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INTEGRALI
MODULO 2
NOTAZIONI
∫f(x)dx = INSIEME DI TUTTE LE PRIMITIVE DI f(x)
(INTEGRALE INDEFINITO)
INTEGRALI INDEFINITI IMMEDIATI
∫xαdx = 1/(α+1) x1+α + c
∫1/xdx = log|x| + c
∫ekdx = ex + c
∫sen xdx = -cosx + c
∫cos xdx = senx + c
∫1/√1-x2 dx = arcsen x + c
∫1/1+x2 dx = arctan x + c
∫1/cos2xdx = tanx + c
INTEGRALI INDEFINITI GENERALIZZATI
∫(φ(x))αφ'(x) dx = 1/(α+1) φ(x)d+1 + c
∫1/φ(x) φ'(x) dx = log|(φ(x))| + c
∫eφ(x) φ'(x) dx = eφ(x) + c
∫ sen(φ(x)) φ'(x) dx = - cos(φ(x)) + c
∫ cos(φ(x)) φ'(x) dx = sen(φ(x)) + c
∫ Ⅱ 1 ∕ √(1 - φ(x))2 φ'(x) dx = arcosen(φ(x)) + c
∫ Ⅱ 1 ∕ (1 + φ(x))2 φ'(x) dx = arctan(φ(x)) + c
∫ 1 ∕ (cos¹(φ(x))) φ'(x) dx = (tau) tan(φ(x)) + c
INTEGRAZIONE PER DECOMPOSIZIONE
→ ∫ [(c1 f(x)) + (c2 g(x))] dx =
= c1 ∫ f(x) + c2 ∫ g(x)
MOLTIPLICO E DIVIDO
INTEGRAZIONE PER PARTI
→ ∫ (f(x) g'(x) dx) = f(x) g(x) - ∫ (f'(x) g(x)) dx
FATTORE DIFFERENZALE FATTORE FINITO
(IL FATTORE DIFFERENZIALE PUÒ ESSERE 1) (SI PUÒ APPLICARE PIÙ VOLTE)
• SITUAZIONE CIRCOLARE → ∫ ex cos(x) dx = ex sen(x) + ex cos(x) - ∫ ex cos(x) dx
1o membro
2 ∫ ex cos(x) dx = ex (sen(x) + cos(x)) + C
∕ 2
Integrali per razionalizzazione
=() è una funzione razionale fratta
- ∫() → =
- ∫(ln)·1/ → ln=
- ∫() → 2(/2)/1+2(/2) → (/2)=
- ∫() → 1−2(/2)/1+2(/2) → (/2)=
- ∫() → 2(/2)/1−2(/2)
Integrali definiti per parti
∫()'=[()()]−∫'()()
Integrali definiti per sostituzione
∫()=∫'''(())'()
Dove ' = -1() ' = -1()
Funzioni integrabili elementarmente
∫() combinazione finita di somma, prodotto, quoziente di funzioni elementari
Funzioni non integrabili elementarmente
Particolare tipo di funzioni la cui integrazione non è esprimibile attraverso nessuna combinazione di funzioni elementari
f(x) infinita di ordine infinitamente grande per x → x0 ⟷
limx→x0 f(x)/hα(x) = ∞
∀α > 0
Calcolo dell'ordine di infinito ➔ Sia: limx→x+ f(x) = ∞ bisogna
trovare un α ∈ R tale che: limx→x+ f(x)/hα(x) = l con 0 < l < ∞
Strumenti ➔ regola dell'Hospital
➔ limiti notevoli
Integrali impropri
Integrali impropri ➔ estensione del concetto di integrale definito
[a,b) (a,b] ➔ intervallo illimitato
f(x) illimitata
• combinazione dei due casi
f(x) infinita di ordine ≥ 1 per x → a
⇒ ∫[a,∞[g(x)dx = +∞
Altri casi - situazioni miste
g: [a, +∞[→ ℝ continua e positiva se:
- f(x) infinita di ordine 0 ≤ α ≤ 1 per x → a e g(x) infinitesima di ordine α > 1 per x → +∞ ⇒ ∫[a,∞] f(x) dx < +∞
- f(x) infinita di ordine α > 1 per x → a e g(x) infinitesima di ordine 0 ≤ α ≤ 1 per x → +∞ ⇒ ∫[a,∞] f(x) dx = +∞
Assoluta integrabilità
f: [a, +∞[→ ℝ continua f(x) si dice assolutamente integrabile in [a, +∞[ se risulta che:
∫[a,∞] |f(x)| dx < ∞
Teorema sull'assoluta integrabilità
f: [a, ∞[→ continua allora:
f(x) assolutamente integrabile cioè:
∫[a,∞] |f(x)| dx < ∞ ⇒ ∫[a,∞] f(x) dx < ∞
Analoga implicazione per gli altri intervalli (non è valida l'implicazione inversa ovvero che se è integrabile la funzione è integrabile anche il suo valore assoluto)
Successioni
Successione → f: ℕ → ℝ viene detta successione se m ∈ ℕ il valore che f assume in m (f(m)) viene anche indicato con fm
∃ ∄ q = 1 - qm+1 ⇔ ∄(1-q) = 1 - qm+1
SUPPONGO
q ≠ 1 ⇒ ∄ = 1-qm+1/1-q ⇒ m Σ k=0 qk = 1-qm+1/1-q
L'UNICO FATTORE AD INFLUENZARE IL LIMITE È qm+1
limm→∞ qm+1 { ∞ se q > 1, 1
- 0 se -1 < q < 1
- 7 se q = 1
- ∄ se q ≤ -1
1 PERCHÈ a1 ≥ 1 lim qx = ∞
2 PERCHÈ qm+1 = |q|m+1 = 0 (0 < a < 1, limx→∞ qx = 0)
3 PERCHÈ q = -1 ⇒ (-1)m+1 = ∄
4 PERCHÈ q ≤ -1 ⇒ (-2)m+1 =PERTANTO :
lim m Σ qk = lim m → ∞ 1-qm+1/1-q
m → ∞ = 1-∞/1-q = -∞ se q ≥ 1
1-q < 0
CONCLUSIONE : m Σ qm =
- 1/1-q se -1 < q < 1
- ∄ se q ≤ -1 (INDETERMINATO)
Somiglianza tra integrale improprio e serie numerica →
La serie numerica in realtà è un integrale improprio
Considero :
∞ Σm=1 am = ∫a∞ f(x) dx
dove f(x) = {
- a1 se [1,2[
- a2 se [2,3[
- a3 se [3,4[
- ...
PASSANDO AL LIMITE SI OTTIENE:
m ∑ k=1 1/kα ≤ 1 + ∫ ∞1 1/xα dx < +∞
SUPPONIAMO INVECE CHE 0 < α ≤ 1 DOBBIAMO DIMOSTRARE CHE
lim ∑ 1/kα = +∞
f(x) = x−α
0 < α ≤ 1 = +∞
CRITERIO DELL'INFINITESIMO PER LA SERIE
SIA ∑ ∞m=1
lim am = 0 (CONDIZIONE NECESSARIA PER LA CONVERGENZA)
- Se la successione (am) è 1/kα = 0
- Se la successione (am) non è 1/k3
SERIE A TERMINI NON POSITIVI
SERIE ALTERNANTI (O A TERMINI DI SEGNO ALTERNI)
∑ ∞m=1 (-1)m-1 bm CON bm ≥ 0
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