Analisi matematica 2 (Teoria)

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Author: Frederix

Revisionato il 17/05/2026

di Frederix

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Appunti di teoria di Analisi matematica 2 basati su appunti personali del publisher presi alle lezioni della prof.ssa A. Canino dell’università della Calabria - Unical, …

Esame Analisi matematica

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Canino Annamaria

Università Università della Calabria

A.A. 2014-2015

145 pagine

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Estratto del documento

Funzioni di n variabili

Consideriamo f : B ⊂ ℝ² → ℝ è una funzione scalare f(x, y). Per cui <grafico di una funzione reale di variabile reale, y = f(x)> è l'insieme dei punti del piano ℝ² di coordinate (x, f(x)).

Analogamente il grafico di una funzione reale di più variabili reali è definito come f : B ⊂ ℝⁿ → ℝ funzione scalare f(x₁, x₂, ..., x_n).

G = { (x, f(x)) | x ε B } G_f ⊂ ℝ²

f : C ⊂ ℝ³ → ℝ funzione a 3 variabili.

Esempi

f(x, y, z) = X²y + z funzione a 3 variabili B_f = ℝ³
f(x, y, z) = z² + X Y z funzione a 3 variabili B_f = ℝ³
f(x, y, z) = log z + X Y z è una funzione a 3 variabili, ma devo vedere dove è definito, per cui trovo il dominio: B_f = { z > 0 } = { (x, y, z) ε ℝ³ | z > 0 } significa tutti i punti di ℝ³ che hanno z > 0.

Funzioni di n variabili

Consideriamo f : D ⊂ ℝ² → ℝ è una funzione scalare (f(x,y)). Per cui il grafico di una funzione reale di variabile reale f : X → Y è f(x) = {i punti del piano ℝ² di coordinate (x, f(x))}.

Analogamente il grafico di una funzione reale di 2 variabili reali è definito come f : D ⊂ ℝ² → ℝ funzione scalare f(x₁, x₂... x_n).

G_f = {z = f(x)} dov'è x_i indica un elemento di ℝⁿ. D è il dominio di f. Questo è l'insieme dei punti di ℝⁿ⁺¹ di coordinate (x, f(x)).

Ora per n = 2 questo grafico vive nello spazio tridimensionale, f(x) deve essere visualizzato. Per n > 3 il grafico vive in uno spazio di dimensione > 4 e purtroppo non si può visualizzare direttamente.

Se ho f : D ⊂ ℝⁿ → ℝ^m è una funzione vettoriale, lo spazio di arrivo è costituito da ℝ^m e non da ℝ.

Ora ritorneremo al caso dei grafici di una funzione, se ho:

f : D ⊂ ℝ² → ℝ

G_f = { (x, y, z) ⊂ ℝ³ / (x, y) ⊂ D , z = f(x, y) } e questo rappresenta il grafico di una funzione a 2 variabili. (è un sottoinsieme di ℝ³).

Avrei potuto scrivere così: G_f = { (x, f(x, y)) } / (x, y) ⊂ D , G_f ⊂ ℝ³

f : D ⊂ ℝ → ℝ funzione ad una variabile.

G_f = { (x, y) ⊂ ℝ² / (x, y) ⊂ D, y = f(x) } e rappresenta il grafico di una funzione a una variabile (è un sottoinsieme di ℝ).

Avrei potuto scrivere così: G_f = { (x, f(x)) / x ⊂ D }; G_f ⊂ ℝ²

f : D ⊂ ℝ³ → ℝ funzione a 3 variabili.

Esempi

f(x, y, z) = x²y + z funzione a 3 variabili: D_f = ℝ³
f(x, y, z) = z² + xy z funzione a 3 variabili: D_f = ℝ³
f(x, y, z) = log z + xy z è una funzione a 3 variabili, ma devo vedere dove è definito, per cui trovo il dominio: D_f = {z > 0} = { (x, y, z) ⊂ ℝ³ / z > 0 } significa tutti i punti di ℝ³ che hanno z > 0.

Riprendiamo

f: S ⊂ R^m → R(x₁, x₂, x₃, ..., x_m) → f(x₁, x₂, x₃, ..., x_m)

Con m = 2, ho: (x, y) → f(x, y) ad esempio: f(x, y) = x²y + sen x S_f = R²

Con m = 3, ho: (x, y, z) → f(x, y, z) ad esempio: f(x, y, z) = xyz + log (xz) S_f = {(x, y, z) : xz > 0}

Esempi

f(x, y) = ^x²y/_log(xy) {x y > 0, x y ≠ 1} xy = 1 ⇒ y = ¹/_x
f(x, y) = ^{x² - y}/_{log(x + y)} ({x² - y > 0 ⇒ y < x², x + y > 0 ⇒ y > -x, x + y ≠ 1 ⇒ y ≠ 1 - x}

Curve di livello

C’è un altro modo di rappresentare graficamente una funzione z=f(x,y) ed è quello di tracciare le sue linee di livello.

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