derivabili e si ottengono così le derivate seconde parziali di f(x,y):

f_x(x,y)   f_xx(x,y) f_xy(x,y)   f_xy(x,y) f_y(x,y)   f_yx(x,y) f_yy(x,y)

f_yx(x,y)

derivata prima rispetto a y

f_xx(x,y)   derivate seconde f_yy(x,y)   pure

f_xy

fx

derivate seconde miste

poi rispetto a x

Con n variabili si hanno n² derivate seconde parziali.

Spesso le derivate seconde sono disposte in una matrice quadrata, detta Hessiana, con il simbolo D²f:

D²f =   (    f_xx      f_xy f_yx      f_yy)

n variabili → n × n

Se esistono le quattro derivate di f nel punto (x,y), si dice che f è derivabile due volte in (x,y) se ciò accade ∀ (x,y) ∈ A f è derivabile due volte nell'insieme A.

TEOREMA DI SCHWARZ DELL'INVERTIBILITÀ DELL'ORDINE DI DERIVAZIONE

Sia f(x,y) definito in D e derivabile due volte ∀ (x,y) ∈ D.

Se le derivate seconde in (x_o,y_o) f_xy(x_o,y_o) e f_yx(x_o,y_o) sono continue in (x_o,y_o) allora risulta f_xy(x_o,y_o) = f_yx(x_o,y_o)

In generale se vale il teorema di Schwarz, la matrice Hessiana può essere scritto come:

H = D²f = (   f_xx   f_xy   f_yx   f_yy) =   (   f_xx   f_xy   f_yx   f_yy)

det H = f_xx   f_yy - (f_xy)² = f_xx   f_yy - (f_yx)²

SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DIFFERENZIALE E PIANO TANGENTE

1. Differenziale primo

È la parte lineare nella definizione di differenziale

f(x,y) definito in D

(x₀,y₀) ∈ D

f(x,y) differenziabile in (x₀,y₀) se

f(x₀+h,y₀+k) = f(x₀,y₀) + f_x(x₀,y₀)h + f_y(x₀,y₀)k + o(√(h²+k²))

PARTE LINEARE

d_f(x₀,y₀) = f_x(x₀,y₀)h + f_y(x₀,y₀)k

Piano tangente

Se f(x,y) è una funzione derivabile in (x₀,y₀), il piano tangente alla funzione (x₀,y₀,z₀) ha equazione:

z - z₀ = f_x(x₀,y₀)(x-x₀) + f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

Ŷ (direzione ortogonale al piano tangente) è unitario

Ŷ = (-f_x, -f_y, 1)_{/√(1+fx²+fy²)}

Poiché ∇f = (f_x, f_y)

∇f_ℝ² = f_x² + f_y² ⇒ Ŷ = (-f_x, -f_y, 1)_{/ √(1+fx²+fy²)}

Esempio

z = x² + y² (1,1)

z - z₀ = f_x(x₀,y₀)(x-x₀) + f_y(x₀,y₀)(y-y₀)

z₀ = f(1,1) = 1 + 1 = 2

z - 2 = 2(x-1) + 2(y-1)

f_x = 2x, x₁, y₁, = 2

f_y = 2y, x₁, y₁, = 2

SIGNIFICATO GEOMETRICO DEL DIFFERENZIALE PRIMO

PASSANDO DA P A P' f(x) si incrementa da f(x₀) a f(x₀+h)

Il differenziale primo di indica la variazione che subisce la retta tangente passando da P a P'

L’incremento f(x₀+h)-f(x₀) si approssima sempre più con dy per incrementi h → 0

f(x₀+h) - f(x₀) ≈ f'(x₀) x ₀ + o(|x|)

L’incremento f(x₀+h)−f(x₀) differisce dal valore f'(x₀)(x−x₀)