Analisi Matematica 2 - prima parte

Analisi II Clipmie\Elenco dei libri.doc

Indice

.Spazi metrici

.Esempi di spazii metrici

.Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

.Spazio euclideo ad n dimensioni

.Cerchio e circonferenza

.Insieme limitato

.Diametro di un insieme X

.Punti interni, esterni e di frontiera

.Punti di accumulazione

.Insiemi discreti e aperti

.Chiusura di un insieme

.

.Successioni

.Teorema 1 :dell’unicità del limite

.Successioni estratte

.Successioni di Cauchy o fondamentali

.Spazio metrico completo

.Insieme sequenzialmente compatto

.Distanza tra due insiemi

.Funzioni

.Funzioni continue ed uniformemente continue

Spazi metrici

Sia S un insieme di natura qualunque non vuoto. Data una funzione f



d : S x S R

diremo che f è una distanza o metrica per l’insieme S se gode delle seguenti proprietà

 

1. d( x,y ) => 0 x, y S

 

2. d( x,y ) = 0 x = y x, y S

 

3. d( x,y ) = d( y,x ) x, y S

 

4. d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z ) x,y,z S

La coppia formata da S e una sua metrica d si definisce spazio metrico.

Esempi di spazii metrici

(R , d( x,y ) = | x – y | )

proprietà 1 : d( x,y ) => 0

E’ verificata perché il valore assoluto è sempre non negativo.



proprietà 2 : d( x,y ) = 0 x = y 

dimostriamo prima che d( x,y ) = 0 x = y

  

d( x,y ) = 0 | x – y | = 0 x – y = 0 x = y



dimostriamo che x = y d( x,y )= 0

  

x = y x – y = 0 | x – y | = 0 d( x,y ) = 0

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x )

d( x,y ) = | x – y |

d( y,x ) = | y – x | 

x – y = - ( y – x) | x – y | = | y – x | perché hanno lo stesso modulo, ma

segno contrario.

proprietà 4: d( x,z ) <= d( x,y ) + d( y,z )

d( x,y ) = | x – y |

aggiungiamo e sottraiamo z

d( x,y ) = | x – z + z – y | = | (x – z) + ( z – y ) |

ma il valore assoluto della somma è minore o uguale alla somma dei valori

assoluti. 

d( x,y ) <= | x – z | + | z – y | d( x,y ) <= d( x,z ) + d ( z, y )

Abbiamo dimostrato che d è una metrica per R.

Esempio 2

Prendiamo come insieme

S = C( [a,b] ) l’insieme delle funzioni reali e continue nell’intervallo chiuso

a,b. 

C( [a,b] ) = { f : [a,b] R, continue in [a,b] }

definiamo una distanza d su C( [a,b] ) come  

d( f,g ) = max | f(x) – g(x) | x a,b

La differenza di due funzioni continue è ancora una funzione continua. Il valore

assoluto di una funzione continua dà una funzione continua. La distanza d così

definita è quindi una funzione continua in [a,b].

 

proprietà 1: d( f,g ) => 0 f,g C([a,b])

Dal teorema di Waistrass, una funzione continua e limitata in un intervallo

chiuso [a,b] ammette un massimo e un minimo finiti.

max(d( f,g )) ed, essendo d( f,g ) il valore assoluto di una differenza,

d(f,g) è non negativo.



proprietà 2: d( f,g ) = 0 f=g



- dimostriamo d( f,g ) = 0 f=g



d( f,g ) = 0 max( | f – g | ) = 0

per la definizione di massimo x 

| f(x) – g(x) | <= max(| f – g |) [a,b]

 

| f(x) – g(x) | <= 0 x [a,b]

per definizione, il valore assoluto è non negativo

x 

| f(x) – g(x) | = 0 [a,b]

x 

f(x) – g(x) = 0 [a,b]

x 

f(x) = g(x) [a,b]



 dimostriamo f= g d( f,g ) = 0

x 

f(x) = g(x) [a,b]

f(x) – g (x) = 0 x 

| f(x) – g(x)| = 0 [a,b]

d ( f,g ) = 0  

proprietà 3: d( f,g ) = d( g,f ) f,g C([a,b])

  

f(x) – g(x) = - (g(x) – f(x)) | f(x) – g(x) | = | g(x) – f(x) | x [a,b]

le due funzioni sono uguali, quindi hanno lo stesso massimo.

max(| g(x) – f(x) |) = max(| f(x) – g(x) |)

proprietà 4: d( f,g ) <= d( f,h ) + d( h,g )

Diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

 (ai (bi  

2 2

ai*bi <= ) * ) a1, ….. , an, b1, ………., bn R

 primo caso :

tutti i termini a sono uguali a zero. La diseguaglianza diventa

 (0 (bi

2 2

0*bi <= ) * )

0 <= 0

che è sempre vera perché il secondo membro è non negativo

 secondo caso

 i,j 1 <= i,j <= n : ai <> 0 e bj <> 0

,  

presi due qualunque R

   

2 2 2

0 <= ( - ) = + - 2

 

2 2

2 <= +

  

2 2

<= ½ + ½

applicando questa diseguaglianza con

 

2 2

= a1 / ((ai )) = b1 / ((bi ))

otteniamo 2 2

a1*b1 a1 b1

_____________ <= _______ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

reiterando l’operazione 2 2

a2*b2 a2 b2

_____________ <= _______ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

.

.

