Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare - Teoria B

Geometria e Complementi di Analisi

Spazi Vettoriali

Operazioni:

• Intersezione

U ∩ W = {v ∈ V | v ∈ U e v ∈ W} sottospazio di V e chiuso rispetto alle due comb. lineare

• Unione

U ∪ W = {v ∈ V | v ∈ U o v ∈ W} non è sottospazio di V e X, non chiuso rispetto alla somma

esempio unione di 2 vettori appartenenti a 2 rette non in l // da altrfera retta

• Somma

U + W = {v ∈ V | v = u + w con u ∈ U e w ∈ W} minimo sottospazio di V che contiene sia U che W

teor. vettori di U e W si sommano in maniera unica ⇒ U ∩ W = {0} ?

dim. per assurdo

v = u₁ + w₁ = μu₂ + ωw₂ con u₁,u₂ ∈ U e w₁,w₂ ∈ W ⇒ (u₁ - μu₂) = (ωw₂ - w₁) per Hp \ {0} ⇒ u₁ - μu₂ ∈ U ∩ W unicità dei vettori ⇒ u₁ = μu₂ w₁ = w

• Somma Diretta

U ⊕ W = U + W con U ∩ W = {0}

Formula di Grassmann

U e W sottospazi di V con dim V = n ⇒ dim(U + W) = dim U + dim W - dim(U ∩ W)

corollario dim(U ⊕ W) = dim U + dim W

dim (U + W) rispetto la somma in insieme di somme dirette

dim _{V₁ V₂ ... Vr} U ∩ W = dim(U ∩ W)

V_r+1 V_r+1 ... V_r+s estendo ad U ⊃ base ⇒ dim U = s

W_t+1 ... W_s+t estendo a W ⊃ base ⇒ dims + t

V_{1 ... Vr ... Us U1+1**t-1**}

U_s U_{1+1 = t+1t}

U_{t+1⊕ Ut ...}

Generatori di x v = n +

• L.i.: ∑ αˣᵢ = ḱ = t + ∑ 'α\ = f = j

= &1 [∑ α=β = β₁ + ℇ] ^{[∑αᵢ = 0]} Σ₂ = generato da y

V₁, V₂, ..., V_r, U_r+1, ..., U_s, W_s+1, ..., W_t = BASE di U∩V

dim(U∪V) = r + (s-r) + (t-r) = s+t-r

esempio:

U₁ = (1,0,0,-1)

dimU = 2 ↔ x₁,x₂ c.l.

U₂ = (0,1,0,1)

x₁U₁ + x₂U₂ = (x₁,x₂,0,x₂-x₁) = (0,0,0,0)

(x₁ = 0

x₂ = 0

x₂-x₁ = 0

→ x₁,x₂ = 0

dimV = 2 ↔ c.a v₁,v₂ v.l.

U∩V =

dim(F+V) dimU + dimV - dimU∩V = 3

APPLICAZIONI LINEARI

f: V → W corrispondenza univoca tra 2 spazi vettoriali che soddisfa le

proprietà di linearità:

- somma f(v₁ + v₂) = f(v₁) + f(v₂) V v₁,v₂∈V

- prod. esterno f(αv₁) = αf(v₁) ∀ α∈IR

esempio

→ Rⁿ → R^m

- V → V è app.un.

x₁+x₂ = y₁

2x₁−x₂ = y₂

f(x₁,x₂) = (y₁,y₂,y₃)

In generale f: Rⁿ → R^m

trasformo il sistema lineare

MATRICE del tipo (m,n)

Matrici particolari a matrice quadrata di ordine n

• Simmetrica A = A^T ⇔ ele. = ele. in posizioni simmetrica rispetto diag. principale → generatore
• Emi-simmetrica A = -A^T ⇔ ele. = -ele. opposti in posizione simmetrica rispetto diag. princ. → generatore
• Triangolare - Alta A_ik = 0 ∀ i > k, ele. sotto diag. princ. nulli
• Bassa A_ik = 0 ∀ i < k, ele. sopra diag. princ. nulli
• Diagonale A_ik = 0 ∀ i ≠ k, elem. non della diag. princ. sono nulli
• Inversa AB = I t.c. BA = I con B unica

