Analisi Matematica 2 - prima parte

Teoremi sugli insiemi chiusi e aperti

Teorema 4: DX, X sono insiemi chiusi.

Teorema 5: X è aperto X = 0

Teorema 6: I( x0, e), intX sono insiemi aperti

Teorema 7: X è chiuso S\X è aperto

Teorema 8: X è aperto S\X è chiuso

Teorema 9: Siano X,Y due sottoinsiemi di S tali che X A ed Y allora si ha

Teorema 10: X è contemporaneamente aperto e chiuso = 0

Parte I: X è aperto e chiuso = 0

Per definizione di insieme aperto, X non contiene Di conseguenza otteniamo il risultato (a) X = 0. Essendo X chiuso, dal teorema 2 deduciamo la (b) X. Mettendo a confronto la (a) e la (b), giungiamo allatesi. X = 0

Parte II: X è aperto e chiuso

Se allora X = 0. Dal teorema 5 ricaviamo che X è aperto. Tuttavia l'insieme vuoto è sottoinsieme di qualsiasi altro insieme; quindi X = 0 è sottoinsieme di X. Dal teorema 2 ricaviamo quindi che X è chiuso.

Segmenti, punti

Preso in considerazione uno spazio euclideo ad n dimensioni, e due punti a=(a1,...,an) e b=(b1,...,bn) appartenenti a questo spazio, definiamo segmento di R di estremi ∈ a e b, l'insieme di punti { x ∈ R : xi = ai + t(bi-ai) } al variare di t nell'intervallo [0,1]. Per t=0 otteniamo il punto a; per t=1 il punto b; per t= ½ il punto medio del segmento.

Teorema 11: Sia X un sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo, e siano a un punto interno, b un punto esterno. Esiste allora un punto x* appartenente al segmento che congiunge a e b, che appartiene alla frontiera di X. Questo equivale a dire che la frontiera di qualunque sottoinsieme proprio e non vuoto di uno spazio euclideo è non vuota.

Corollario: Gli unici sottoinsiemi infiniti di uno spazio euclideo che sono contemporaneamente aperti e chiusi sono l'insieme vuoto e lo spazio euclideo stesso.

Supponiamo per assurdo che esista X ⊆ R con X ≠ ∅ e X ≠ R.

a₂, ………….. ap ) = s iI punti a₁ e ap si chiamano punti terminali di P. I segmenti s si chiamano lati dellaipoligonale P. Una poligonale si dice chiusa se i suoi punti terminali coincidono. Unapoligonale si dice infine semplice se ogni suo punto appartiene ad un solo lato, adeccezione dei vertici, che possono appartenere a due lati consecutivi.Un sottoinsieme X di uno spazio euclideo si dice internamente connesso se siverificano le seguenti condizioni:

1. X ha almeno due punti distinti.
2. Comunque si prendano due punti x’ e x’’ appartenenti ad X, esiste unapoligonale semplice interamente contenuta in X, con eventuale eccezionedei punti terminali.

⊆ nTeorema 12: Se X R è un insieme chiuso e limitato ed è internamente connesso,allora X è un dominio connesso.

Successioni Sia ( S,d ) uno spazio metrico. Sia data la funzione x : N S, che fa corrisponderead un numero naturale un elemento di S. La funzione x si definisce

successione diƒelementi di S, e si indica con { x }. Sia x0 S, diremo che { x } converge ad x0 sen nsi verifica la seguente condizione: Lim { x } = x0 Sn∞ → n→ x xon

Teorema 1: dell'unicità del limite

Una successione di elementi di uno spazio metrico convergente, converge ad un unico limite.

Sia (S, d) uno spazio metrico, ed { xn } una successione di elementi di S.

Supponiamo per assurdo che esistano due elementi distinti di S, x0 e x*, taliche S S→ →x x0 x x*n n

Essendo elementi distinti, d(x0, x*) è maggiore di zero. Fissiamo ora e = ½ d(x0, x*). Per l'ipotesi di convergenza, sussistono le seguenti condizioni

∃ ∀v': n > v' d(xn, x0) < e

∃ ∀v'': n > v'' d(xn, x*) < e

Fissiamo n' tale che n' > max(v', v'').

d(xn', x0) < e

d(xn', x*) < e

sommiamo membro a membro

d(xn', x0) + d(xn', x*) < 2e

sostituiamo ad e

d(xn', x0) + d(xn', x*) < 2d(x0, x*)

Ma questo è assurdo, poiché abbiamo supposto che d(x0, x*) è maggiore di zero. Quindi, la successione { xn } converge ad un unico limite.

1. x₀ ) + d( x_n',x*) < d( x₀, x* ) per la proprietà di simmetria
2. d( x₀, x_n' ) + d( x_n', x* ) < d( x₀, x* ) dalla proprietà triangolare
3. d( x₀, x* ) <= d( x₀, x_n' ) + d( x_n', x* ) < d( x₀, x* )
4. d( x₀, x* ) < d( x₀, x* ) che è assurdo.

Successioni estratte

Data { x } una successione di elementi di S, e { K_n } una successione crescente di elementi di N, la successione { x } si dice estratta da { x }.

