Analisi matematica 2

Somma

_{i = 1} ^N ∑ a_i

i → indice sommatoria

indice muto

(metodo ad esempio

i non cambia significato)

Prop

• ∑ c a_i = C ∑ a_i C = costante
• ∑ a_i + ∑ b_i = ∑ (a_i + b_i)
• ∑ C = C ∙ N n di addendi di sommatoria
• Traslazione di indici: ∑ a_k = ∑ a_{k + 1} = ∑ a_{k = 1 + m} = ∑ a_{i - m}
• ∑ a_k = ∑ a_{n - k + 2} + ∑ a_{n - k}

Somma Progressione Geometrica

Si dice che N termini sono in prog. geom.

se il rapporto tra ogni termine e il suo precedente è costante

prog. di ragione q e termine a₁ = 1

_{k = 0} ^N ∑ q^k = (1 - q^{N + 1}) / (1 - q)

Fattoriale

di N = prodotto tra i primi N n. interi

0 ∙ N_! = 0 ∙ 2 ∙ 3 ∙ ... (N - 1) ∙ N

N_! = N (N - 1) !

0_! = 0! = 1

0 se O < C < N

₁N^{(N - k) !} = N (N - 1) (N - 2) ... (N - k + 1)

Successioni Numeriche

Funzione N → R il cui dominio sono i numeri naturali (interi non negativi)

e legge che associa ad un numero n ∈ N uno e uno solo numero reale

n → a_n oppure {a_n} es₁, a_i, a₂; ...

{a_n} si dice divergente se esiste il numero k tale che a_n ≤ H

1) Lim inf se ∉ m t.c. a_n ≥ m

∀ n ∈ N (es ∞ 4)

2) Limitata se ∉ m, e tale che m ≤ a_n ≤ M

3) …

esempi: 1/ ∞ 2) ∞ N⁴ 3) (-1)^N

• Socc. convergenti es limo a_n = L è convergente se esiste L e tale che

∞ → 0 preso E>0 piccolo ci piacere susceca

|a_n - L| < E

E

L - E < a_n E + L

esempio a_n = N4 + 2 es limo N + 1/ N - 1 = 2

x limo N(1 + 1/x) / (x⁵) optico

• Socc. divergenti quello che cresce di N → 0 ardelle succ. a → 1/x per

  afferm. divergence a > ∞ limo a_n = ∞

  >>∞ limo aⁿ = 0

• Socc. irregolari non esiste arnunto esempio (-1)^N (-2)^N

Successe tendono a zero = INFINITURA es

{ 1/N } 1 / N²

}

INFINITO ≃ INFINITA

Somma Progressione Geometrica

Si dice che N termini sono in prog. geom.

se il rapporto tra ogni termine e il suo precedente e' costante.

prog. di ragione q e termine a₁ = 1

∑_k=0^N q^k = ^1-qN+1⁄_1-q

Fattoriale di N

prodotto tra i primi N num. interi

• 0!
• N! = 1·2·3·...·(N-1)·N
• N! = N(N-1)!
• 0! = 1

N! → permutazione

Successioni Numeriche

= Funzione N→ℝ il cui dominio sono i numeri Naturali (interi non negativi)

e' legge che associa a ogni numero N∈ℕ uno e un solo numero reale

N → a_n oppure {a_n}

• {a_n} si dice
• Lim Inf se ∃ m t.c. a_n>m ∀ N∈ℕ
• Lim Sup se ∃

3) Esempio 1/N

esempi: 2) N² o N&sup4;

3) (-1)^N

• Socc. Convergenti: lim a_n = L

• Preso e > 0 ∃ numero intero k t.c. |a_N-L|<e

Socc. Divergenti

succ delle crescere di N →∞

• Lim a_n = ∞

Socc. Irregolari

non esiste limite

esempio: (-1)^N

SUCC. MONOTONE

• CRESCENTE se \( a_n \leq a_{n+1} \) strettamente se \( a_n < a_{n+1} \) \(\forall n \in \mathbb{N}\)
• DECRESCENTE se \( a_n \geq a_{n+1} \) strettamente se \( a_n > a_{n+1} \) \(\forall n \in \mathbb{N}\)

Esempio:

• \( \{n\} \quad n^2 \geq 1 \quad n \in \mathbb{N}^+ \) cresc.
• \( \frac{1}{n} \) \(\to\)
  • \((-1)^n\) non monotona

TEOREMA 1.1

Se \(\{a_n\}\) e succ. CRESCENTE \(\Rightarrow\) ammette sempre limite

\(a_n = \sup \{a_n\}\) che può essere finito o infinito \( n \to +\infty \)

• \(\sup \{a_n\}\) minimue dei maggioranti dell'insieme \(a_n\)

Adou vale anche per succ. DECRESCENTI

Es. succ. geometrica:

• \( \textit{monot. cresc.} \leftarrow \frac{q=1}{q \leq 1} q \neq 1 \) monot.
• \( q=1 \leftarrow \textit{costante}\)
• \( 1 < |q| \leq 1\)
• \( |q| < 1 \Rightarrow \frac{1}{q} \leftarrow |q| < 1\)
• NON ESISTE \( q \leq -1 \)

SERIE NUMERICHE

Data una successione di numer reali \( \{a_n\} \) si die che SERIE dei termini:

• \( \sum_{N=0}^{\infty} a_n \)

Costruisco a testa successione \( \{S_k\} \) detta delle somme parziali della serie \(\sum a_n\) cioè:

• \( S_0 = a_0
• S_1 = a_0 + a_1
• S_k = a_0 + a_1 + \cdots + a_n\)

• se tale succ. delle somme parziali
  • \( \sum a_n \leftr