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FUNZIONI DI n VARIABILI
Consideriamo \( f \colon B \subseteq \mathbb{R}^2 \to \mathbb{R} \) è una funzione scalare \( f(x, y) \). Per cui il grafico di una funzione reale di variabile reale, \( y = f(x) \), è l'insieme dei punti del piano \( \mathbb{R}^2 \) coordinato \( (x, f(x)) \).
Analogamente il grafico di una funzione reale di più variabili reali, è definito come \( f \colon B \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R} \) è una funzione scalare \( f(x_1, x_2, \ldots, x_n) \). Li, se \( z = f(x) \) dove \( x \) indica un elemento di \(\mathbb{R}^n\) e \( B \) il dominio di \( f \). Questo è l'insieme dei punti di \(\mathbb{R}^{n+1}\) di coordinate \( (x, f(x)) \). Ora, per \( n = 2 \) questo grafico vive nello spazio tridimensionale può essere visualizzato. Per \( n > 3 \) il grafico vive in uno spazio di dimensione \( \geq 4 \) e purtroppo non si può visualizzare direttamente.
Se ho \( f \colon B \subseteq \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m \) è una funzione vettoriale lo spazio di arrivo è costituito da \(\mathbb{R}^m\) e non da \(\mathbb{R}\).
Ora ritorniamo al caso dei grafici di una funzione, se ho:
f : B ⊂ R2 → R
Gf = { (x, y, z) ∈ R3 |(x, y) ∈ B, z = f(x, y) } e questo rappresenta il grafico di una funzione a 2 variabili (è un sottoinsieme di R3). L'avrei potuto scrivere così: Gf = { (x, y, f(x, y)) | (x, y) ∈ B } Gf ⊂ R3
f : B ⊂ R → R
funzione ad una variabile.
Gf = { (x, y) ∈ R2 |(x, y) ∈ B, y = f(x) } e rappresenta il grafico di una funzione a una variabile (è un sottoinsieme di R2 ). L'avrei potuto scrivere così: Gf = { (x, f(x)) | x ∈ B } Gf ⊂ R2
f : B ⊂ R3 → R
funzione a 3 variabili.
ESEMPI:
f(x, y, z) = X2y + z
funzione a 3 variabili. Bf = R3
f(x, y, z) = e2 + X Y z
" " " "
Bf = R3
f(x, y, z) = log z + x Y z
è una funzione a 3 variabili; ma devo vedere dove è definito, per cui trovo il dominio:
Bf = { z ≥ 0 } = { (x, y, z) ∈ R3 | z ≥ 0 }
significa tutti i punti di R3 che hanno z ≥ 0.
Rappresentiamo
f : D C Rm → IR
(x1, x2, x3, ..., xm) → f(x1, x2, x3, ..., xm)
con m = 2, ho:
(x, y) → f(x, y) ad esempio f(x, y) = x2y + sen x Df = IR2
con m = 3, ho:
(x, y, z) → f(x, y, z) ad esempio f(x, y, z) = xy z + log (xz)
Df = {(x, y, z) : x z > 0}
ESERCIZI:
* f(x, y) = x2y/log (xy)
- x y > 0
- x y ≠ 1
x1 = 1 → y = 1/x
* f(x, y) = y x2 - y/log (x + y)
- (x2 - y) > 0 → y < x2
- x + y > 0 → y > -x
- x + y ≠ 1 → y ≠ 1 - x
Limite
Ricordiamo la definizione di limite di una funzione ad una variabile:
lim f(x) = 2x → x₀
Vuol dire che riesco a prendere una differenza tra f(x) ed 2 in modulo, e la posso prendere piccola e, fatto che, prendo x vicino ad x₀, esist:
∀ ε > 0 ∃ δ>0 ∀ x con 0
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