Analisi matematica 2 - i simboli e le operazioni fondamentali

Ensemble - question intuitive fondamentale

Concepts de base des ensembles

Ensemble: ensemble précis. Si x est un élément de I, on écrit x ∈ I, il existe x ∈ I. Si indiquer x n'est pas un élément de I, on écrit x ∉ I, x n'existe pas x ∉ I. Si E est un ensemble incluant des éléments qui appartiennent à I, on dit que E est contenu dans I (E sous-ensemble de I), alors on écrit E ⊆ I. La E ⊆ I, I ⊆ J alors E ⊆ J est transitive. E + I veut dire qu'il existe au moins un élément de l'un des deux qui n'est pas un élément de l'autre. Un ensemble pris de l'extérieur, on dit que c'est un ensemble vide (unique).

Pour indiquer un ensemble, Ou, on énumère tous les nombres. Lorsque, on spécifie une propriété que l'on veut que l'élément ait, par exemple: {x : x est un nombre pair} A, B, C sont des ensembles, indiquant l'union avec A ∪ B. L'union consiste des éléments qui appartiennent à au moins

Teoria degli insiemi - questioni introduttive fondamentali

Concetti base sugli insiemi

Insieme: concetto primitivo. Se x è un elemento di I (appartiene ad I) si scrive x ∈ I. Se invece x non è un elemento di I, si scrive x ∉ I. Se E è un insieme in cui elementi appartengono ad I, si dice che E è contenuto in I (E sottoinsieme di I), e si scrive E ⊆ I. Se E ⊆ I e I ⊆ E, allora E = I e viceversa. E + I vuol dire che esiste almeno un elemento di uno dei due che non è elemento dell'altro. Un insieme privo di elementi lo chiameremo insieme vuoto (unico).

Per indicare un insieme, o si elencano tutti i suoi elementi, oppure si specifica una proprietà che definisce tutti e soli gli elementi. Ad esempio {x : x è un numero pari}. Siano A, B, C insiemi, indichiamo con A ∪ B l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno degli insiemi A o B. Tale insieme si chiama unione di A e B. Analogamente si definisce l'unione di 3 o più insiemi.

• Intersezione: Indichiamo con A ∩ B l'insieme costituito degli elementi che appartengono sia ad A che a B. Tale insieme si chiama l'intersezione di A e B. L'intersezione tra A e B coincide con Φ se e solo se i due insiemi non hanno elementi in comune. Analogamente si definisce l'intersezione tra 3 o più insiemi.
• Differenza: Indichiamo con A \ B o A l'insieme di tutti gli elementi appartenenti ad A ma non a B, e si chiama differenza tra A e B. Se B è un insieme di OA, allora la differenza A \ B si chiama complementare di B in A, e si indica con B^C.

Proprietà degli insiemi

Valgono le seguenti proprietà: Siano A, B sottoinsiemi di M allora:

1. a ∩ M, G(a) = a
2. b x B ⊆ A allora G a ⊆ B
3. A ∩ A̅ = ∅, A ∪ A̅ = M
4. A ∪ B = B ∪ A (prop. commutativa)
5. A ∩ B = B ∩ A
6. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (prop. associativa)
7. A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
8. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (prop. distr.)
9. A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
10. A̅ ∪ B̅ = A ∩ B (formule di De Morgan)
11. A̅ ∩ B̅ = A ∪ B

Dimostrazione proprietà insiemistiche

Dimostriamo, ad esempio, la proprietà 3: Per provare che 2 insiemi sono uguali, è sufficiente mostrare che vale la doppia inclusione, cioè:

• A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)
• (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C)

Dimostriamo che per tutte X si ha la 1°: Se x ∈ A ∩ (B ∪ C), allora x ∈ A e x appartiene a B ∪ C. Se x ∈ B, allora x ∈ A e x ∈ B quindi x ∈ A ∩ B; Se x ∉ B, (poiché x ∈ B ∪ C) allora necessariamente x ∈ C, quindi x ∈ A ∩ C ovvero x ∈ B ∪ A ∪ C. Ricapitolando se x ∈ B, allora x ∈ A ∩ B; x ∉ B, allora x ∈ A ∩ C. In ogni caso x ∈ A ∩ B oppure x ∈ A ∩ C, quindi: x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C); Quindi se x ∈ A ∩ (B ∪ C) allora x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) da cui A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C).

