Analisi matematica 2

V

sservazione av

+

: : = = .

Ex ?

Iver' If

fu particolare If

In il v

X0

c Xa4o 4o

Ca

con 0

lez

= : =

= =

. , . S

= 4 2

differenziabile

erificare continua

fxy derivable

è

sercizio e in

se ,

01

0

y

x

. =

& . funzion

funzione detivabile

342 continue

d

quoziente

la è

po

X 4 e

e

. accade

ediamo

2 :

cosa 0

0

in . Foo

No

continua ?

e

· 4)

: --10

S 01

X continua

perché , . O 10,or

in

. ?

denivable dezivabile

Si

è

· e

,

E00 fio

= =

Folfoo

fu dezivabile

= è

00 h

Usiamo

?

differenziabile "Imitone"

è il & 20-0-34

M o

-foo-E00X-fuldo/y Se

#4-3xy

nero =

= o

x2

x2 y2

yz +

+

Im

nero =

a dipende da A

coordinate le è differenziabile

senacosa-sena

polazi costo è go

non

~ in

REpo

Quind continua

continua 3 mentre

differenziabile dezivabile

derivabile solo

e è

e do e

in

in

,

differenziabilità

delle

Conseguenze Differenziabile

Proposizione Continua X-to-fuxalo

-fixay

ol-Ea

4-40 tende

numeratore

volo ecessariamente

Dimostrazione il

Im o o

a

=

2 2

(x (x0 40)

4) -) y Ye

X

-

, +

xo

- -

particolare F

Fx 4)

traor 40

+o

~ = .

. Serivabile

Differenziabile

Proposizione da Fiath dolo ne

Simostrazione foto fa

0

Volo

Yo - Xoko

.

. = =

h Imitone keu

con

Fxayokl-fxoto fu

stesso

Allo Nu

mode %e

to

: = .

K

Differenziabilita Mirama Fixy-fixomo-ax-o-b1

fe differenziabile abeki

10 0

se

yo

in =

, x y0)

(y

+

X - -

differenziabile

fe =toto

a=

derivabile

Se noltre toto

e ed ,

direzionale

Jerivata Viv

ver"

Sia c'

vit

Ver 1 versore

un

: =

= -

Fortinottie

In =.

di fin data

derivata direzionale toto

da

è &

toto

a : f derivate

considero le

Se ottengo pazziali

ve/10 classiche

Vela)

sservazione =

C :

= .

Torto Etto

Exottico -f

= Voto %o

: .

%e

f -

& 40 f

Of fX 3x" (2

Calcolare 2 2

X04o

lo 4 by

Esercizio v

-

Xo con =

:

=

. . .

.

Furstifare ter-lists

af u - -

2 V resettore

- f 2

:l'

el Ineari

delle

altro heazese

applicazioni

?

modo In

è

c'è 2

artBw +B

caso

on v

un : =

Proposizione determinata

univocamente

lineare dai

Ogni base

applicazione valori

è su :

suoi una

ck (v ! Gk 41b

!

V 41

& +

+ +

C =

= =

.

Proposizione differenziabile formula

Se f dezivate la

direzionali vale

ammette tutte le

e Xo Yo :

in , = of

f

& V Xo

%o

40 %o +

0

. . 24

Fx Fa Fy

Ex

3x2 -

5

2 12

by 2

4

Esempio %

= =

= -

-

= - =

. -

1 ..

of ) 22 22 22

2. - =

= -

av

Dimostrazione Applichiamo cont oi

hetri

incrementi

livitore

il ketra

con

Fortu Fx0

nottra

&F =Ne 40

-

40

X0 . =

. f +

+ v

+ V 2

v)

(+

4 ( +

k

+ + =

= = takek

x4o-Ekatotv tu fu

fu

-

roturotr +040(

+40 5 x

e fu

= + v

- x040 V

- 40

+ 40

+ = .

f

Gradiente

= ? dato punto

derivate fx

di

dalle

vettore pazziali nel

un :

40

40

y

in .

.

