Analisi A Colori - Analisi Matematica 1 e 2 per tutti!! Teoria ed Esercizi Svolti, Appunti di Analisi Matematica

20/01/2014 ANALISI 1

PERMUTAZIONI: Un insieme di n oggetti, in quanti modi posso disporli?

Esempio:

• (a, b) - a, b
• (b, a) - b, a

2 possibilità → 2!

• (a, b, c) → abc, acb, bac, bca, cab, cba → 3! = 3 · 2 · 1 = 6

DISPOSIZIONI: In quanti modi posso disporre n oggetti in un modo k?

modo di disporre n oggetti k alla volta

• (N - A)(N - 2)...(N - k + 1)

COMBINAZIONE:

COMBINAZIONE DI N ELEMENTI K O K

• N(N - 1)(N - 2)...(N - k + 1) / k! → ^ki⁄_{Ki!(N - ki)!}
• Si scrive anche così: ^N⁄_K

Quanti tipi di medie?

X, Y

Media Aritmetica (X+Y)/2

Media Geometrica √(XY)

Esiste una relazione?

• (x-y/2)² ≤ x²/4 + y²/4
• M_a ≥ M_g
• M_a = (x+y/2)² = x²/4 + y²/4 + xy/2
• xy/2 ≤ x²/4 + y²/4
• ⇒ M_a ≥ M_g
• Quindi secondo questo
• M_a ≥ M_g

(i)²⁵ = ?

• i⁰ = 1
• i¹ = i
• i² = -1
• i³ = -i
• i⁴ = 1
• i⁵ = i

Le potenze di i fanno: 1/i/-1/-i/-1-i-.....

Esempio

i¹²⁵

• 125 diviso 4 = 31, resto 1 quindi come i¹
• i

I NUMERI COMPLESSI

x²+4=0

NON HA SOLUZIONI IN R

L'INSIEME DEI NUMERI COMPLESSI È DATO DA ELEMENTI LA CUI FORMA È α+βi

DOVE α, β ∈ R E i SODDISFA CIOÈ:

i²=-1

ESEMPIO: 3+4i; 5√2; 2-i

COMPLESSO CONIUGATO = α-βi

ADIZIONE (α+βi) + (c+di) = (α+c) + (β+d)i

DIVISIONE

moltiplicando α-βi

PROPRIETÀ

(α+β)β = βα+βi

(d+β)γ = δ+β γ; δαδ^-1 se α≠0

DIVISIONE

α ÷ β = β^-1δ

(α·β)·γ = (δ·β)γ; γα+o=δ; δ·-α=δ; α-(-α)=0

RAPPRESENTAZIONE GRAFICA DEI NUMERI COMPLESSI

TRIGONOMETRIA

DATO Z=α+βi

w

|u|cosφ=1-4

cosα+1

[E,R∠](acosinw)

Z⁰ = |Z|⁰(cos(nθ) + i sin(nθ))

QUALI OPERAZIONI POSSO DEFINIRE SULLE FUNZIONI?

SOMMA

(f+g)(x) = f(x) + g(x)

PRODOTTO

(f·g)(x) = f(x) g(x)

QUOZIENTE

\(\left(\frac{f}{g}\right)(x) = \frac{f(x)}{g(x)}\)

RADICE

\(\sqrt{f(x)}\) se f(x) ≥ 0

COMPOSIZIONE DI 2 FUNZIONI

f: A → B

g: B → C

g∘f : A → C

Corti

(g∘f)(x) = g(f(x))

X fare ciò il dominio di g = al codominio di f

POSSO COMPORRE ANCHE 3 FUNZIONI

h∘g∘f : A → D

(h∘g∘f)(x) = h[(g∘f)(x)] = h(g(f(x)))

Attenzione!

g∘g ≠ g²

f(x) = x+1

g(x) = x²

(g∘f)(x) ⟹ g(f(x)) ⟹ g(f(x+1)) ⟹ (x+1)²

Attiva il quadrato alla sua funzione

(f∘g)(x) ⟹ f(g(x)) ⟹ f(x²) ⟹ (x²+1) ⟹ x²+1

Perché f(x) = x+1

Applica il +1 al suo elemento

f(m) = 3m+4

g(m) = 2m+5

(g∘f)(m) ⟹ g(f(m)) ⟹ g(3m+4) ⟹ 2(3m+4)+5

(f∘g)(m) ⟹ f(g(m)) ⟹ f(2m+5) ⟹ 3(2m+5)+4

x(x-2)(x+3) < 0

SEGNO DI 3 FATTORI

• x
• (x-2)
• (x+3)

{x < -3} ∪ {0 < x < 2}

FRATTA

(x-1) / (x+2) ≷ 0

• x+2

{x < 3} ∪ {x > 1}

OCCHIO :)

(x-1) / (x²-2x+1) ≤ 0

il denominatore è sempre positivoma è = 0 per x=1quindi x ≠ 1 per tutte le soluzioni

SISTEMI DI DISEGUAGLIANZEdevono essere verificate contemporaneamente

x-4 ≥ 2x (A)x² < 3x (B)

B)x²-1 ≥ 2x → Sottraggo 2x-x-1 ≥ 0 → tali ≤ 2-x ≥ 1x ≤ -1

GRAFICO DEL SEGNO

• x-3 < 0
• x-3 < 0

Non ci possono essere soluzioni perché i 2 risultati sono incompatibili.

