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Analisi Matematica 2 - prima parte

Appunti sulla prima parte del programma di Analisi 2 del prof. M. Marino Analisi Matematica2:Teoria,appunti delle lezioni 1° parte. Nello specifico gli argomenti trattati sono i seguenti: spazi metrici, successioni, funzioni, funzioni continue ed uniformemente continue.

Esame di Analisi Matematica 2 docente Prof. M. Marino

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elementi di S, e si indica con { x }. Sia x0 S, diremo che { x } converge ad x0 se

n n

si verifica la seguente condizione:

Lim { x } = x0 S

n

 

n x xo

n

Teorema 1 :dell’unicità del limite

Una successione di elementi di uno spazio metrico convergente, converge ad un

unico limite.

Sia ( S,d ) uno spazio metrico, ed { xn } una successione di elementi di S.

Supponiamo per assurdo che esistano due elementi distinti di S, x0 e x*, tali

che S S

 

x x0 x x*

n n

Essendo elementi distinti, d( x0,x* ) è maggiore di zero. Fissiamo ora

e = ½ d( x0, x* ). Per l’ipotesi di convergenza, sussistono le seguenti

condizioni

 

v’ : n > v’ d( xn, x0 ) < e

 

v’’ : n > v’’ d( xn, x* ) < e

Fissiamo n’ tale che n’ > max( v’, v’’).

d( xn’, x0 ) < e

d( xn’, x* ) < e

sommiamo membro a membro

d( xn’, x0 ) + d( xn’, x* ) < 2e

sostituiamo ad e

d( xn’, x0 ) + d( xn’,x* ) < d( x0, x* )

per la proprietà di simmetria

d( x0, xn’ ) + d( xn’, x* ) < d( x0, x*)

dalla proprietà triangolare

d( x0, x* ) <= d( x0, xn’ ) + d( xn’, x* ) < d( x0, x* )

d( x0, x* ) < d( x0, x* )

che è assurdo.

Successioni estratte

Data { x } una successione di elementi di S, e { Kn } una successione crescente di

n

elementi di N, la successione { x } si dice estratta da { x }.

Kn n

Teorema 2: Se una successione { x } converge ad x0, allora qualsiasi successione

n

estratta da { x } convergerà ad x0.

n

Data la convergenza della successione ad x0, vale la seguente

R

d( xn, x0 ) 0

che è una successione di numeri reali. Di conseguenza la successione

d( x , x0 ), estratta dalla prima, convergerà allo stesso limite, cioè zero. Ciò

Kn

basta a dimostrare che anche { x } tende a x0.

Kn

P n

Teorema 3: Sia S = R uno spazio metrico euclideo e { x } una successione di

elementi di S. Ogni elemento di questa successione avrà p componenti. Al variare di

n

n avremo quindi p successioni di numeri reali. Se { x } tende ad un elemento x*,

costituto da p componenti x*1,x*2, …… x*i, ……x*p, le successioni di numeri reali

n

ottenute dalle componenti di { x } tenderanno alla corrispondente componente di x*.

In simboli R

n

x1 x1*

.

p

R .

n

x x* .

.

R

n

xp xn*

parte I: 

Fissato e >0, per ipotesi, esiste v N tale che, qualunque n>v, risulta

n

d( x , x* ) <e

(x

n 2

i – x*i) < e

ma, evidentemente, vale la seguente

(x

n n 2

| x 1 – x*1 | <= i – x*i)

per la proprietà transitiva

n

| x 1 – x*1 | < e.

Abbiamo quindi dimostrato che, per qualunque valore di e, esiste

n

un indice v a partire dal quale, la successione { x 1 } tende a x*1.

Ripetiamo l’operazione per tutti gli indici fino a p e otteniamo la

tesi.

parte II: p

Fissiamo e > 0 e consideriamo e / , che è ancora maggiore di zero. Per

ipotesi esisterà un indice v1 a partire dal quale

n

| x1 - x*1| < e/p

eleviamo al quadrato

n 2 2

( x1 - x*1) < e / p.

Reiteriamo l’operazione fino a vp. Definiamo a questo punto

v’ = max( v1, v2 ……… vp)

Consideriamo n > v’. Sommiamo quindi le diseguaglianze così ottenute:

( n 2 2

xi – xi* ) < p ( e / p)

estraiamone la radice

( n 2

xi – xi* ) < e

che in sostanza vuol dire

n

x x*.

