Analisi matematica 2 - i simboli e le operazioni fondamentali

"Ensemble" - question intuitive fondamentale

• Ensemble: ensemble précis.
• Si x est un élément de I, on écrit x ∈ I, il existe x ∈ I.
• Si indiquer x n'est pas un élément de I, on écrit x ∉ I, x n'existe pas x ∉ I.
• Si E est un ensemble incluant des éléments qui appartiennent à I, on dit que E est contenu dans I (E sous-ensemble de I), alors on écrit E ⊆ I.
• La E ⊆ I, I ⊆ J alors E ⊆ J est transitive.
• E + I veut dire qu'il existe au moins un élément de l'un des deux qui n'est pas un élément de l'autre.
• Un ensemble pris de l'extérieur, on dit que c'est un ensemble vide (unique).
• Pour indiquer un ensemble, Ou, on énumère tous les nombres. Lorsque, on spécifie une propriété que l'on veut que l'élément ait, par exemple: {x : x est un nombre pair}
• A, B, C sont des ensembles, indiquant l'union avec A ∪ B.
• L'union consiste des éléments qui appartiennent à au moins

Teoria degli insiemi - questioni introduttive fondamentali

• Insieme: concetto primitivo.
• Se x è un elemento di I (appartiene ad I) si scrive x ∈ I.
• Se invece x non è un elemento di I, si scrive x ∉ I.
• Se E è un insieme in cui elementi appartengono ad I, si dice che E è contenuto in I (E sottoinsieme di I), e si scrive E ⊆ I.
• Se E ⊆ I e I ⊆ E, allora E = I e viceversa.
• E + I vuol dire che esiste almeno un elemento di uno dei due che non è elemento dell'altro.
• Un insieme privo di elementi lo chiameremo insieme vuoto (unico).
• Per indicare un insieme, o si elencano tutti i suoi elementi, oppure si specifica una proprietà che definisce tutti e soli gli elementi. Ad esempio {x : x è un numero pari}.
• Siano A, B, C insiemi, indichiamo con A ∪ B l'insieme costituito dagli elementi che appartengono ad almeno uno dei due insiemi.

uno degli insiemi A o B. Tale insieme si chiama unione di A e B.

Anologamente si definisce l'unione di 3 o più insiemi.

- Indichiamo con

A ∩ B

l'insieme costituito degli elementi che appartengono sia ad A che a B.

Tale insieme si chiama l'intersezione di A e B.

- L'intersezione tra A e B coincide con Φ se e solo se i

2 insiemi non hanno elementi in comune.

- Analogamente si definisce l'intersezione tra 3 o più insiemi.

- Indichiamo con

A \ B o A

l'insieme di tutti gli elementi appartenenti ad A ma non a B, e si chiama

differenza tra A e B.

- Se B è un insieme di OA, allora la differenza A \ B

si chiama complementare di B in A, e si indica con B^C.

- Valgono le seguenti proprietà:

3

Siano A, B sottoinsiemi di M allora:

1. a ∩ M, G(a) = a
2. b x B ⊆ A allora G a ⊆ B
3. c A ∩ A̅ = ∅, A ∪ A̅ = M
4. d A ∪ B = B ∪ A (prop. commutativa)
5. d A ∩ B = B ∩ A
6. 2) A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C (prop. associativa)
7. 2') A ∩ (B ∩ C) = (A ∩ B) ∩ C
8. 3) A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) (prop. distr.)
9. 3') A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)
10. 4) A̅ ∪ B̅ = A ∩ B (formule di De Morgan)
11. 4') A̅ ∩ B̅ = A ∪ B

Dimostriamo, ad esempio, la 3)

Per provare che 2 insiemi sono uguali, è sufficiente mostrare

che vale la doppia inclusione, cioè

- 4 -

A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊆ A ∩ (B ∪ C)

Dimostriamo che per tutte X si ha la 1°:

Se x ∈ A ∩ (B ∪ C), allora x ∈ A e x appartiene a B ∪ C.

Se x ∈ B, allora x ∈ A e x ∈ B quindi x ∈ A ∩ B;

Se x ∉ B, (poiché x ∈ B ∪ C) allora necessariamente x ∈ C,

quindi x ∈ A ∩ C ovvero x ∈ B ∪ A ∪ C.

