Analisi matematica 2

SOMMATORIA

i → indice sommatoria

n → indice muto (metodo del cambio di indice per non cambiare significato)

PROP

• C ai = C* ai C=costante
• { ai + bi = { (ai + bi)
• C ai = C( (N - i + 1))
• C ai= dC N anziché di sommatoria
• ai + ... + an-k+1 ai = an

SOMMA PROGRESSIONE GEOMETRICA

Si dice di «N» termini sono in prog. geom. Se il rapporto tra ogni termine e il suo precedentemente è costante

Progressione di ragione q e termine a₁

∑k=0 to N q^k = (1 - q^N+1) ÷ (1 - q)

FATTORIALE di N = prodotto tra i primi «N» interi.

• N! = 1:2:3... (N-1):N
• 0! = 1 O se 0 < k < N

N! → permutazione

SUCCESSIONI NUMERICHE

= Funzione N → R il cui dominio sono i numeri Naturali (Interi non negativi) e è legge che associa ad N il numero univoco A:_n ovvero { a_n } a₂, a₁, a₂, ...

{ a_n } si dice

1. Limitata superiormente se esiste il numero K t.c. a_n ≤ H
2. Lim inf se ∃ m t.c. a_N > m ∀N ∈ N (es: a_N⁴)
3. Limitata se ∃ m, H t.c. m ≤ a_n M ∀N (es: 1/N)

ESEMPI:

1. 1/N
2. n²/N⁴
3. (-1)^N

SUCCESSIONI CONVERGENTI

• Lim N → +∞ a_n = L ← convergente se esiste L t.c. preso ∈ > 0 piccolo a piacere numerica |a_N - L| < ∈ → a_n

L-∈ < a_N < L + ∈

Esempio: a_n, N+1

Lim N+1

N+*∞1/N+*∞ a_n:

SUCCESSIONI DIVERGENTI qualcosa che crescere di N →+00 quindi successo ε > M > 0

• Infinito = infinito

∑a_n → +∞

SUCCESSIONI IRREGOLARI non esiste limite Esempio (-1)^N (-2)^N

Succ. Monotone

1) Crescente se a_n ≤ a_n+1 strettamente se a_n < a_n+1 ∀n ∈ ℕ

2) Decrescente se a_n ≥ a_n+1 strettamente se a_n > a_n+1 ∀n ∈ ℕ

Esempio: a_n = { 2ⁿ - 1 angolo 0 } ( -1 )ⁿ non monotona

Teorema 1.1 pag. 29 (Esistenza limite per succ. monotone)

Se { a_n } è succ. crescente ⇒ ammette sempre limite

lim a_n = sup { a_n } che può essere finito o infinito

lim a_n = sup { a_n } = minore dei maggioranti dell'insieme a_n

Vale anche per succ. decrescenti

• Ex succ. geometrica: lim_n→∞ qⁿ =
  • 1 q = 1 monotona costante
  • 0 1q < 1 1q < 1
  • Non esiste q ≤ -1

Serie Numeriche

Data una successione di numeri reali: Σ a_n, si dice serie di termini a_n l'operazione di somma degli a_n ove va da zero a +∞

Σ a_n

Costruisco a partire dalla successione { S_k } detta delle somme parziali della serie

• a₀, a₁, a₂, ..., S_k = a₀ + a₁ + ... + a_k, si chiama serie degli a_n success. delle somme parziali
• S_k = a₀ + a₁ + a₂ + ...
• n.b. È il limite di S_k a non di a_n
• Si dirà che la serie converge, diverge, irregolare se la successione delle somme parziali è rispettiva. Conv., Div., Irreg.

Serie Geometrica

q_n = qⁿ

• S_k = q¹ + q² + ... + q^k = (q^1-k+1)/(1-q)
• (E se q ≠ 1)
• 1/1-q se |q| < 1 S. converge
• +∞ se q = 1 S. diverge
• Non esiste se q ≤ -1 S. irregolare

Criteri di Convergenza

Prop. 2: Condizione necessaria (non suff.)

è condizione necess. affinché una serie Σ a_n converga è che il termine generale a_n

• Esempio: Σ n/n →∞ cos1/n non converge ⇔ k k
• a_n, 1/n² non converge ⇔ k k 1
• a_n

Σ₀^∞ a_n e S_k = c se e solamente se converge

(S - S).

Esempio calcolo raggio di convergenza!

|x| < R   conv. assol. (la serie)

|x| > R   diretta

Per calcolare il passo seguente "l'elemento via pacco"

^N+1√a_n

Sviluppi in serie di Maclaurin

Calcolo Differenziale e Approssimazioni

Linearizzazione

approssima il quadrato che geometria non dirà,

con quantità che se ne perde è trascurabile

Es: da funzione un suo incremento è approssimato da retta tangente nel

punto x₀.

Sia F(x) derivabile in x₀ e dato x₀ un incremento dx

1(x =) = F(x₀ + dx) - F(x₀)

Sostituendo la (retta) potrà (p a tg = ...) incremento (P) della retta tg

(1^'(x₀) dx = (1^'(x₀) tg) α

e l'incremento infinitesimo di χ detto differenziale di nel punto x₀

df(x) - F^'(x₀)dx

deviato lim F(x₀ + dx) - F(x₀) - f^'(x₀)

dx → 0 dx

E(δ) < δ quantità di tempo celetico per - x₀

δ celetico - X INFINTESIMO,

e per dx

f(x_C₃ + dx) - f(x₀) = f^'(x₀) + Eδx

mi efficace per Δx

f(x_C₃ + dx) - f(x₀) = f^'(x₀)dx + dx E δ(x)

Δf = df(x₀) = ⍺x + E(⍺x)

Def Date F(x) e o(x) funzioni finiti in un

intorno di x₀ si dice che:

F(x) = o(g(x)) per x → x₀

F(x) o piccolo di asegno

F(x) = infinitesimo di ordine

x quadrato per x → 0_x = x(x)

e^kx = o(x⁴) -_1/x

e callorato⟺() Δf(x_o) = df(x) c(0(⍺x)) per ⍺x→0

Spazi di Funzione C⁰ - C^∞

D… o insere da funzioni velatamente nu fun dve {R+}

C⁰(I) = ins che tutto l'funz continue in

C¹(I) = ins. " " " derivabili in I (1…

Neote loro f¹(x) è continu in I

C^K(I) = " " " derivabili K volto in I ⚬

contin net n = 1₊ό la derivata f^k(x) è continuata in I

C^∞(I) = funzione derivabili infinite volte

C⁰(lЄ) è spazio lettera il. Esa stessa lil funzione continua è da rivera funzione continua, rete arie per pi prodote c Æ (_f(x)), (_I(x))