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Determinare il dominio D delle seguenti funzioni:
- f(x,y) = ln(1 - x2 - y2)
- f(x,y) = ln(x2 + y2)
- f(x,y) = √(y2 - x2)
- f(x,y) = ln(xy2 + x2y)
OSS:
- D ⊆ ℝ
- D ⊆ ℝ2
- (x,y) ∈ D ⟶ f(x,y)
- z = f(x,y)
1) 1 - x2 - y2 > 0
x2 + y2 < 1
Df = {(x,y) ∈ ℝ2 | x2 + y2 < 1}
2) f(x,y) = ln(x2 + y2)
x + y ≥ 0
∀(x,y) ∈ ℝ2 - {(0,0)}
3)
y2 - x2 > 0
y ≥ x
y ≤ -x2 ∨ y ≥ x2
opposte
(y - x2)(y + x2) ≥ 0
I ≥ 0 → y ≥ x2
II ≥ 0 → y ≥ -x2
4)
-xy2 + x2y > 0
xy(x + y) > 0
I: x > 0
II: y > 0
III: y ≥ -x
Def: {(x, y) ∈ ℝ2 | (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y ≥ -x) ∨ (x > 0 ∧ y < -x)}
f(x,y) = 0
x = √1-x2-y2 = 0
f(x,y) > 0 ∀(x,y)∈D
CURVE DI LIVELLO
f(x,y) = c
1) \( \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{2xy}{x^2 + y^2} \)
\( x = \rho \cos \theta \)
\( y = \rho \sin \theta \)
\( \theta \in [0,2\pi] \)
\( \Rightarrow \lim_{{\rho \to 0^+}} \frac{2 \rho \cos \theta \rho \sin \theta}{\rho^2} = \lim_{{\rho \to 0^+}} 2 \cos \theta \sin \theta = 0 \)
2) \( \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} (x^2 + y^2) \log \frac{1}{x^2 + y^2} = \lim_{{\rho \to 0^+}} \rho^2 \log \frac{1}{\rho^2} \)
\( = \lim_{{\rho \to 0^+}} \frac{\log \rho^{-2}}{\rho^{-2}} = \lim_{{\rho \to 0^+}} \frac{-2 \log \rho}{\rho^{-2}}\)
\( = \lim_{{\rho \to 0^+}} \frac{-2}{\rho^{-2}(-\frac{1}{\rho})} = 0 \)
3) \( \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{\sin xy}{y} = \lim_{{(x,y) \to (0,0)}} \frac{\sin xy}{xy} \cdot x = 0 \)
4) \( \lim_{{(x,y) \to (2,4)}} \frac{(y+1) \sin \pi x}{(x-2)^2 + (y-4)^2} = \lim_{{(t,s) \to (0,0)}} \frac{2 \sin (\pi (t + 2))}{(t + s)} \)
\( (x,y) \to (0,0) \)
\( x = 2 + t \to t \)
\( y = 1 + s \to 1 + s \)
\( = \lim_{{\rho \to 0^+}} \frac{\rho \sin \theta \sin (\pi \cos \theta)}{\rho^2} = 0 \)
es.
Studiare la continuità di
-
f(x,y) = xy/x2 + y2 (x,y) ≠ (0,0)
-
0 (x,y) = (0,0)
f è continua ∀ (x,y) ≠ (0,0)
lim(x,y)→(0,0) xy/√(x2 + y2) = limρ→0 ρcosθ&sinθ/ρ = 0
f è continua nell'origine
es.
