Analisi A Colori - Analisi Matematica 1 e 2 per tutti!! Teoria ed Esercizi Svolti, Appunti di Analisi Matematica

20/3/2014 ANALISI 1

Permutazioni:

Un insieme di n oggetti, in quanti modi posso disporli?

Esempio: (a, b) → a, b; b, a → possibilità ⇒ 2!

(a, b, c) → abc, acb, bac, bca, cab, cba ⇒ 3! = 3 · 2 · 1 = 6

Disposizioni:

In quanti modi posso disporre n oggetti in un modo k?

N(N-1)(N-2)...(N-k+1) modo di disporre n oggetti k alla volta

Combinazione:

Combinazione di n elementi k a k

N(N-1)(N-2)...(N-k+1) / k! = k! / k!(N-k)! =

(\begin{vmatrix} N\\k\end{vmatrix})

Quantit tipi di Medie?

X, Y

Media aritmetica \(\frac{X+Y}{2}\)

Media geometrica \(\sqrt{XY}\)

Esiste una relazione?

\left(\frac{X-Y}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4} - \frac{xy}{2} ≥ 0

M_a = \left(\frac{X+Y}{2}\right)^2 = \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4}+ \frac{xy}{2}\)

\(\Rightarrow\) M_a ≥ M_g

\(xy/2 \leq \frac{x^2}{4} + \frac{y^2}{4}\)

Quindi secondo questo M_a ≥ M_g

\(i^{25} = ?\)

Le potenze di i fanno:

• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁵ = i

Esempio i¹²⁵

125 diviso 4 = 31, resto 1 quindi come i¹

i

Permutazioni:

Un insieme di n oggetti, in quanti modi posso disporli?

Esempio: (a,b) → a,b; b,a → Possibilità → 2!

(a,b,c) → abc, acb, bac, bca, cab, cba → 3! = 3⋅2⋅1 = 6

Disposizioni:

In quanti modi posso disporre n oggetti in un modo k?

N(N-1)(N-2) ... (N-k+1) modo di disporre n oggetti k alla volta

Combinazione:

N(N-1)(N-2) ... (N-k+1) / k!

k! / k!(N-k)! → ^NC_k

Combinazione di n elementi k a k

Quanti tipi di medie?

X, Y

Media aritmetica X+Y / 2

Media geometrica √XY

Esiste una relazione?

(^X-Y/₂)² =^X²/₄ + ^Y²/₄ - XY/₂ ≥ 0

M_a = ^(X+Y)/₂² =^X²/₄ +^Y²/₄ + XY/₂

M_a ≥ M_g

X Y / 2 ≤^X²/₄ +^Y²/₄

Quindi secondo questo

M_a ≥ M_g

(i)²⁵ = ?

Le potenze di i fanno:

i¹ = i

i² = -1

i³ = -i

i⁴ = 1

i⁵ = i

i⁶ = -1

i⁷ = -i

Esempio

125 diviso 4 = 31, resto 1 quindi come i¹

i

I NUMERI COMPLESSI

x²+4=0 NON HA SOLUZIONI IN ℝ

L'INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI È DATO DA ELEMENTI LA CUI FORMA È Q+bi DOVE q, b ∈ ℝ E SODDISFA CIO':

i² = -1

ESEMPIO: 3+i; 5i; √2 +5i; 2-i

AGGIUNTA PARTE REALE

PARTE IMMAGINARIA

COMPLESSO CONIUGATO

z=0+bi ➔ |z| = √(b²) = |b|

z̅=0-bi

ADDIZIONE

α+β = (a+bi) + (c+di) = (a+c) + (b+d)i

MOLTIPLICAZIONE

(a+bi)·(c+di) = (ac-bd) + (ad+bc)i

DIVISIONE

d̅ · B^-1

d/B = B^-1 · d̅

PROPRIETA

d+B = B+d ; (d+B) = d·B ; d ^-1 ≠1 quando ≠ 0

d·B = B·d ; (d·B)·3 = d(B·3) ; d+0=d; d·1=d; d+(–d)=0

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI NUMERI COMPLESSI

TRIGONOMETRICA

DATO Z=α+bi

COMPLESSO z̅ = z

W = (x,y) cosṡ((π) = 4 cqk 2 (4)+2=-1

cos(())(Q)=(;)(m)()

mod:_ω(n) o m)² = 1 ; W = () () (m(

qquidi qunquanto prima arressar può esse espresso anche se Z ({}). m=₀ e m ≤ 0,” e ℝ χr (Q+bi) ²

O=|z|cosn cos|z| cosn

b₁ = 213/. m=a(y z= (y [cos{} + 213

nn

Y/(cos{)}) cos[n) n (ω-tw-{cosi})

ni+Q)/(cos)+i sign[cos(ny- }

Teorema

Un enunciato la cui verità viene dimostrata per mezzo di una dimostrazione.

Ipotesi

Le circostanze che si assumono vere

Tesi

Le conseguenze che derivano dalle ipotesi attraverso una dimostrazione

(P(x) vera)

(P(x) implica Q(x))

• Ogni volta che è vera P(x) è vera Q(x)
• P(x) può essere vera solo Q(x) in qualche caso
• P(x) è condizione sufficiente per Q(x)
• Q(x) è condizione necessaria per P(x)

Dimostrazione diretta

Se P(x) => Q(x) e Q(x) => R(x) allora P(x) => R(x)

~P(x) => Negazione di P(x)

Se dimostrando che P(x) => Q(x) tramite ~Q(x) => ~P(x) è una dimostrazione per assurdo

Se P(x) =>Q(x) e Q(x) => P(x) P(x) e Q(x) equivalenti P(x) Q(x)

FUNZIONI

CHE COS'È UNA FUNZIONE?

f: R → R una trasformazione da un insieme A⊂R a un insieme B⊂R e la legge di trasformazione è univoca cioè: ∀x∈A f(x) è un unico elemento di B.

Una qualsiasi legge che corrisponde a queste caratteristiche è una funzione.

A → Dominio B → Coodominio o