Viceversa, proviamo che (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C). Sia x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), allora x appartiene ad almeno uno tra A ∩ B e A ∩ C; se x ∈ A ∩ B allora x ∈ A e x ∈ B ∪ C (per definizione di ∪); quindi x ∈ A ∩ (B ∪ C); se x ∈ A ∩ C allora x ∈ A e x ∈ B ∪ C, ed ancora x ∈ A ∩ (B ∪ C); In ogni caso quindi x ∈ A ∩ (B ∪ C); Allora, se x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) si ha x ∈ A ∩ (B ∪ C) Da cui (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C)

Funzioni o applicazioni tra insiemi

Siano A e B due insiemi; ed f una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B. La terna (A, B, f) si chiamerà funzione o applicazione di A in B e si indica con f : A → B; se A e B si dicono rispettivamente dominio e codominio; se x ∈ A, il corrispondente di x tramite f si indica con f(x), e si dicono immagine di x tramite f.

- Il sottoinsieme degli elementi di B che sono immagini di elementi secondo f si dice immagine di A secondo f e si indica con f(A). In simboli f(A) = { f(x), x ∈ A }.

Sia J un sottoinsieme di B, il sottoinsieme di Af^-1(J) = { x ∈ A : f(x) ∈ J } si chiama immagine inversa (o controimmagine) di J.

- Se f(A) = B, la funzione f si dice suriettiva.

- Una funzione f: A → B si dice iniettiva o invertibile se ∀ x, x' ∈ A, se f(x) = f(x') allora x = x' o equivalentemente se ∀ x, x' ∈ A con x ≠ x' si ha f(x) ≠ f(x') O ancora equivalentemente, dato un y ∈ f(A), l'equazione f(x) = y ammette una ed una sola soluzione x ∈ A.

- Se f: A → B è iniettiva, è ben definita una nuova applicazione detta inversa, con f^-1 da f(A) in A, tramite la legge ∀ y ∈ f(A), f^-1(y) = quell'unico x tale che f(x) = y f^-1: f(A) → A è una buona funzione inversa di f: A → B (o anche di f |_f(A)

Un'applicazione: f: A → B che sia iniettiva e suriettiva si chiama una applicazione biunivoca (o corrispondenza biunivoca).

Funzione composta

Siano f: A → B, g: C → D due funzioni con f(A) ⊆ C. Ogni x ∈ A, è ad ogni elemento x ∈ A, è associato ... Da f(A) ⊆ C, si ha f(x) ∈ C, quindi è associato un unico elemento g(f(x)) ∈ D. Di conseguenza, ad ogni elemento x ∈ A è associato un unico elemento di D, l'elemento g(f(x)). La funzione che ad ogni elemento di x ∈ A associa si chiama funzione composta tramite f e g. g o f.

Sia f: A → B una funzione invertibile. L'inversa di f: A → f(A) si verifica che:

1. (f o f^-1)(y) = y ∀ y ∈ f(A), una
2. (f^-1 o f)(x) = x ∀ x ∈ A, una

- Id_A : A ⟶ A è l'applicazione identità su A, cioè l'operazione che ad ogni elemento di A associa se stesso. Analogamente si definisce Id_B (A).

Relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine

Sia X un insieme, a e b elementi di X si può ordinare (a, b) intendiamo e e g tramite un ordine stabilito. Si nota la differenza tra l'insieme {a, b} e il un certo l'ordine rispetto {a, b} = {b, a} mentre (a, b) ≠ (b, a) (x ≠ 1) e si uguagliano (a, b) = (e, d) se e solo se a=c e b=d.