Successioni di Cauchy o fondamentali

Dato uno spazio metrico ( S,d ) e una successione { x } S, la successione si dice di

n

Cauchy se si verifica la seguente condizione

    

e > 0 v N : n,m > v d( x , x ) < e

n m

Teorema 4: Una successione convergente è di Cauchy.

Fissiamo un e > 0 e consideriamo ½ e. Supponiamo la successione { x }

n

convergente ad un limite x*. Esisterà allora un indice v’ a partire dal quale

d( x , x* ) < ½e. Siano quindi n ed m maggiori di v’. Per la proprietà

n

triangolare, possiamo scrivere

d( x , x ) <= d( x , x* ) + d( x*, x )

n m n m

Per la convergenza ad x*, possiamo maggiorare i termini a destra

d( x , x* ) + d( x*, x ) < ½ e + ½ e

n m

infine, per la proprietà transitiva

d( x , x ) < e

n m

Mostriamo con un contro esempio che il viceversa in generale non è valido.

Consideriamo la successione infinitesima { 1/n } in R. Essa è convergente a zero, di

conseguenza è una successione di Cauchy. Consideriamola ora nel sottoinsieme di

R ] 0, 1 ]. Essa è ancora di Caucy, ma non coverge in ] 0, 1].

Spazio metrico completo

Uno spazio metrico si dice completo se ogni sua successione di Cauchy è

convergente. Proviamo ora che uno spazio euclideo è completo.

n P

Sia { x } R una successione di Cauchy. Definiamo una diseguaglianza

|a1|

|a2|  ( 2 2 2

. a1 + a2 + ………. + an ) diseguaglianza A

.

. 

|an| n

Essendo { x } una successione di Cauchy, fissato un e>0, esisterà un indice v a

n m

partire dal quale d( x , x ) < e. Ossia

(( 

n m 2

xi – xi ) ) < e n,m > v

applichiamo la diseguaglianza A per le componenti 1 del vettore x:

((

n m n m 2

| x1 – x1 | < xi – xi ) ) < e

Ripetendo questa operazione per tutte le p componenti, ricaviamo che tutte le

successioni ottenute fissando l’indice al variare di n sono successioni di

Cauchy. Queste successioni appartengono ognuna all’insieme R. Per il

Teorema di Cauchy in R, convergono quindi tutte ad elementi di R, che

indicheremo con x*1, x*2, …… x*p. Infine, dal Teorema 3 ricaviamo quindi

n p

che la successione originaria { x } converge in R ad un elemento x*, di

componenti x*1, x*2 ………. x*p. 

n p

Teorema 5: Si abbia una successione { x } R limitata. Esisterà allora una sua

 P

estratta tendente ad x* R .

Teorema 6: Sia ( S,d ) uno spazio metrico, e X un suo sottoinsieme:

S

    

n n

x0 DX {x } X di elementi distinti tale che x x0

Insieme sequenzialmente compatto

Sia X un sottoinsieme di uno spazio metrico ( S,d ). Esso si dice sequenzialmente

compatto se è l’insieme vuoto, oppure da ogni successione di elementi di X se ne può

estrarre una convergente ad un elemento di X. X si dice invece relativamente

sequenzialmente compatto se la sua chiusura è un insieme sequenzialmente compatto.

Teorema 1 : Sia ( S,d ) uno spazio metrico ed X S diverso dall’insieme vuoto. Se X

è sequenzialmente compatto allora è anche chiuso e limitato

parte I: proviamo che X è chiuso

 n

X si dice chiuso se DX X. Pre il teorema 6, esiste una successione {x }

n

tale che x x0, x0 S. Essendo l’insieme X sequenzialmente

n Kn

compatto, possiamo estrarre da { x } una successione { x } tendente ad

x* X. Ma, per il Teorema 2 sulle Successioni estratte, e per l’unicità

del limite, x0 = x*. Da ciò x0 X.

parte II: proviamo che X è limitato. 

Supponiamo per assurdo che X non sia limitato, allora, fissato x0 S

 x1 : d( x1, x0 ) >1

 x2 : d( x2, x0 ) >2

.

.

.

 xn : d( xn, x0 ) >n

Otteniamo quindi una successione { xn } così definita

n

{ x } X : d( xn, x0 ) < n

Essendo X sequenzialmente compatto, esiste allora una successione

Kn n

{x } estratta da { x } convergente ad un certo x*S. Per cui, la

Kn

successione di numeri reali definita da d( x , x*) tende a zero; e una

successione di numeri reali convergente è limitata. Esiste quindi un

Kn

numero reale M positivo tale che d( x , x* ) <= M.