Se x fosse così:

0 < x ≤ 3, Bx-1, A

Allora soluzione del sistemax < -1nessuna delle 3 sono valide

PRINCIPIO DI INDUZIONE

Supponiamo di avere proposizioni P(n) con n ∊ N-Verificato che P(a) è vera-Se P(k) è vera, si dimostra ke è vera P(k+1)Allora P(n) è vera per ogni n ∊ N con n≥1

Esempio

Sia N = 4ⁿ + 15n -1 e' vero che P(n): N è divisibile per 9, con N≥11) n=1 -> N=18 -> P(1) è vera2) P(n+1)

4ⁿ⁺¹ + 15(n+1) -1 = 4(4ⁿ + 15n -1) - 45n +18 = 4(4ⁿ + 15n -1) - 9(5n -2)Entrambi gli addendi sono divisibile per 9 (il 1° x induzione)Quindi P(n+1) è vera

BINOMIO DI NEWTON

(a+b)ⁿ = ⁿ∑_k=0 (n k) a^n-k b^k

STUDIO DI FUNZIONI E ALCUNI GRAFICI

• f(x), f(-x)
• af(x), f(x±h)
• ±f(x)

L'_x CAMBIAMENTO DI SEGNO SU DOMINIO

L'_y CAMBIO DI SEGNO SULL’IMMAGINE

TRASLAZIONE SUL DOMINIO

TRASLAZIONE SULL’IMMAGINE

y = ax² + bx + c

PARABOLA → U SUO, N suO

INTERSECA L’ASSE DELLE X SE L’EP. HA SOLUZIONI IN CAMPO REALE

NON INTERSECA L’ASSE DELLE X SE L’EP. NON HA SOLUZIONI IN CAMPO REALE

HA 1_x SOLUZIONE, SE HA IL VERTICE SULL’ASSE DELLE X

f(x) = ¹⁄_x x≠0

IPERBOLE LUOGO DEI PUNTI DOVE PF₂ - PF₁ = COSTANTE

QUESTA È UN’IPERBOLE, MA NON È UNA FUNZIONE XK HA 2 SOLUZIONI, È OVUNQUE A TUTTI I PUNTI.

Appuntiando Successioni:

Successione Convergente a L

∀ε>0 ∃N∈ℕ: ∀n≥N: |xₙ - L| < ε

Successione Divergente

∀M>0 ∃N∈ℕ: ∀n≥N ∈ℕ

Esempi Banal:

{2ⁿ} → {+∞} → ∞

Essere limitata ≠ Avere limite

Se la successione ha limite allora è limitata ma se è limitata non è detto che abbia limite.

Se è monotona crescente ammette limite e il limite è il sup (estremo superiore)

Se è monotona decrescente ammette limite e il limite è il inf (estremo inferiore)

Teorema dei Carabinieri

Se xₙ → L

zn → L

∀ ε>0 ∃N∈ℕ: ∀n≥N₁

L-ε < xₙ < L+ε

∀ ε>0 ∃N₂: ∀n≥N₂

L-ε < ∑n < L+ε

quindi ∀ε>0 ∃N: ∀n

cioè: L-ε< xₙ ≤ yₙ ≤ zₙ < L+ε

L≤ yₙ < L+ε

quindi yₙ → L

Esempio: xₙ≤ yₙ ≤ zₙ

se xₙ → -∞

e yₙ → ∞→∞

Dimostrare il Valore di un Limite

lim x→3 x = 3

|x - 1| < 8 ⟹ |3x - 3| < ε

3|x - 1| < ε ⟶ |x - 1| < ε/3 ∀ε >0 se ε/8 = ε/3

|x - 1| < ε ⟶ |x² - 1| < ε ⟶ |x + 1||x - 1| < ε

Proprietà e Teoremi dei Limiti

lim x→x₀ f(x) = L allora lim x→x₀ |f(x)| = |L|

vale solo in questa direzione

1. lim x→x₀ c = c
2. lim x→x₀ f(x) = cL
3. lim x→x₀ f(x)g(x) = L∗M
4. lim x→x₀ f(x)/g(x) = L/M

Teorema di Unicità del Limite

"Se il limite esiste è unico"

Teorema di Permanenza del Segno

Se lim x→x₀ f(x) = L > 0

allora ∃ intorno di x₀, ∀x ∈ X₀ ∃x₀ f(x) > 0