-
(x+y)2/x2 + 4y2 (x,y) ≠ (0,0)
-
0 (x,y) = (0,0)
Studiare dove è continua
es. ∀(x,y) ∈ &R;2 (x,y) ≠ (0,0)
Stabilire se ciascuna delle seguenti funzioni è derivabile in (0,0)
1)
- f(x,y) = xy/x2+y2, (x,y) ≠ (0,0)
- = 0, (x,y) = (0,0)
a)
- ∂f/∂x(0,0) = limh→0 [f(h,0) - f(0,0)] / h = 0
- ∂f/∂y(0,0) = limk→0 [f(0,k) - f(0,0)] / k = 0
oppure (uso restrizione linee della definizione)
b)
- lungo asse x (y=0)
- g(x) = f(x,0) = 0
- è derivabile
- lungo asse y (x=0)
- h(y) = f(0,y) = 0
- è derivabile
Dvf(0,0) = limt→0 (f(tcosθ, tsenθ) - f(0,0)) / t
v = (cosθ, senθ)
per tutte le direzioni
= limt→0 t2(cos3θ + sen3θ) / t3 = 0 / t
= cos3θ + sen3θ
θ = 0 ottengo ∂f/∂x(0,0) = (1)
θ = π/2 ottengo ∂f/∂y(0,0) = 1
anche con le restrizioni
g(x):= f(x,0) = x
g'(x) = fx(x,0) = 1
Analogamente per la y
Formula del gradiente
f è differenziabile in (x0, y0) → Duf(x0, y0) = ∇f(x0, y0) u
Es. 26.05.13
Q: Calcolare la derivata direzionale della funzione f(x,y) = log(x2 - y2 + 1) nel punto (√2, 0) nella direzione del vettore u (¾,⅖).
u = u⁄|u| = &left(4⁄5, 3⁄5&right)
∇f(x,y) = &left(-∂f⁄∂x(x,y), -∂f⁄∂y(x,y)&right) = &left(-&frac{2x}⁄(x2 - y2 + 1), -&frac{2y}⁄(x2 - y2 + 1)&right)
Duf(√2,0) = &left(√2⁄3, 0&right) ˙ &left(4⁄5, 3⁄5&right) = 8⁄15√2
QSS: Altro modo per ottenere il gradiente
∇f(√2, 0) g(x) = f(x,0) = log(x2 + 1) g'(x) = &frac{-2x}⁄(x2 + 1)
∂f⁄∂x(√2,0) = g'(√2) = 2√2⁄3
h(y) = f(√2, y) = log(-y2 + 3)
h'(y) = -&frac{2y}⁄(-y2 + 3) h'(0) = 0 ∂f⁄∂y = 0
Derivazione della Funzione Composta
Teorema
1). Sia z = f(x, y) differenziabile e sia g(t): ℝ → ℝ derivabile, sia inoltre
h(x, y) = g(f(x, y)) : ℝ2 → ℝ
Allora ∇h(x, y) = g'(f(x, y)) ∇f(x, y)
Es. Sia U(x, y) = -K/√(x2+y2) il potenziale elettrico generato da una carica puntiforme. Det il campo elettrico E generato dalla carica
(∇U := E )
U(x, y) = K/√(x2+y2) ρ(x, y) = √(x2+y2) g(ρ) = K/ρ
U(x, y) = g(ρ(x, y)) g'(ρ) = -K/ρ2 ∇ρ = (x/√(x2+y2), y/√(x2+y2))
∇U(x, y) = g'(ρ(x, y)) ∇ρ(x, y)
= -K/x2+y2 ( x/√(x2+y2), y/√(x2+y2))
E(x, y) = ∇U(x, y) = ( -Kx/(x2+y2)3/2, -Ky/(x2+y2)3/2 )
Es.
Det i punti critici delle funzioni
-
f(x,y) = 2xy + x2 - 2y
∇f(x,y) = (0,0)
∇f(x,y) = (2xy + 2x, x2 - 2)
-
2x(y+1) = 0
-
x2 - 2 = 0 ➔ x = ±√2
x = 0, N.A.
y = -1
⇒ (±√2, -1)
-
-
f(x,y) = loge(1 + x2 + 4y)
∇f(x,y) = (
2x / (1 + x2 + 4y)
2y / (1 + x2 + 4y)
)
-
2x = 0
-
2y = 0
(0,0) ➔
perchè f(Cs) > 0
-
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