f: E ⊂ ℝⁿ → ℝ
Definizione di limite:
Sia (Xₖ)k∈ℕ una successione di punti di ℝⁿ.
Dico che Xₖ → y se |Xₖ - y| → 0
k→∞ k→∞
Def. Si dice intorno generico di X₀ ∈ ℝ l'insieme
VR(X₀) = {X ∈ ℝⁿ t.c. |X - X₀| < R}
Def. Sia f:E⊂ℝⁿ → ℝ definita almeno in un
intorno sferico di X₀ ∈ ℝⁿ. Sia L ∈ ℝ oppure
L = ±∞ Dico che
limX→X₀ f(X) = L se ∀ successione (Xₖ)k=1⁺⁰ di
punti di ℝⁿ t.c. limk→⁺∞ Xₖ = X₀, si ha
limk→⁺∞ f(Xₖ) = L
Def. (definizione ε-δ di limite). Sia f: E⊂ℝⁿ → ℝ
definita almeno in un intorno generico di
X₀ ∈ ℝⁿ e non L ∈ ℝ. Dico che:
limx→x₀ f(X) = L se ∀ ε > 0 ∃ δ t.c.
|f(X) - f(X₀)| < ε se |X - X₀| < δ X ≠ X₀
f: E ⊂ IRⁿ → IR
dominio
Definizione di Limite.
Sia (Xk)k∈N una successione di punti di IRⁿ.
Dico che Xk → Y se |Xk - Y| → 0
k → +∞ k → +∞
Def.
Si dice intorno sferico di Xo ∈ IR l'insieme
UR(Xo) = { X ∈ IRⁿ t.c. | X - Xo | < R }
Def.
Sia f: E ⊂ IRⁿ → IR definita almeno in un
intorno sferico di Xo ∈ IRⁿ. Sia L ∈ IR oppure
L = ±∞ Dico che
lim f(X) = L se ∀ successione (Xk)k=1+∞ di
X→Xo
punti di IRⁿ t.c. lim Xk = Xo si ha
k→+∞
lim f(Xk) = L
k→+∞
Def.
(definizione ε-δ di limite). Sia f: E ⊂ IRⁿ → IR
definita almeno in un intorno generico di
Xo ∈ IRⁿ e non L ∈ IR. Dico che
lim f(X) = L se ∀ε > 0 ∃δ t.c.
X→Xo
| f(X) - f(Xo) | < ε e | X - Xo | < δ X ≠ Xo
OSS:
Nella def. succ. di norma viene richiesto che Xn ≠ Xo per N abbastanza grande. Con questa convenzione si ha quanto segue.Teorema:
Sia I ⊆ ℝ e f: E ⊂ ℝᵐ → ℝ, def. di E un intorno sferico di Xo. Allora le due def di limite prima date sono equivalenti.OSS:
limx→x₀ f(X) = +∞vale ⟺ f(X) > M ∀x |X-X₀| ≤ δ se esistono, X ≠ Xo
Valgono i seguenti risultati:
- unicità del limite
- algebra di limiti
- teorema del confronto
- la def di funzione continua è analoga a quella monodimensionale (<sup>f: Iℝm → ℝ </sup> e continua in Xo ⟺ limx→x₀ f(X) = f(Xo))
- teorema di permanenza del segno limx→x₀ f(X) = L > 0 ⟹ f(X) > 0 ∀ |X-X₀| < δ; X ≠ Xo
p(x,y) = xy/x2 + y2 (x,y) ≠ (0,0)
lim (x,y) → (0,0) p(x,y)
Prendiamo punti particolari:
y = kx k ε ℜ
f(x, kx) = x kx/x2 + k2 x2 = k/1 + k2 ∀ x
es: p(x,y) = x2 y/x2 + y2 (x,y) ≠ (0,0)
coordinate polari
- x = ρ cos θ
- y = ρ sen θ
p(x,y) = ρ2 cos2 θ ρ sen θ/ρ2 = |ρ cos2 θ sen θ| < ρ 0 ∃ δ t.c. |p(x,y) - 0| < ε α
(x,y) - (0,0) ≤ δ, cioè |p(x,y)| < ε
- x2 + y2 ≤ δ, il che vale con δ = ε nel caso preso
Se f: Rm → R e t.c. |f(x) - L| ≤ g(|x - x0|)
con g(ρ) → 0,
ρ → 0
⇒ lim x→x0 f(x) = L
Def:
Insieme di livello di f: Rm → R Dato c ∈ R,
si definisce insieme di livello di f alla
quota c l'insieme Ec := {x ∈ Rm t.c. f(x) = c}
Def:
Sia E ⊂ Rm Sia X0 ∈ E
- X0 si dice interno a E se ∃ un intorno
- sferico di X0 che sia contenuto in E
- X0 si dice esterno a E se ∃ un intorno
- sferico di X0 che sia contenuto in Ec
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