Topologia in R
- Distanza R1
d(x1,x2) = |x1-x2|
R2
Siano P1(x1,y1) e P2(x2,y2), la loro distanza è
d(P1,P2)=√((x2-x1)2+(y2-y1)2)
R3
Siano Q1(x1,y1,z1) e Q2(x2,y2,z2), la loro distanza è
d(Q1,Q2)=√((x2-x1)2+(y2-y1)2+(z2-z1)2)
Rn
Siano x=(x1,x2,x3,...,xn)∈Rn e y=(y1,y2,y3,...,yn)∈Rn
d(x,y)= √(Σi=1n(xi-yi)2)
La distanza è un'applicazione RnxRn→ R*∪{0}
[ha come immagine un numero reale positivo al più nullo]
Godie delle seguenti proprietà
- d(x,y) ≥ 0
- d(x,y) = 0 ⇔ x ≡ y (la distanza è nulla se e solo se i due punti coincidono)
- d(x,y) = d(y,x) (la distanza da x e y è uguale alla distanza da y e x)
- df(x,y) ≤ d(x,y) + d(z,y) disuguaglianza triangolare
Topologia in R
- Distanza R
d(x1, x2) = |x1 - x2|
R2
Siano P1(x1, y1) e P2(x2, y2), la loro distanza è
d(P1, P2) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2)
R3
Siano Q1(x1, y1, z1) e Q2(x2, y2, z2), la loro distanza è
d(Q1, Q2) = √((x2 - x1)2 + (y2 - y1)2 + (z2 - z1)2)
Rn
Siano x = (x1, x2, x3, ..., xn) ∈ Rn e y = (y1, y2, y3, ..., yn) ∈ Rn
d(x, y) = √(Σa=1n(xa - ya)2)
La distanza è un'applicazione Rn × Rn → R+ ∪ {0} (ha come immagine un numero reale positivo al più nullo)
Gode delle seguenti proprietà
- - d(x, y) ≥ 0
- d(x, y) = 0 ↔ x = y (la distanza è nulla se e solo se i due punti coincidono)
- - d(x, y) = d(y, x) (la distanza da x a y è uguale alla distanza da y a x)
- - df(x, y) ≤ d(x, y) + d(x, f) (diseguaglianza triangolare)
INTORNO
Insieme dei punti che distano da un punto P0 meno di un δ
- R2
INTERVALLO x0-δ < x0+δ, P(x) generico punto, d(P,P0) < δ
d(P,P0) = √((x-x0)2+(y-y0)2) < δ
CERCHIO DI CENTRO P0 E DI RAGGIO δ PRIVATO DELLA CIRCONFERENZA
- R3
SFERA DI CENTRO Q0 E RAGGIO δ PRIVATA DELLA SUA SUPERFICIE
PUNTO INTERNO
P0 è interno all'insieme D se:
- IP0,δ ⊂ D
Esiste un intorno di P0 di ampiezza δ incluso nell'insieme D, cioè l'intorno contiene tutti i punti dell'insieme
PUNTO ESTERNO
P0 è esterno all'insieme D se è interno al complementare di D (DC)
- IP0,δ ⊂ DC
Esiste un intorno di P0 di ampiezza δ incluso nel complementare dell'insieme
PUNTO DI FRONTIERA
P0 è un punto di frontiera se:
- IP0,δ
nello stesso cadono punti di D e punti di DC
Frontiera (o derivato), qualsiasi intorno in esso cadono punti dell'insieme D e del suo complementare
Punto di accumulazione
P0 è un punto di accumulazione se Vc cade in un punto e D in P0 se, cade un punto di D in P0-P0, solo se esistono infiniti.
Punto isolato
P0 è un punto isolato se Pc-P0 in cui non cade nessun punto dell'insieme.
Insieme aperto
A si dice aperto se V P è A allora ∃ P ∈ A.
Per qualunque punto di A esiste un intorno incluso in A, cioè ogni intorno di P è formato da punti dell'insieme un insieme aperto è formato da punti interni [ a ; b ], x + y = r2 (cerchio senza circonferenza),
y ≤ x - 1y ≥ 00 ≤ x ≤ 1(triangolo senza lati)
Insieme chiuso
A si dice ch
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