Ricapitolando se x ∈ B, allora x ∈ A ∩ B;

x ∉ B, allora x ∈ A ∩ C.

in ogni caso x ∈ A ∩ B oppure x ∈ A ∩ C, quindi:

x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

Quindi

Quindi se x ∈ A ∩ (B ∪ C) allora x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

da cui A ∩ (B ∪ C) ⊆ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C);

- 5 -

Viceversa, proviamo che (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C),

Sia x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C), allora x appartiene ad almeno unotra A ∩ B e A ∩ C;

se x ∈ A ∩ B allora x ∈ A e x ∈ B ∪ C (per definizione di ∪);

quindi x ∈ A ∩ (B ∪ C);

se x ∈ A ∩ C allora x ∈ A e x ∈ B ∪ C, ed ancorax ∈ A ∩ (B ∪ C);

In ogni caso quindi x ∈ A ∩ (B ∪ C);

Allora, se x ∈ (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) si ha x ∈ A ∩ (B ∪ C)

Da cui (A ∩ B) ∪ (A ∩ C) ⊂ A ∩ (B ∪ C), da cui tec

Funzioni o applicazioni tra insiemi.

Siano A e B due insiemi; ed f una legge che ad ogni elemento di A fa corrispondere uno ed un solo elemento di B. La terna (A, B, f) si chiamerà funzione o applicazione di A in B e si indica con f : A → B ;

se A e B si dicono rispettivamente dominio e codominio; se x ε A, il corrispondente di x tramite f si indica con f(x), e si dicono immagine di x tramite f.

- Il sottoinsieme degli elementi di B che sono immagini di elementi secondo f si dice immagine di A secondo f e si indica con f(A). In simboli f(A) = { f(x), x ε A }.

Sia J un sottoinsieme di B, il sottoinsieme di A

f^-1(J) = { x ε A : f(x) ε J }

si chiama immagine inversa (o controimmagine) di J.

- Se f(A) = B, la funzione f si dice suriettiva.

- Una funzione f: A → B si dice iniettiva o invertibile se

∀ x, x' ∈ A, se f(x) = f(x') allora x = x' o equivalentemente

se ∀ x, x' ∈ A con x ≠ x' si ha f(x) ≠ f(x')

O ancora equivalentemente, dato un y ∈ f(A), l' equazione

f(x) = y

ammette una ed una sola soluzione x ∈ A

- Se f: A → B è iniettiva, è ben definita una nuova applicazione

detta inversa, con f^-1 da f(A) in A, tramite la legge

∀ y ∈ f(A), f^-1(y) = quell' unico x tale che f(x) = y

f^-1: f(A) → A è a buona funzione inversa di f: A → B (o anche di f |_f(A)

Un' applicazione: f: A → B che sia iniettiva e suriettiva si chiama

una applicazione biunivoca (o corrispondenza biunivoca)

Funzione composta

Siano f: A → B, g: C → D 2 funzioni

f(A) ⊆ C.

Ogni x ∈ A, è ad ogni elemento x ∈ A, è associato ...

Da f(A) ⊆ C, si ha f(x) ∈ C, quindi è associato

Un unico elemento g(f(x)) ∈ D.

Di conseguenza, ad ogni elemento x ∈ A è associato unico elemento di D, l'elemento g(f(x)).

La funzione che ad ogni elemento di x ∈ A associa

Si chiama funzione composta tramite f e g.

g o f .

Sia f: A → B una funzione invertibile

L'inversa di f: A → f(A) si verifica che

1. (f o f^-1)(y) = y ∀ y ∈ f(A), una
2. (f^-1 o f)(x) = x ∀ x ∈ A, una

- S -

Id_A : A ⟶ A è l'applicazione identità su A, cioè l'operazione che ad ogni elemento di A associa se stesso. Analogamente si definisce Id_B (A).

Relazioni di equivalenza e relazioni d'ordine

Sia X un insieme, a e b elementi di X si può ordinare (a, b) intendiamo e e g tramite un ordine stabilito. Si nota la differenza tra l'insieme {a, b} e il un certo l'ordine rispetto {a, b} = {b, a} mentre (a, b) ≠ (b, a) (x ≠ 1)

e si uguagliano (a, b) = (e, d) se e solo se a=c e b=d.

