Analisi matematica
(2)
Serie numeriche
X = C0, C1, C2, C3, ..... = C0 + C1 / 10 + ...... = limn→∞ (cn, cn / 10, ..... cn / 10n) = ∑n=0∞ Cn / 10n
ex, x2 x3/2!..... = ∑k=0∞ xk / k!
Def. Si a {an}n=0∞ una successione di numeri reali. La serie di essi da 0 a ∞ sarà a0 + a1 + a2 + .... e per definizione ∑Nn=0 an = limn→∞ (ao, a1,......aN)
an somma parziale N-esima delle serie
Sn = ∑n=0N an
Terminologia. Si dice che la serie ∑n=0∞ an converge se tale limite S ad S finito.
Altrimenti, si dice che la serie non converge.
Esempio: ∑n=0∞ (−1)n+1
S0 = a0 = 1
S1 = a0 + a1 = 0
S2 = a0 + a1 + a2 = 1
S3 = 0
⋯ ⋯ ⋯
SN = 1 se N può
SN = 0 se N ci dispari
Quindi: limN → ∞ SN ≠ ∑n=0∞ (−1)n+1 = 1 ⋯ ⋯ ⋯ 0
Esempio: an = 1 ∀n
∑n=0∞ an
SN = a0 + a1 + a2 + a3 + .... + 1∞ = {lim(SN+1 = ∞) + ∞} → ∞ Si dice che la serie diverge a ∞.
Istruzione: aN somma parziale: N-esima an = a0 − 0 per N→∞ = −1
Sn converge allora lim an→0 (se lim an ≠ 0, allora ∑an non connrge)
Attenzione: NB lim an = a∞ = 0 implica ≠∑an converge
D(iM): ipotesi: ∑n=0∞ converge. (lim(a0, .......1 an), 3 ad s finito
Analisi matematica
(2)
Serie numeriche:
X = C0, C1, C2, C3 ...... = C0 + C1 / 10 + ...... = limn→∞ (Cn Cn / 10 ...... Cn / 10n) = ∞ Σn=0 Cn / 10n
ex = 1 + x + x2 / 2! + ...... = ∞ Σn=0 xn / n!
Definizione: Sia {an}, ∑ an una successione di numeri reali. La serie di essi da 0 a ∞ è data da p successivi,Σ∞n=0 an = limN→∞ (a0, a1,......, an)
Sn, somma parziale N-esima della serie:
SN = ΣNn=0 an (1, al contrario) al contrario (e al contrario)
Terminologia: Si dice che la serie ∑∞n=0 an converge se tale limite 3 ed e finito.
Altrimenti, si dice che la serie non converge.
Esempio: an = (1)n (-1) al contrario (5 o al contrario)
S0 = a0 = 1, S1 = a0, + (1) al contrario = 0 S0 a2 = a0 + a1 = 1 S4 = 0 (al contrario)
Se n pari: ∑∞n=0 (1)n
Si diverge
(al contrario) Quando N (al contrario) ∑ Σ∞n=0 (1)n
Esempio: an ± 1 ∀n
In = a0 = 1
an = 0 a0 = (al contrario)
an ± an an
N = 1 :
∑∞N=0 aN + (lim (N→∞) = ∞ Si dice di la serie diverge a ∞
Intuizione: Se esiste nm → ∞, an → 0 (alternata), an → 0 per N→∞=1 Se ∑ an converge, allora (lim an→0 (se limn→∞ an = 0, allora Σ∞ an non converge)
Attenzione: Non e vero che an → 0 imploc (al contrario) Σ∞n=0 an converge.
Dato: Lipotet: ∑∞n=0 convergen (1- (limN→∞ (a0,......,an
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