Applicando la proprietà triangolare

Kn Kn

d( x , x0 ) <= d( x , x* ) + d( x*, x0 ) <= M + d( x*, x0 )

essendo d( x*, x0 ) una quantità costante, poniamo L = M + d( x*, x0 )

Kn

d( x , x0 ) <= L

che contraddice l’ipotesi di illimitatezza di X.

Corollario 1: Sia ( S,d ) uno spazio metrico, e sia X un sottoinsieme non vuoto di S.

Se X è sequenzialmente compatto, allora esso è anche relativamente sequenzialmente

compatto.

Dal teorema 1, se X è sequenzialmente compatto, esso è chiuso, quindi X

coincide con la sua chiusura. Quindi la chiusura di X è sequenzialmente

compatta; per cui X è relativamente sequenzialmente compatto.

Corollario 2: Se X S è non vuoto e sequenzialmente compatto, allora X è limitato.

Se X è sequenzialmente compatto, lo è anche la sua chiusura. Quindi per il

teorema 1, la chiusura di X è un insieme chiuso e limitato. Essendo

_

X X

anche X è chiuso e limitato.

In generale, se X è limitato, non sempre è sequenzialmente compatto. Presi per

esempio S = Q e d( x,y ) = | x – y |, e preso X Q, consideriamo l’insieme

x = { ( 1 + (1/n)), n N }

si può dimostrare che questo insieme è limitato, ma non sequenzialmente compatto.

Teorema 2 : Sia X un sottoinsieme non vuoto di uno spazio metrico euclideo, allora

X è sequenzialmente compatto.

n

Sia { x } una successione di elementi di X. Essendo X limitato, allora anche la

successione sarà limitata. Essendo limitata, esisterà una sua estratta

Kn

convergente { x }(Teorema 5: ) ad x*. Per il Teorema 6: , x* appartiene

alla chiusura di X. Dato che X è chiuso, esso coincide con la sua chiusura,

quindi x* appartiene anche ad X.

Teorema 3 : Caratterizzazione degli insiemi sequenzialmente compatti negli spazi

euclidei.

 

p

Sia X R . X è sequenzialmente compatto X è chiuso e limitato

Corollario : Caratterizzazione degli insiemi relativamente sequenzialmente compatti

negli spazi euclidei. 

X è relativamente sequenzialmente compatto X è limitato  

Teorema 4 : Dato uno spazio metrico ( S,d ) e due insiemi X,Y tali che Y X S,

se X è sequenzialmente compatto ed Y è chiuso, allora Y è sequenzialmente

compatto

Teorema 5 di Bolzano : Sia X un sottoinsieme infinito e relativamente

sequenzialmente compatto di uno spazio metrico ( S,d ), allora DX = 0.

n

Essendo X infinito, si può costruire una successione { x } di elementi distinti

di X. Siccome X è compreso nella sua chiusura, allora la successione data starà

anch’essa nella sua chiusura. In oltre, essendo X relativamente

sequenzialmente compatto, la sua chiusura sarà un insieme sequenzialmente

compatto. Quindi esisterà una successione estratta dalla prima tale che

S _

Kn

{ x } x* X.

Quindi, dal Teorema 6 otteniamo la tesi.

Corollario : Teorema di Bolzano per gli spazi euclidei. P

Sia X un sottoinsieme infinito e limitato di uno spazio euclideo R . Allora DX è non

vuoto.

Se X è limitato, allora dal Teorema 3 si deduce che esso è sequenzialmente

compatto. Dal teorema di Bolzano infine troviamo che DX <> 0;

Distanza tra due insiemi

Dato uno spazio metrico ( S,d ) e due suoi sottoinsiemi X,Y non vuoti si definisce nel

seguente modo le loro distanza  

d(X, Y)= inf{ d(x, y) con x X, y Y }

Osservazione : se X Y <> 0 allora d( X, Y ) = 0.

 

Perché, preso x* X Y, d( x*, x*) = 0, ed x* appartiene sia ad X che ad Y.

 

Essendo { d( x, y ) con x X, y Y } un insieme di distanze, esso è costituito da

numeri non negativi, per cui, se lo zero appartiene a questo insieme, esso ne sarà

sicuramente l’estremo inferiore.