- Date 2 insiemi A e B, si chiama prodotto esterno di A e B e si indica con A x B, l'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a e A e b e B.

- Sia f : A ⟶ B un'applicazione. L'insieme Graf f = {(x, f(x)) : x e A} A x B si dicono grafico di f. Nel caso particolare in cui si considera B = A, un sottoinsieme di A x A si dicono una relazione binaria in A. Dicono che una relazione binaria R su A è una relazione di equivalenza in A se soddisfa le seguenti tre proprietà:

1. Riflessiva cioè ∀(x, x) ∈ R, ∀x ∈ A;
2. Simmetrica cioè se (x, y) ∈ R, allora anche (y, x) ∈ R;
3. Transitiva cioè se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, allora anche (x, z) ∈ R.

Dato un insieme A, si dice che una relazione R in A è una relazione di ordinamento (o ordinamento) in A se gode delle seguenti proprietà:

1. Transitiva;
2. Antisimmetrica cioè se (x, y) ∈ R allora (x, y) ∈/ R;

In questo, nel caso di relazione di ordine, anziché scrivere (x, y) ∈ R scriviamo x < y oppure y > x. Un insieme A è detto parzialmente ordinato se in A è assegnata una relazione d'ordine <. Un ordinamento in A è detto totale se inoltre vale la proprietà: ∀ x, y ∈ A, con x ≠ y, o x < y, oppure y < x

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore

Sia A un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato M. Un elemento m ∈ A, si dice massimo di A se, se x ∈ A, x ≤ m. Il massimo, se esiste è unico, si indica con max A. Un elemento m ∈ M si dice minimo di A se ∀ x ∈ A, m ≤ x. Il minimo, se esiste è unico, si indica con min A. Il max e il min di un insieme non essendo detto da estremo.

Un elemento m₁ ∈ M si dice maggiorante di A se ∀ x ∈ A, x ≤ m₁. Non è detto che per un dato insieme esistano maggioranti. Se in M esiste un maggiorante di A, si dice che A è limitato superiormente in M.

Diciamo che un elemento y di M è un estremo superiore di A se:

1. y è un maggiorante di A;
2. ∀ a ∈ M, con a maggiorante di A, y ≤ a,

Cioè y è il minimo dei maggioranti di A. Equivalentemente y ∈ M è un estremo superiore di A se e solo se:

1. y è un maggiorante ∀ b ∈ M con b < y allora ∃ x ∈ A tale che y ≥ x (cioè y non < maggiorante).

L'estremo superiore se esiste è unico e si indica con sup A. In maniera analoga si definiscono limitato inferiormente ed estremo inferiore. Ogni insieme non vuoto e contenuto di un numero finito di elementi ha sempre un estremo superiore ed un estremo inferiore, che coincide del max e min. Ha un massimo attivamente infinito A di I non è necessariamente limitato, ed anche se è limitato, non è detto che possieda un sup o inf. Infatti, ad esempio, consideriamo un insieme talmente definito M l'insieme Q dei numeri razionali con l'ordinamento naturale e come A il sottoinsieme di Q A = { x ∈ Q : 0 < x < 2 }

Verifichiamo che non esiste alcun razionale L con quadrato fra 2, infatti se a/b ∈ Q (con p, q naturali e primi fra loro) tale che (a/b) = 2, ovvero p² = 2 q². Se p è dispari, anche p² è dispari, quindi p² ≠ 2q² poiché 2q, 2³ = pari. Necessariamente p è 2 pari, ovvero p = 2 p¹ con p numero naturale quindi p² = 4(p¹)² ⇒ 4p¹² = 2q² cioè q² = 2p¹² ⇒ q non può essere dispari. Da cui p e q non pari, quindi hanno divisori comuni in contrasto che l'insieme deriva proprio fra loro.