Esercizi e prove d'esame di Analisi matematica 2

ESERCITAZIONE 0

_f: ℝℤ → ℝℤ →

se _∃ lim_h→0

^{δg(x+h) - δg(x)}/_h

⁼ _g'(x)

es. 1

δg(x) = ^λx/_{x² + λ²}, λ ≠ 0

^g'(x):

^{(x2 + λ2) · λx - (2x) · λx2}/_{(x² + λ²)²} =

^{λx2 + λ3 - 2λx3}/_{(x² + λ²)²}

= ^{λ3 - λx2}/_{(x² + λ²)}

es. 2

δg(x) = e^arctan(λx), λ ≠ 0

^g'(x) =

e^arctan(λx) · ¹/_{1 + λ²x²} · λ =

e^arctan(λx) · ^λ/_1+λ²x²

_f: ℝ → ℝ , ∫_α^b δf(x) dx

es. 1

∫₁^√3 e^√xdx =

x = t² ⇒ dx = 2t dt

= ∫₁^√3 e^t · 2t dt = 2∫₁^√3 t e^t dt =

2 [t e^t] ₁^√3 - 2∫₁^√3 e^t dt =

= 2 [ e^√3 √3 e^√3 + e¹ ] =

= 2 e e^√3 (√3 - 1)

es. 2

∫_π^5π (cos⁶x + cos²x sin²x) dx =

= ∫_π^5π cos⁶x (cos²x + sin²x) dx =

= ∫_π^5π cos⁴x dx = ∫_π^5π (1 + cos(2x)) / 2 dx =

= 1 / 2 x |_π^5π + 1 / 2 ∫_π^5π cos(2x) |_π^5π

= 2π + 1 / 4 [sin 2x] |_π^5π = 0

= 2π

es. 3

∫₀^π (sin²x + 16 sin³x cos²x) dx =

= ∫₀^π sin²x (1 + 16 cos²x) dx =

= ∫₀^π sin x (1 - cos²x) (1 + 16 cos²x) dx =

h(t) = (1-t²)(1+16t²), g(t) = cos t, g'(t) = -sin t

= ∫₀^π-g(t)∫_g(t) h(t) dt + ∫_-1¹ (1-t²)(1 + 16t²) dt =

= ∫_-1¹ x - t² + 16t² - t 16t⁴)

= [t + 5t ³ - t 16t⁵/5] ]¹_-1 + x +5 - 16/5 + x + 5 - 16/5

= π 2 - 32/5 = 2^π/5

es. 5

F = { x ∈ R : (3 + cos(2π))^x2-4 / x⁴+10 ≤ 1 } , x ≠ -10

- 1 ≤ cos(2π) ≤ 1 ⟹ 3 ≤ 3 + cos(2π) ≤ 4

=> Prendiamo il caso limite in cui: 3 + cos(2π) = 4

⟹ x²-4 / x⁴+10 ≤ x ⟹ x²+10 ≤ x⁴

⟹ x²-4 / x + 10 ≤ 0

N: x²-4 ≤ 0 ⟹ -2 ≤ x ≤ 2

=> (-∞, -10) ∨ [-2, 2]

D: x + 10 < 0 ⟹ x ≠ -10

es. 6 Determinare le soluzioni dei sistemi:

(1) { 2x (log(1 + x) + y²) = 0 ⟹ y = -1

{ x² ( x / y + 1 + 2y) = 0 ⟹ y = -1

=> { x² ≠ 0 => x ≠ 0 => (0, y), y ∈ R

{ x / y + 1 + 2y = 0

{ (1 + x² + 2y) / y + 1 = 0

=> X soluzione è (0, y), y ∈ R

ESERCITAZIONE 2

CURVE:

γ : [a,b] → ℝⁿ

ε ⟶ (x₁(t), ..., x_n(t))

• chiusa se γ(a) = γ(b)
• semplice se iniettiva a meno degli estremi a,b
• regolare se