Teorema 2: Se una successione { x } converge ad x₀, allora qualsiasi successione estratta da { x } convergerà ad x₀.

Data la convergenza della successione ad x₀, vale la seguente R → d( x_n, x₀ ) → 0 che è una successione di numeri reali. Di conseguenza la successione d( x , x₀ ), estratta dalla prima, convergerà allo stesso limite, cioè zero. Ciò basta a dimostrare che anche { x } tende a x₀.

Teorema 3: Sia S = R uno spazio metrico euclideo e { x } una successione di elementi di S. Ogni elemento di

Questa successione avrà p componenti. Al variare di n avremo quindi p successioni di numeri reali. Se { x } tende ad un elemento x*, costituito da p componenti x*1, x*2, ..., x*i, ..., x*p, le successioni di numeri reali ottenute dalle componenti di { x } tenderanno alla corrispondente componente di x*.

In simboli: R → n x 1 x* • p R → n x x* • R → n x p x*n

Parte I: Fissato ε > 0, per ipotesi, esiste un v N tale che, qualunque n > v, risultando ( x , x* ) < ε √Σ(xn^2 - x*i) < εma, evidentemente, vale la seguente √Σ(xn - x*1)^2 <= ε - x*i) per la proprietà transitiva | x 1 - x*1 | < ε. Abbiamo quindi dimostrato che, per qualunque valore di ε, esiste un indice v a partire dal quale, la successione { x 1 } tende a x*1. Ripetiamo l'operazione per tutti gli indici fino a p e otteniamo la tesi.

Parte II: √p Fissiamo ε > 0 e consideriamo ε / √p, che è ancora maggiore di zero. Per ipotesi...

Esisterà un indice v₁ a partire dal quale |x₁ - x*₁| < e/√p eleviamo al quadrato

2( x₁ - x*₁) < e / p. Reiteriamo l'operazione fino a v_p. Definiamo a questo punto v' = max( v₁, v₂ ……… v_p)

Consideriamo n > v'. Sommiamo quindi le diseguaglianze così ottenute:

Σ( n² (x_i - x*) ) < p ( e / p) estraiamone la radice

Σ( n²(x_i - x*) ) < e che in sostanza vuol dire nx*.

Successioni di Cauchy o fondamentali

Dato uno spazio metrico ( S,d ) e una successione { x } S, la successione si dice di Cauchy se si verifica la seguente condizione:

∀ ε > 0 ∃ N : n,m > N d( x_n, x_m ) < ε

Teorema 4: Una successione convergente è di Cauchy.

Fissiamo un ε > 0 e consideriamo ε/2. Supponiamo la successione { x_n } convergente ad un limite x*. Esisterà allora un indice v' a partire dal quale d( x_n, x* ) < ε/2. Siano quindi n ed m maggiori di v'. Per la proprietà triangolare,

Possiamo scrivere d(x, x*) <= d(x, x*) + d(x*, x)

Per la convergenza ad x*, possiamo maggiorare i termini a destra d(x, x*) + d(x*, x) < 1/2e + 1/2e

E infine, per la proprietà transitiva d(x, x) < e

Mostriamo con un contro esempio che il viceversa in generale non è valido.

Consideriamo la successione infinitesima {1/n} in R. Essa è convergente a zero, di conseguenza è una successione di Cauchy. Consideriamola ora nel sottoinsieme di R ]0, 1]. Essa è ancora di Cauchy, ma non converge in ]0, 1].

Spazio metrico completo

Uno spazio metrico si dice completo se ogni sua successione di Cauchy è convergente. Proviamo ora che uno spazio euclideo è completo.

Sia {x} R una successione di Cauchy. Definiamo una diseguaglianza

|a1||a2| ... |an| <= sqrt(a1^2 + a2^2 + ... + an^2) diseguaglianza A.

Essendo {x} una successione di Cauchy, fissato un e>0, esisterà un

indice v an mpartire dal quale d( x , x ) < e. Ossia(( n m 2xi – xi ) ) < e n,m > vapplichiamo la diseguaglianza A per le componenti 1 del vettore x:((n m n m 2| x1 – x1 | < xi – xi ) ) < eRipetendo questa operazione per tutte le p componenti, ricaviamo che tutte lesuccessioni ottenute fissando l’indice al variare di n sono successioni diCauchy. Queste successioni appartengono ognuna all’insieme R. Per ilTeorema di Cauchy in R, convergono quindi tutte ad elementi di R, cheindicheremo con x*1, x*2, …… x*p. Infine, dal Teorema 3 ricaviamo quindin pche la successione originaria { x } converge in R ad un elemento x*, dicomponenti x*1, x*2 ………. x*p. n pTeorema 5: Si abbia una successione { x } R limitata. Esisterà allora una sua Pestratta tendente ad x* R .Teorema 6: Sia ( S,d ) uno spazio metrico, e X un suo sottoinsieme:S    n nx0 DX {x } X di elementi distinti tale

che X è sequenzialmente compatto se ogni successione in X ammette una sottosuccessione convergente in X.

In altre parole, per ogni successione (x_n) in X, esiste una sottosuccessione (x_{n_k}) tale che lim_{k->inf} x_{n_k} = x_0, dove x_0 appartiene a X.