Analisi matematica 2

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Appunti del corso di Analisi 2 del Professore Grillo per il corso di laurea in ingegneria meccanica, energetica e aerospaziale. Le parti di Algebra lineare ed equazioni differenziali li trovate …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria industriale

Dal corso del Prof. Grillo Gabriele

Università Politecnico di Milano

A.A. 2012-2013

80 pagine

Appunto

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Definizione di limite

f: E ⊂ ℝⁿ → ℝ

Sia (Xₖ)_k∈ℕ una successione di punti di ℝⁿ. Dico che Xₖ → y se |Xₖ - y| → 0 k → ∞ k → ∞

Intorno generico

Def. Si dice intorno generico di X₀ ∈ ℝ l'insieme V_R(X₀) = {X ∈ ℝⁿ t.c. |X - X₀| < R}

Limite mediante successioni

Def. Sia f:E⊂ℝⁿ → ℝ definita almeno in un intorno sferico di X₀ ∈ ℝⁿ. Sia L ∈ ℝ oppure L = ±∞. Dico che lim_X→X₀ f(X) = L se ∀ successione (Xₖ)_k=1⁺⁰ di punti di ℝⁿ t.c. lim_k→⁺∞ Xₖ = X₀, si ha lim_k→⁺∞ f(Xₖ) = L

Definizione ε-δ di limite

Def. (definizione ε-δ di limite). Sia f: E⊂ℝⁿ → ℝ definita almeno in un intorno generico di X₀ ∈ ℝⁿ e non L ∈ ℝ. Dico che: lim_x→x₀ f(X) = L se ∀ ε > 0 ∃ δ t.c. |f(X) - f(X₀)| < ε se |X - X₀| < δ X ≠ X₀

f: E ⊂ IRⁿ → IR dominio

Definizione di limite

Sia (X_k)_k∈N una successione di punti di IRⁿ. Dico che X_k → Y se |X_k - Y| → 0 k → +∞ k → +∞

Intorno sferico

Def. Si dice intorno sferico di X_o ∈ IR l'insieme U_R(X_o) = { X ∈ IRⁿ t.c. | X - X_o | < R }

Limite mediante successioni

Def. Sia f: E ⊂ IRⁿ → IR definita almeno in un intorno sferico di X_o ∈ IRⁿ. Sia L ∈ IR oppure L = ±∞. Dico che lim f(X) = L se ∀ successione (X_k)_k=1^+∞ di X→X_o punti di IRⁿ t.c. lim X_k = X_o si ha k→+∞ lim f(X_k) = L k→+∞

Definizione ε-δ di limite

Def. (definizione ε-δ di limite). Sia f: E ⊂ IRⁿ → IR definita almeno in un intorno generico di X_o ∈ IRⁿ e non L ∈ IR. Dico che lim f(X) = L se ∀ ε > 0 ∃ δ t.c. X→X_o | f(X) - f(X_o) | < ε e | X - X_o | < δ X ≠ X_o

Osservazioni e teoremi

OSS: Nella def. succ. di norma viene richiesto che Xn ≠ Xo per N abbastanza grande. Con questa convenzione si ha quanto segue.

Teorema: Sia I ⊆ ℝ e f: E ⊂ ℝᵐ → ℝ, def. di E un intorno sferico di Xo. Allora le due def di limite prima date sono equivalenti.

OSS: lim_x→x₀ f(X) = +∞ vale ⟺ f(X) > M ∀ x |X-X₀| ≤ δ se esistono, X ≠ Xo

Valgono i seguenti risultati:

Unicità del limite
Algebra di limiti
Teorema del confronto
La def di funzione continua è analoga a quella monodimensionale (<sup>f: Iℝ^m → ℝ </sup> e continua in Xo ⟺ lim_x→x₀ f(X) = f(Xo))
Teorema di permanenza del segno lim_x→x₀ f(X) = L > 0 ⟹ f(X) > 0 ∀ |X-X₀| < δ; X ≠ Xo

Esempi di limiti

p(x,y) = ^xy/_{x² + y²} (x,y) ≠ (0,0) lim (x,y) → (0,0) p(x,y)

Punti particolari

Prendiamo punti particolari: y = kx k ε ℜ f(x, kx) = ^{x kx}/_{x² + k² x²} = ^k/_{1 + k²} ∀ x

Coordinate polari

Es: p(x,y) = ^{x² y}/_{x² + y²} (x,y) ≠ (0,0)

Coordinate polari x = ρ cos θ; y = ρ sen θ; p(x,y) = ^{ρ² cos² θ ρ sen θ}/_ρ² = |ρ cos² θ sen θ| < ρ

0 ∃ δ t.c. |p(x,y) - 0| < ε α(x,y) - (0,0) ≤ δ, cioè |p(x,y)| < ε; x² + y² ≤ δ, il che vale con δ = ε nel caso preso

Se f: R^m → R e t.c. |f(x) - L| ≤ g(|x - x₀|) con g(ρ) → 0, ρ → 0 ⇒ lim _x→x₀ f(x) = L

Insieme di livello

Def: Insieme di livello di f: R^m → R. Dato c ∈ R, si definisce insieme di livello di f alla quota c l'insieme E_c := {x ∈ R^m t.c. f(x) = c}

Punti interni ed esterni

Def: Sia E ⊂ R^m. Sia X₀ ∈ E. X₀ si dice interno a E se ∃ un intorno sferico di X₀ che sia contenuto in E. X₀ si dice esterno a E se ∃ un intorno sferico di X₀ che sia contenuto in E^c

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