. 2 2

an*bn an bn

_____________ <= _______ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

Sommando membro a membro queste diseguaglianze

( (ai (bi

2 2

ai*bi) ) )

_____________ <= ________ + ________

(ai

2 2 2 2

)*(bi ) 2*(ai ) 2*(bi )

(ai*bi)

______________ <= ½ + ½ = 1

(ai 2 2

)*(bi )

(ai*bi) (ai 2 2

<= )*(bi )

Spazio euclideo ad n dimensioni

Si definisce spazio metrico euclideo ad n dimensioni, la coppia

n

( R , d ) ((x1-y1) ( 

2 2 2

d( x,y ) = + ………. + (xn – yn) ) = (xi – yi) 1 <= i <= n

n

Verifichiamo che d, così definita, è una metrica per R .

  n

proprietà 1: d( x,y ) => 0 x,y R

d( x,y ), per come è definita, è la radice quadrata della sommatoria di termini

positivi. Per cui è un numero reale non negativo



proprietà 2: d( x,y ) = 0 x = y



 d( x,y ) = 0 x = y

( ( 2

xi – yi) = 0

( 2

xi – yi ) = 0

2

( xi – yi ) = 0 1 <= i <= n

xi = yi 1 <= i <= n

x = y



 x = y d( x,y ) = 0

xi = yi 1 <= i <= n

xi – yi = 0 1 <= i <= n

.

.

.

(( xi – yi ) = 0

d( x,y ) = 0   2

proprietà 3: d( x,y ) = d( y,x ) x,y R

( 2

d( x,y ) = xi – yi )  2 2

ma xi – yi = -( yi – xi ) ( xi – yi ) = ( yi – xi )

( 2

d( x,y ) = yi – xi ) = d( y,x )   n

proprietà 4: d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y ) x,y,z R

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) 1 <= i <= n

2 2 2 2

( xi – yi ) = (( xi – zi ) + ( zi – yi )) = (xi – zi) + (zi – xi) + 2(xi – zi)(zi – yi)

( (xi (

2 2 2

xi – yi ) = – zi) + zi – yi ) + 2*(xi – zi)(zi – yi)

applichiamo la diseguaglianza di Cauchy – Schwarz

(xi (xi (zi

2 2

– zi)(zi – yi) <= – zi) – yi)

(xi (xi (zi (zi

2 2 2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi) + 2(xi – zi) – yi)

il secondo membro è il quadrato di un binomio

(xi (xi

2 2 2 2

– yi) <= ( – zi) +(xi – yi) )

essendo i due membri non negativi, possiamo estrarne le radici.

(xi (xi (zi

2 2 2

– yi) <= – zi) + – yi)

d( x,y ) <= d( x,z ) + d( z,y )

Cerchio e circonferenza

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo

  

S’ S x0 S’ r >0 r R



L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) < r } si definisce cerchio aperto di centro

x0, e raggio r. 

L’insieme I( x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) <= r } si definisce cerchio chiuso di centro



x0 e raggio r. Ovviamente I( x0,r ) C( x0,r ).

Valgono le seguenti

 

x0 I( x0,r ) perché x0S, ed in oltre d( x0,x0 ) = 0 che è minore di r.

   

x0 C( x0,r ) perché x0 I( x0,r ) C( x0,r )

( 

L’insieme x0,r ) = { x S’ : d( x,x0 ) = r } si definisce circonferenza di centro

x0 e raggio r. Questo insieme è detto anche intorno circolare di x0.

( 

x0,r ) C( x0,r )

Insieme limitato

Supposto ( S,d ) uno spazio metrico, prendiamo X un sotto - insieme di S. X si dice

 R 

limitato se esistono x0 S e r positivo, tali che X I( x0,r ).

Diametro di un insieme X

Preso X non vuoto un sottoinsieme di S. Prendiamo ora in esame l’insieme delle



distanze tra tutti gli elementi di S { d( x,y ), x,y R }. L’estremo superiore di

questo insieme si definisce diametro dell’insieme X.



 X è limitato il diametro di X è un numero finito.

 Preso Y sottoinsieme di X, con X un insieme limitato, allora Y è limitato

 Presi X1 e X2 tali che



X1 S  

X1 è limitato X1 X2 è limitato



X2 S

 Dati X1, X2, entrambi sottoinsiemi di S limitati, la loro unione risulta un

insieme a sua volta limitato.

Punti interni, esterni e di frontiera

 

Dato ( S,d ) uno spazio metrico, supponiamo X S, x0 X.

 x0 si dice interno ad X se esiste un cerchio di centro x0 tutto contenuto in X

   

x0 interno ad X e R : I( x0,e ) X

L’insieme dei punti interni ad X si denota con intX. In oltre vale la seguente



intX X

 x0 si dice esterno ad X se è interno al complementare di X in S.

 e  

x0 esterno ad X R : I( x0,e ) S\X

L’insieme dei punti esterni ad X in S si denota con EstX. In oltre valgono le

seguenti:

 IntX = Est( S\X)

 EstX = Int( S\X )

 x0 si dice di frontiera per X se non è ne interno ne esterno ad X

 e    

x0 di frontiera R x’ I( x0,e ) X

  

x’’ I( x0,e ) ( S\X) X.

L’insieme dei punti di frontiera di X si chiama frontiera di X, e si denota con

X (

 = S\X)

Punti di accumulazione

 

Sia x0 S e X S, diremo che x0 è un punto di accumulazione per X se

e    

R x’ I( x0,e ) ( X &n