• γ ∈ C¹(a,b) ⟹ ∂(t) = (x₁'(t), ..., x_n'(t)) continua
• γ'(t) ≠ (0,...,0) ∀t ∈ (a,b)

es. 2 Trovare γ che parametrizza il segmento :

Assum: A = (1,2,3) e B = (4,-5,6)

γ(t) = A + t(B - A), t ∈ (0,1)

SEGMENTO

=> γ(t) = (-1 + 5t, 2 + t, 3 + 2t), t ∈ (0,1)

1. γ è chiusa? => γ(0) ≠ γ(1) => No!
2. γ è semplice? => Checkiamo l'iniettività

L) y + z = k + 4 → x - y² - z² = -4

→ -x + y² + z² = 4x = 1

→ iperboloide a una falda

C) x² + 4z² = rz → xe + (2z)² = z

→ cilindro con asse z = z costruito per

traslazioni di una circonferenza

d) (z-1)² = (x-2)² + (y-3)² + z

→ (x-2)² + (y-3)² - (z-1)² = -z

→ (x-2)² + (y-3)² + /(z-1)² = -1

→ iperboloide a due falde, con centro

in (2,3,1)

e) { x² + y² = 1 → cilindro: raggio uno, con asse ⊥ z

z = x+y = x+y = z = 0 → piano passante per 0

è di alta idrazione (1,1,-1)

→ L’interazione forma un eMisse con centro in (0,0,0)

f) { x² + 2y + z² = 6 → x² + y² + z² = ?

y = x → rette ⊥ asse y

→ L’intersezione forma: x² + z² = 1 + 1

→ x² + z² = 2 = 3

c)

\(\begin{cases} yz + x = 1 \\ x^2 = x \\ z = t \end{cases} \rightarrow \gamma(t) = \begin{cases} ty + x = 1 \\ tx - x^2 = x \rightarrow x = \frac{x}{t - 1} \\ z = t \end{cases}\)

\(\rightarrow y = \frac{1}{t} - \frac{x}{t} = \frac{t - x}{t^2 - t}\)

\(\Rightarrow \text{dom} \, \gamma = \begin{cases} t \neq 1 \\ t(t^2 - 1) \neq 0 \rightarrow t \neq 0 \wedge t \neq 1 \end{cases}\)

\(\Rightarrow \text{dom} \, \gamma = t \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\}\)

\(\Rightarrow \gamma(t) = \left(\frac{x}{t + 1}, \frac{t - x}{t^2 - t}, t \right), \, t \in \mathbb{R} \setminus \{0, 1\} \)

• chiusa? No!
• semplice? Come prima si guardano le coordinate z \(\Rightarrow \underline{\text{Sì!}}\)
• regolare? \(\gamma'(t) = \left(\frac{1}{(t-1)^2}, \frac{t^2 - t - (t - x)(2t - 1)}{(t^2 - t)^2}, t \right)\)

\(\rightarrow \forall t: \gamma'(t) \neq 0 \quad \text{e} \quad \gamma'(t) \, \text{continua nel dom} \, (\gamma)\)

\(\rightarrow \underline{\text{Sì!}}\)

P₂, P₃ => H(P₂) - H(P₃) = ( 0 0 - 4 0 0 / a² )

= det H(P₂) - det H(P₃) - 16 = / a² ( >0 se a² < 0 ==> minimo 0 di a² = 0 ==> SELLA

Quindi:

• a > 0 => 1 sella e 2 minimi
• a < 0 => 1 sella e 2 massimi

=> ∀ a, g ha almeno un punto di sella

1.

g(x,y) = xy² + ⁴/₈ y³ + ⁷/₂ x² - 1

Valutare: punti stazionari 1: g

{ ∂g/∂x (x,y) = y² + x = 0 => x = -y² ∂g/∂y (x,y) = 2xy + 4y² + 7y = -y²3 + 4y₂x + 9y= 0 y₂ = 0

=> y² - 2y - 3 = 0 ⟶ y₂ = ? => y₂ = -1

=> x - -y² = { x : x, 0 } ( x = -9 , z = -9 ) ( x : -1 )

P₁ = (-8, 9, 7) P₂ = (-1, -1)