- Date 2 insiemi A e B, si chiama prodotto esterno di A e B e si indica con A x B, l'insieme delle coppie ordinate (a, b) con a e A e b e B.

- Sia f : A ⟶ B un'applicazione. L'insieme

Graf f = {(x, f(x)) : x e A} A x B

x dicono grafico di f.

Nel caso particolare in cui si considera B = A, un sottoinsieme di A x A si dicono una relazione binaria in A.

Dicono che una relazione binaria R su A è una relazione di equivalenza in A se soddisfa le seguenti tre proprietà:

1. riflessiva cioè ∀(x, x) ∈ R, ∀x ∈ A;
2. simmetrica cioè se (x, y) ∈ R, allora anche (y, x) ∈ R;
3. transitiva cioè se (x, y) ∈ R e (y, z) ∈ R, allora anche (x, z) ∈ R.

Dato un insieme A, si dice che una relazione R in A è una relazione di ordinamento (o ordinamento) in A se gode delle seguenti proprietà:

1. transitiva;
2. antisimmetrica cioè se (x, y) ∈ R allora (x, y) ∈/ R;

In questo, nel caso di relazione di ordine, anziché scrivere (x, y) ∈ R scriviamo x < y oppure y > x.

Un insieme A è detto parzialmente ordinato se in A è assegnata una relazione d'ordine <.

Un ordinamento in A è detto totale se inoltre vale la prop.:

a) ∀ x, y ∈ A, con x ≠ y, o x < y, oppure y < x

Dati due elementi x, y ∈ A la notazione

x ≤ y

vuol dire x = y oppure x < y

Massimo, minimo, estremo superiore, estremo inferiore

Sia A un sottoinsieme di un insieme totalmente ordinato M.

- Un elemento m ∈ A, si dice massimo di A se,

se x ∈ A, x ≤ m.

Il massimo, se esiste è unico, si indica con max A

Un elemento m ∈ M si dice minimo di A se

∀ x ∈ A, m ≤ x.

Il minimo, se esiste è unico, si indica con min A.

Il max e il min di un insieme non essendo detto da estremo.

12

Un elemento m₁ ∈ M si dice maggiorante di A se

∀ x ∈ A, x ≤ m₁.

Non è detto che per un dato insieme esistano maggioranti.

Se in M esiste un maggiorante di A, si dice che A è limitato superiormente in M.

Diciamo che un elemento y di M è un estremo superiore di A se

1. y è un maggiorante di A;
2. ∀ a ∈ M, con a maggiorante di A, y ≤ a,

Cioè y è il minimo dei maggioranti di A.

Equivalentemente y ∈ M è un estremo superiore di A se e solo se

1. y è un maggiorante
2. ∀ b ∈ M con b < y allora ∃ x ∈ A tale che y ≥ x (cioè y non < maggiorante).

L'estremo superiore se esiste è unico e si indica con sup A.

In maniera analoga si definiscono limitato inferiormente ed estremo inferiore.

Ogni insieme non vuoto e contenuto di un numero finito di elementi ha sempre un estremo superiore ed un estremo inferiore, che coincide.

Del max e min. Ha un massimo attivamente infinito A di I non e necessariamente limitato, ed anche se e limitato, non è detto che possieda un sup o inf.

Infatti, ad esempo, consideriamo un insieme talmente definito M l'insieme Q dei numeri razionali con l'ordinamento naturale e come A il sottoinsieme di Q

A = { x ∈ Q : 0 < x < 2 }

Verifichiamo che non esiste alcun razionale L con quadrato fra 2, infatti se _a/_b ∈ Q (con p, q naturali e primi fra loro) tale che (_a/_b) = 2, ovra p² = 2 q².

Se p e dispari, anche p² e dispari, quindi p² ≠ 2q² poiché 2q, 2³ = pari.

Necessariamente p è 2 pari, ovra p = 2 p¹ con p numero naturale quindi p² = 4(p¹)² ⇒ 4p¹² = 2q² cioé q² = 2p¹²

⇒ q non può essere dispari Da cui p e q non pari, quindi hanno divisori comuni in contrasto che l'insieme deriva proprio fra loro.