Il viceversa in genere non è valido. Prendiamo ad esempio S = R, X = [ 0, 1 ] ed Y

= ] 1, 0 ]. Allora d( X, Y ) = 0, ma la loro intersezione è l’insieme vuoto. Due insiemi

che non hanno elementi in comune, ma la cui distanza è zero, si dicono asintotici.

Funzioni 

Dati due spazi metrici ( S, d ) ed ( S’, d’ ), ed X S, definiamo funzioni definite in

un insieme X di uno spazio metrico S, a valori in un secondo spazio metrico S’, le

funzioni della forma

f : X S’

L’insieme delle immagini di X in S’ si indica con

f( X ) = { f( x ), x X }

Funzioni continue ed uniformemente continue

Una funzione f( x ) si dice continua nel punto x0 X se vale la seguente condizione

e     

> 0 d > 0 : x X I( x0, d ) d’( f(x), f(x0)) < e. 

Una funzione f(x) si dice continua nell’insieme x, se è continua in ogni punto x X.

Una funzione f(x) si dice uniformemente continua nel punto x0 X se vale la

seguente condizione

 

e > 0 d > 0 :

  

x’, x’’ X con d(x’, x’’) < d d’( f(x’), f(x’’)) < e 

Teorema 1 : Dati due spazi metrici (S, d), (S’, d’), un insieme X S, una funzione f

definita da X ad S’, un punto x0 X, f è continua nel punto x0 sse per qualunque

n

successione { x } X che tenda ad x0, la successione ottenuta dalle immagini degli

elementi della prima converga ad f( x0 ).

La dimostrazione è uguale a quella di analisi I.

Teorema di Waierstrass

Teorema 2( di Weierstrass) : dati due spazi metrici (S, d) ed (S’, d’), dato un insieme

 

sequenzialmente compatto X S, ed una funzione f : X S’ continua in X, allora

l’insieme f(X) è sequenzialmente compatto.

Prendiamo { y } una qualsiasi successione di elementi di f(X). Esisterà allora

n

una successione di elementi di X così costruita

{ x } = { x : y = f( x ) }.

n n n n

Essendo X sequenzialmente compatto, esisterà una successione { x },

Kn

estratta dalla precedente, tendente ad un certo x* X. Essendo infine f

continua in X, la successione { y } = { f( x ) } tendente ad f( x* ). Per ciò

Kn Kn

anche l’insieme f(X) è sequenzialmente compatto.

Osservazione 1 : Sia Y un sottoinsieme di R, non vuoto e limitato superiormente. Da

ciò si deduce che il suo estremo superiore esiste ed è finito. In oltre esso appartiene

_  

anche alla frontiera di Y. Dal teorema X = X X l’estremo inferiore di Y

appartiene anche alla sua chiusura.

Osservazione 2 : Sia Y un sottoinsieme di R limitato inferiormente. Allora il suo

estremo inferiore appartiene alla chiusura di Y.

Corollario 1 : Data una funzione f : [ a, b ] R, continua nell’intervallo [ a, b ],

valgono le seguenti

1) f è limitata in [ a, b ]

2) f ammette in [ a, b ] massimo e minimo

parte I: f è limitata in [ a, b ]

L’insieme [ a, b] è chiuso e limitato per il Teorema 3 : , esso è

sequenzialmenete compatto in R. Per il teorema di Weierstrass, anche

f([ a, b ]) è un insieme sequenzialmente compatto in R. Sempre per il

Teorema 3, quest’ultimo insieme è chiuso e limitato.

parte II : f ammette in [a, b] massimo e minimo.

Ossia esistono x’, x’’ X tali che

f( x ) <= f( x’ )  

f( x ) => f( x’’ ) x X

Abbiamo prima dedotto che l’insieme f( [a, b]) è limitato,

Dall’osservazione 1 ricaviamo che L = sup( f([a, b])) appartiene alla

chiusura di f([a, b]). Abbiamo prima però pure dedotto che f([a, b]) è

anche chiuso, per cui coincide esattamente con la sua chiusura. Da ciò L

appartiene ad f([a, b]).

Si svolge un’analoga dimostrazione per il minimo.

Corollario 2 : Preso X un sottoinsieme chiuso, limitato e non vuoto di uno spazio

metrico euclideo, ed f : X R una funzione continua in X, allora f è limitata in X ed

ivi ammette massimo e minimo.

