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f: E ⊆ ℝn → ℝ
Definizione di Limite:
Sia (Xk)k ∈ ℕ una successione di punti di ℝn.
Dico che Xk →k→∞ y ∈ |Xk - y| → 0.
Def.
Si dice intorno aperto di X0 ∈ ℝn l'insieme VR(X0) = {X ∈ ℝn t.c. |X - X0| < R}
Def.
Sia f: E ⊆ ℝn → ℝ definita almeno in un intorno sferico di X0 ∈ ℝn. Sia l ∈ ℝ oppure l = ±∞.
Dico che
limX→X0 f(X) = l se ∀ successione (Xk)k ∈ ℕ di punti di ℝn t.c. limk→∞ Xk = X0 si ha
limk→∞ f(Xk) = l.
Def.
(definizione ε-δ di limite) Sia f: E ⊆ ℝn → ℝ definita almeno in un intorno sferico di X0 ∈ ℝn e non l ∈ ℝ.
Dico che
limX→X0 f(X) = l se ∀ ε > 0 ∃ δ t.c.
|f(X) - f(x)| < ε e |X - X0| < δ, X ≠ X0
OSS
Nella def. precedente, di norma viene richiesto che x n ≠ x0 per x abbastanza grande. Con questa convenzione si ha quanto segue.
Teorema
Sia L ∈ ℝ e f ∈ C(ℝ\ℝ) → ℝ, def. denuncia un intorno sferico di x0. Allora le due def. di limite prima date sono equivalenti.
OSS
lim f(x) = +∞ x → x0vale ⟺ { f(x) ≥ M ∀ |x - x0| < d ϵ attorno, x ≠ x0
Valgono i seguenti risultati:
- unicità del limite
- algebra dei limiti
- teorema del confronto
- la def. di funzione continua è analoga a quella monodimensionale. Dico che f: ℝ → ℝ è continua in x0 se lim f(x) = f(x0). x → x0
- teorema di permanenza del segno lim f(x) = L > 0 ⇒ f(x) > 0 ∀ |x-x0| < d, x ≠ x0 x → x0
Teorema (degli zeri): Sia E un insieme compatto di Rm e si supponga che f: E → R sia continuo e ∃X0, X1 con f(X0) < 0, f(X1) > 0.
Allora ∃X t.c. f(X) = 0.
Def:
Il vettore ∂f/∂x1(x), ∂f/∂x2(x), ..., ∂f/∂xn(x) associato a f: ℝⁿ → ℝ se ammette tutte le derivate parziali nel punto x si dice gradiente di f in x e si indica con ∇f(x).
Def:
(Formale) Sia f: ℝⁿ → ℝ. Dico che f è differenziabile in x0 se ∃ a ∈ ℝⁿ tale che
f(x0 + h) = f(x0) + a . h + φ(||h||) dove φ(||h||)/||h|| → 0
Teorema:
Se f è differenziabile in x0, allora sono esistenti e sono continui in x0 tutti i laici di f in x0. Inoltre il vettore a che componi nella def di differenzenibilità coincide con ∇f(x0).
Dim:
Sia h = hei con h → 0. Si ha
f(x0 + hei) = f(x0) + hai + σ(|h|) cioè
f(x0 + hei) - f(x0)/h = ai + σ(1) cioè
limh→0 f(x0 + hei) - f(x0)/h = ai cioè ∂f/∂xi(x0) = ai
Via Quindi f è derivabile in x0 e ∇f(x0) = a
es.
f(x,y)= x2y/x2+y2 se (x,y)≠(0,0)
f(0,0)=0 (x0,y0)=(0,0) γ=(cosθ senθ)
g(t)=f(tcosθ tsenθ)= t3cos2θ tsenθ/t2cos2θ + t2sen2θ t≠0
g(t)= cos2θsenθ/[t2cos2θ + sen2θ] -t[tcos2θ + sen2θ] - t[2tcos2θ]
g'(t)= cos2θsen3θ/-sen3θ -cos2θ/sen2θ a θ≠0,π
⇒ Dγf(0,0)=cos2θ/sen3θ θ≠0,π
∂f/∂x (0,0)=0
f(x,x)= x3/x4+x4 - 1/2
kx3/x4+kx2 ⟶ 0
x⟶0
1/2
N.B.
f ha tutte le derivate direzionali in x0
(n=2) sia X0 = (x0, y0)
Consideriamo la funzione
nell'insieme [x0-δ, x0+δ] × [y0-δ, y0+δ]
con f t.c. in tale insieme le derivate
si definisca
Q=f(x0+h, y0+k) - f(x0, y0+k) - f(x0, y0) per h, k t.c.
|h|, |k| < δ
Valo posto
u(t)=f(x0+th, t) - f(x0, t)
Lagrange
Q=ṽ(y0+δ₁k) - ṽ(y0)
= ṽ'(y0+δ₁k)k
appartiene
Ma ṽ'(y0+δ₁k) = ∂f∂y(x0+th, y0+δ₁k)
∂f∂y(x0, y0+δ₁k)
Ancora per il II Lagrange applicato a
v(t)= ∂f∂y(t, y0+δ₁k)
si avrà allora che
Q=k[∂f∂x∂y(x0+δ₃h, y0+δṅk)h] per un prossimo
Notiamo inoltre che, posto
w(t)=f(t, y0+k) - f(t, y0)
vale Q=w(x0+h)·ẇ(x0)
Allora Q=ẇ'(x0+δ₃h)h
=∂f∂x(x0+δ₃h, y0+tk)
=∂²f∂y∂x(x0+δ₃h, y0+δ₄n)k·h
Ci chiediamo sotto quali condizioni pr(HP(x0)) ha un segno ∀h con h piccolo.
Def. Sia A∈M(m;m) simmetrica di elementi aij, la quantità q(h) := ∑i,j=1 aijhihj, h∈ℝn si dice forma quadratica associata ad A.
24-05-13
Def. Sia q(h) una forma quadratica. Dicesi che q è definita positiva (resp. negativa) se q(h)≥0 (resp. q(h)≤0) ∀h≠0. Dicesi che q è semidefinita positiva (resp. negativa) se q(h)≥0 (resp. q(h)≤0) ∀h e ∃h≠0 t.c. q(h)0; q(h2)0 e detA≥0.
q(h) è negativa se a
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