Dim per assurdo B,C inverse di A AB = BA = I AC = CA = I ⇒ B = BA^-1 = (AC)^-1 = (BC)^-1 = C^-1 ⇒ C = B

Det AB, se A^-1 ⇒ (AB)^-1 = B^-1A^-1 Dim (AB)^-1 I (B^-1A^-1)(AB) = B^-1(A^-1A)B = B^-1I = I

NB Mat: singolare, non ammette inversa, non singolare ammette inversa

A scala

• le righe con soli zeri sono le ultime e quelle c. non tutte loro sottozeri hanno il primo zero, non nullo (Pivot) che occupa posto a dx dei primi elem. non nulli delle righe precedenti
• Variabili dipendenti: colonne in cui si trova il pivot, corrispondo a incognite
• Variabili indipendenti: colonne in cui non c'è, assegno un valore arbitrario

⇒ ottengo sistema con a triangolare, risolvibile per sostituzione dal inferiore soluzione ∞ o n - k con n incognite k = pivot

esempio A = [_4x4]

trovare inversa B t.c. AB = I

A non ammette inversa

Rappresentazione matriciale di sist. lineari

• ∑_j=1^m a_ij x_i = b_i ⇔ Ax = b con i = 1, ..., m
• A = [a₁₁ ... a_1m]

teo: Ax = b dove risultato è comb. lineare deí vettori colonna A e coeff. che sono i coefficienti di x

⇒ risolvere Ax = b significa determinare i coefficienti x_i delle comb. lineari che esprimono b per mezzo delle colonne di A

• b = x₁A₂ + x₃A₂ + ... + x_nA_n

MATRICI 3° ORDINE

A = |a₁₁ a₁₂ a₁₃| |a₂₁ a₂₂ a₂₃| |a₃₁ a₃₂ a₃₃|

6 PERMUTAZIONI POSSIBILI

datA = a₁₁a₂₂a₃₃ + a₃₁a₁₂a₂₃ + a₂₁a₃₂a₁₃ - (a₂₁a₁₂a₃₃ + a₃₁a₂₂a₁₃ + a₁₁a₃₂a₂₃)

REGOLA DI SARRUS:

• addendi PARI
• addendi DISPARI

Teor. BINET

det(A·B) = detA · detB NB det(A·A^-1) = detA · detA^-1 = 1 → det(A^-1) = (detA)^-1

(A·B) = ∑_i=1ⁿ a_ij1b_j1j2

A_ij = ∑_m^PERMUTAZIONI

Teor. LAPLACE

detA = ∑_j=1ⁿ a_ijA_ij = detA è la somma dei prodotti degli elementi di una colonna ai i-esimi per l'oponente algebraico F_ik

∑_j=1ⁿ a_ijA_ij con j ≠ k

1. detA ≠ 0 ⟺ LE RIGHE (COLONNE) sono L.I.
2. detA = 0 ⟺ LE RIGHE (colonne) sono L.D.

MOT. 2 attuendo operazioni elementari che agiscono sulle righe

A = U^-1 A U = _{λ1 0}/^{0 λ₂} Mat. Diagonabilabile

- A Diagonabilabile &(exist;) H t.c. Δ = H^-1 ΔH . Δ_AU = H^-1 A H

Esempio

Trovare simmetria rispetto la bisettrice

f : R² → R²

f(x₁, x₂) = (x₂, x₁)

f(e₁) = (0, 1)

f(e₂) = (1, 0)

(x'₁, y'₁) = (x'₁, y'₁) con #_F = _{4 0}/^{0 -1}

λ₁ = 1

λ₂ = -1

Cambio di Base

μ₁ (1, 2) → μ₁ (2, 0)

μ₂ (0, 1) → μ₂ (1, -1)

∴ v = _{1 0}/^{2 1} x = _{1 0}/^{2 1} x

U’ = _{2 1}/^{0 -1}

det(λI -A) = 0

Assegnato‿corrisondente