Analisi Matematica 2 e Complementi di Algebra Lineare - Teoria A

GEOMETRIA e COMPLEMENTI di ANALISI

ALGEBRA dei VETTORI

VETTORE: ente matematico utilizzato x identificare un fenomeno quando non è sufficiente un NUMERO REALE SCALARErappresentato da un SEGM. ORIENTATO

• NORMA: lung. |V| = AB
• DIREZ. retta di appartenenza
• VERSO
• Frecce
• O = AA (punto origine)

DEF: 2 SEGM. ORIENTATI AB, CD si dicono EQUIVALENTI se e...oppure 1)A-B, C-D (estrabili nulli)2) AB, CD (nella stessa retta mettono uguale il modulo e verso opposto)3) AB, CD restano opposti e complementari orientati in un parallelogramma

Proprietà:

• RIFLESSIVA: AB = AB
• SIMMETRICA: AB = CD = CD = AB
• TRANSITIVA: AB = CD e CD = EF => AB = EF (applicabile per stessi vettori, punto medio dello stesso verso della direzione stessa retta)

OPERAZIONI sui VETTORI

1. SOMMA e DIFFERENZARegola del PARALLELOGRAMMA:che ha per lati 2 addendi (NB: se U e V sono 1 la somma coincide con la somma dei segn. sulla stessa retta)Proprietà:
• COMMUTATIVA: V+U = U+V
• ASSOCIATIVA (U+V)+W = (U+V)+W
• Zero
• Opposto U+(-U) = 0 (U = -U) t.c. U+V = 0
2. PRODOTTO ESTERNOSCALARE
• NORMA: |αU| = |α||U|
• DIREZ.: U
• VERSO: U a > 0, -U a < 0

Proprietà:

• DISTRIBUTIVA: Scalare (x+β)U = αU+βUvettore (U+V) = αU+αV
• ASSOCIATIVA (αβ)U = α(βU)
• UNITA 1U = U
• Opposto -1U = -U
3. COMBINAZIONE LINEARE: vengono U1, V2, ... Vn a coeff α1x1, α2x2, ...nC1 U α1V1 + ... α1Vn...R
4. Combinazione lineare di 1 solo vettore: sulla stessa retta generato da V se v = o stesso raggio di Un combinazione lineare di 2 vettori: V=αU+βW
5. combinazione lineare sempre 3 vettori (α), combinato con W genera tutti i vettori dello stesso span, W è sempre il suo ortogonale a una base a coppie

GEOMETRIA e COMPLEMENTI di ANALISI

ALGEBRA dei VETTORI

VETTORE: ente matematico utilizzato per identificare un fenomeno quando non è sufficiente un numero reale x scalare

• rappresentato da un SEGM. ORIENTATO
• NB VETTORE (x)
• O = A (punto)
• NORMA lunghezza IVI = AB
• DIREZ del retta a cui appartiene
• VERSO Freccia x

DEF: 2 SEGM. ORIENTATI AB, CD si dicono EQUIPOLLENTI se x = B oppure 1)A, B, C, D - (Estrabilis nulli)

• 2) AB, CD APA stessa retta, modulo e verso
• 3) AB, CD 1 est. opporsi Y equivalente orientati di un parallelogramma
• Proprietà: RIFLESSIVA AB = AB
• SIMMETRICA AB = CD = CD = AB
• TRANSITIVA AB = CD = CD = EF = AB = EF

OPERAZIONI sui VETTORI

1. SOMMA e DIFFERENZA

Regola del PARALLELOGRAMMA

- diagonale del parallelogramma che per lati 2 addensati

NB se u e v sono I somma colineali con la somma dei segm. sulla stessa retta

• Commutativa: v + u = v
• Associativa: u + (v + w) = (u + v) + w
• Zero: u + 0 = u
• Opposto: u + (-u)= 0 t.c. u + (-u)=0

2. PRODOTTO ESTERNO

Scalare { NORMA: |α. u| = |u| se α = 0 DIREZ: u se α = 0 VERSO: u se α > 0 -u se α < 0

Propri: DISTRIBUTIVA scalare (x+β)u = αu+βu VETTORE: (u+v)α = αu+αv ASSOCIATIVA (αβ)u = (βα)u UNITA α = u OPPOSTO -u = u

COMBINAZIONE LINEARE: v1, v2, ..., vn a coeff. a1, a2, ..., an

1. comb. lineare di 1 solo vettore: u stessa retta generato da v se x è
2. comb. lineare di 2 vettore: x = αu+βw
3. comb. lineare di 3 vettore: x = αu+βv+βw

Rappresentazione Analitica

Sistema di riferimento composto da terne ordinate di numeri reali che rappresentano un vettore attraverso le sue componenti.

e corrispondenza biunivoca (^V space R³) terna ordinata di reali.

3 vettori i, j, k linearmente indipendenti

Nel nullo 2 a 2 → max 11 = n Vett. Basi Ute = Span

Proiettando il vettore u in maniera || ad ogni vettore i, j, k ottengo un'iso R Ultraice:

u = ai + bj + ck

componenti delle somme devono essere ordinatamente. Definire

Elementi ordinati dei 2 vettori x₁y₁ + x₂y₂ + x₃y₃

Com. del prod. est. x: V solo date del prod. di ogni componente dei vettori a seconda (x₁, x₂, x₃) → (x₁y₂ - x₂y₁, x₁y₂ + x₂y₃)

Abbiamo introdotto in P3 l'operatore di somma e prodotto est.

Base ortonormale: (Destorsa)

Assumo che i vettori i, j, k abbiano norma unitaria

Versori 1, e siano 2 a due ortogonali

• i . j = 0
• i . k = 0
• j . j = 0
• ∧ↅ i = j ∧ z ⦷ i = j ∧ y album

3. Prodotto scalare

V x V → R

u x v = ||u|| ||v|| cos (u,v) se (u,v) ≠ 0 in questo caso u x v = 0 cond. = Necess. & Suffic.

• → Misurare segmento → scelgo unità di misura AB → x
• → Misurare angolo → Radiante unità di misura intrinseca

^R_A ^_V