Teorema di Cantor

Teorema 3 : Siano (S, d) ed (S’, d’) due spazi metrici, ed X un sottoinsieme non

vuoto di S. Sia infine f una funzione uniformemente continua da X a valori in S’.

Allora f è anche continua in X. Il viceversa in generale non è valido.

Teorema 4 (di Cantor): Siano (S, d) ed (S’, d’) due spazi metrici, sia X un 

sottoinsieme non vuoto e sequenzialmente compatto di S ed f una funzione f : X

S’ una funzione continua in X. Allora la f è anche uniformemente continua in X. La

dimostrazione si svolge per assurdo.

Corollario 3( Teorema di Cantor negli spazi euclidei): Sia X un sottoinsieme non

n

vuoto di uno spazio metrico euclideo R . Sia inoltre X chiuso e limitato. Data

una funzione f : X R, continua in X, essa è uniformemente continua in X.

Per il Teorema 3 , X è un insieme sequenzialmente compatto. Abbiamo così le

ipotesi del teorema di Cantor, per il quale la tesi.

Teorema 5: Sia (S, d) uno spazio metrico. Sia

  

n

f : X R continua nel punto x0 X. In ogni punto x X, la funzione f(x) si

può prendere in considerazione come una n-upla di numeri reali.

  

f(x) = ( f (x) R, f (x) R, ………. f (x) R)

1 2 n

Nascono in tal modo n funzioni che associano ad ogni elemento di x l’elemento

corrispondente della n - upla f(x). Le funzioni così ottenute sono tutte continue in x0.

Continuità delle funzioni composte

Teorema 6( di continuità delle funzioni composte) : Siano (S, d), (S’, d’), (S’’, d’’) tre

spazi metrici e valgano le seguenti ipotesi :

 

Y S’

 Y != 0

  

g : Y S’’ continua in y0 Y

 

X S

 X != 0

  

f : X S’ continua in x0 X

 cod f = Y

 f(x0) = y0

Allora la funzione h, ottenuta per composizione dalla g e dalla f, sarà ancora continua

in x0. h(x) = g(f(x))

h : X S’’

Dimostrazione: Fissiamo un e > 0, per la continuità di g in y0, esisterà un d’

per il quale y 

(1) d’’( g(y), g(y0)) < e I( y0, d’)Y.

Per la continuità della f in x0, esisterà inoltre un d’’, per il quale

x 

(2) d’( f(x), f(x0)) < d’ I( x0, d’’)X.

Poniamo d=d’’. 

Prendiamo un x XI(x0, d’’). Per la (2) d( f(x), f(x0))<d’. Per ipotesi

y0=f(x0). Possiamo quindi scrivere d( f(x), y0) < d’. Per cui f(x) I(y0, d’).

Alle f(x) così ottenute è quindi applicabile la diseguaglianza (1). In definitiva

d’’( g(f(x)), g(f(x0)) ) < e f(x), f(x0) : d( f(x), f(x0)) < d’

(3) d’’( h(x), h(x0) ) < e x, x0 : d( x, x0 ) < d

che esprime la continuità della funzione h nel punto x0.

  n

Corollario 4: Sia ( S, d ) uno spazio metrico. Siano X S ed Y R due insiemi non

 

vuoti. Data una funzione g : Y R continua in y0, ed n funzioni del tipo f : X R

i

tutte continue in x0. Valgano infine le seguenti

 x 

( f ( x), ………. f (x)) Y X

1 n

( f ( x0), ………. f (x0)) = y0.

1 n

La funzione h, ottenuta per composizione nel seguente modo

h(x) = g( f (x), ……….. f (x))

1 n

è allora continua nel punto x0.

Teorema della permanenza del segno e della

locale limitatezza

Dato uno spazio metrico ( S, d ), ed X un sottoinsieme non vuoto di S.


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DETTAGLI
Corso di laurea: Corso di laurea in matematica
SSD:
Università: Catania - Unict
A.A.: 2012-2013

I contenuti di questa pagina costituiscono rielaborazioni personali del Publisher Novadelia di informazioni apprese con la frequenza delle lezioni di Analisi Matematica 2 e studio autonomo di eventuali libri di riferimento in preparazione dell'esame finale o della tesi. Non devono intendersi come materiale ufficiale dell'università Catania - Unict o del prof Marino Mario.

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