Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare - Teoria B

Geometria e Complementi di ANALISI

SPAZI VETTORIALI

OPERAZIONI:

• INTERSEZIONE ∩ w={v∈V | v∈U e v∈W}
• UNIONE ∪ w=[v∈V | v∈U o v∈W] non e sotto spazio di ℝ x non chiuso rispetto alle somme esempio: unione di 2 sotto appartenenti a 2 rette non li ↑ appartenenti ↑ ad un'altra retta
• SOMMA O + W = {v ∈ V | v = u + w con u ∈ U e v ∈ W} Minima sottospazio di V che contiene sia O che W Teor. vettori da O u w si scrivono in maniera unica => O ∪ W = {0} Per Assurdo v = u1 + w1 = u2 + w2 con u1, u2 ∈ U e w1, w2 ∈ W => (u1 - u2), (w1 - w2) ∈ O ∪ W per hp ; {0} => u1 = u2 Unicita dei vettori W = w
• SOMMA DIRETTA O ∪ W = O + W con O ∪ W = {0}

FORMULA di GRASSMANN

U e W sottospazi di V con dimV = n => dim(O + W) = dimU + dimW - dim(O ∩ W)

Corollario dim(O ∩ W) = dimU + dimW .- rispetto alla somma insieme di somme dirette

Dim V1, V2 = BASE di O ∩ W => dim(O ∩ W)=r O={v1, v2, v1+1, u1+2 ... us, è esteso da V u 1/2 base = dim U = s

• v1, V2, v1+1, ... vs, us e estendo ad V2 /2 base = dim W = t
• ... V1, V2, v1+t = Us 0, u 1+ terzo 0 us t
• us, u (1+t) ... us e base di O ∪ W

sono generatori di V; us := generatori di sottospazi

• Li.
• $∑αiV1 + ∑ β i Vs + ∑ γ i u 1 + ... ... = 0
• (∑α i Vi), (B Ei t + ∑ s Ev t = 0 =>

passo scrittura maniera unica _V1 + (V1^2

Geometria e Complementi di ANALISI

Spazi Vettoriali

Operazioni:

• Intersezione: U ∩ W = {v | v ∈ U e v ∈ W} è sottospazio di V (è chiuso rispetto alle due operazioni).

• Unione: U ∪ W = [v | v ∈ U o v ∈ W] non è sottospazio di V (non chiuso rispetto alla somma).

  esempio: unione di 2 vettori appartenenti a 2 rette non // : altri appartengono ad un'altra retta.

• Somma: U + W = {v ∈ V | v = u + w, con u ∈ U e w ∈ W}

  Minimo sottospazio di V che contiene sia U che W.

  Teorema: vettori di U e W si scrivono in maniera unica → U ∩ W = {0}

  Dim per assurdo

  v = u₁ + w₁ = u₂ + w₂ con u₁,u₂ ∈ U e w₁,w₂ ∈ W

  → (u₁ - u₂) = - (w₁ - w₂) ∈ U ∩ W per HP

  Es.; 0 → u₁ = u₂ unicità dei vettori

• Somma Diretta: U ⊕ W = U + W con U ∩ W = {0}

Formula di Grassmann

• U e W sottospazi di V con dimV = n → dim(U + W) = dimU + dimW - dim(U ∩ W)

  Corollario: dim(U ∪ W) = dimU + dimW

  sfrutto la somma in insieme di somme dirette.

Dim → v₁,v₂ = base di U ∩ W → dim(U ∩ W) = t

• v₁, v₂, ..., vₜ, uₜ+₁, ..., uₛ = estendo ad U / 2 base → dimU = s
• v₁, v₂, ..., vₜ, wₜ+₁, ..., wᵗ = estendo a W / 2 base → dimW = t
• v₁, v₂,...vₜ, uₜ+₁,...u, wᵀ+₁,...wᵘ = base di U ∩ W

Sono generatori X e L →

• Li → αVi + βWi = O
• αLi Vi + βLi W = Li Vi + Ei Wij

→ unica

→ β₁, β₂ ≠ 0   ∀ λ  anche λ ≠ 0

0 − 0   sono L.I.

V₁, V₂,V_t+r₁, ... ,v_s, V_t+r base di J∩V

U_s è BASE di J∩U

→ dim(J∩U)   =   r + (s − r) + (t − r)   = s + t − r

Esempio:

u₁ = (1,0,0,-1)

u₂ = (0,1,0,1)

dim J = 2   kk L.I.

x₁u₁ + x₂ u₂ = (x₁,x₂,0,x₂−x