If Grad

"abla" E

EXo

- := Tolo

%

50 %0 :

. .

gradiente punto

di

direzione "cambiamento"

la f

della

I funzione nel

e variazione

massimo 40

no .

p

2

differenziabile

f

Se è

sservazione : c

Et Ex fu Fixolo

fo

fy (Viv

40/v voye .

40

%o +

40

50 Xolo

V X0 .

=

= =

. .

. ,

. Somma

1 max ·

otiamo Exolo Fixor4a

FixooV

che V

: =

-

totale

differenziale

del

estema punto

fy

fa

ammette parziali

derivate

che fix

Supp nel

y Xo %o

. . .

continue F

fa differenziabile

Se fy è 4e

sono Xo

40 40

in in ,

.

fe continue

fifa.

Definizione fu

l'in Xor4o sono

se differenziabile

il teorema

Quindi dice di

che

funzioni differenziabili C'

sservazione - non

ma di

Richiamiamo il "Teorema agrange"

Dimostrazione :

continua b-a

ab

detivabile gb-gial

ab

ab oj

-CE

sia :

n

g e c

n =

il

Scriviamo limitone : - fx

fxoth - fx

fx0

%oh-fy f(xo x4h fyyk

h

Xoth

Ex h 40

% 40

xolo

York 50 +

+

40

Yotk +

X0 - -

-

- -

1

-

. ,

= .

. . ,

,

tramite

Osserviamo che agrange :

- FXoth

xoth 4

Nothin

of york

York %o

40

Yotk can

yo

-

=

- .

. 24

solo

Varia y G

Exoth Yol

40 -fXo E

toth oth

to con to

40

=

, , .

solo

Vazia x

Sostituiamo limitone

nel : fx

En fu

Ex 40h

h

.

Im Xoth K x040k

+ 40 x0 -

-

, . =

h (0 01

k) = h2 k2

,

, +

h Fu

E k

Fu

yo-Ex

Ulterior dispo oth . 0

E 40 %o

to

xo nik =

-

. .

. -

fx futC

C h 10 k - 0

- ↑

&

limitato

&

Jerivate successive

seconde

derivate cioe

sono :

i,

e

= = = =

:= =

Gi

& of

:= Eu E

= .

y 24

di Schwarz

emma fifa, fuy continue

fay fax

funzione

f classe fu

di faxi

(2 cioe

Sia una sono

, , ,

le derivate af

miste =E

commutano

parziali ovvero :

, tre derivate

derivate fa

dimensione funta

che seconde

fx ammette 9

sservazione e

avremo

3 z prime

n 4

. ,

m

F 41-f(x

-I)--10 t yots-fxott +

40 5 40

+ + 40

+

= -H-11 61t1-6/s

,

. Ist

.

, -

=

6) fxott f(x

f(x0 f(x

Glo Yets) s) + +

Yo + 40 40

+

-

- -

= . , -

.

Fottiyots FixaYol-talkort

-f yorsl-telo 7

TS

Xottido of fay

F 5

+

Hots 40

+

to 40 +

+

=

/ ,

.

,

tot Xoff Yots

con Yets

40

to

f(xo XoF

sfy(o

f fy

+ St

S) t

+. f(x0 fyx

f(xo 5 5

Yo

5

yo +

+s

4 40

40 S

X0 +

+ 40 40

-

+ +

Xo +

+

-

-

+ =

= .

. .

. - .

Tot 5

ott Yets

+

con 40

to 40

F

stay

Quindi St XotF

fux Yous

Yet5

to

: + = .

.

& fay fue

di

limite dalla

il continuità fuy

otteniamo

endiamo fue

sito foto

per e yo

tor

e : =

all'ordine

di

ormula aylor 2 10 "((t

di ob

M-R classe d -H

Consideriamo- Vale +

chei 2

-o - +

+

: - +

=

,

formula

questa

diventa variabil

Come ?

due

in data

formula differenziabilità

all'ordine dalla

di aybe è :

uno

a

f(x fy

fx

f(x0 yo)

yo((x x(

0(x

xo( + (y

+

40y 40

+ +

x0

40 +0

y -

-

-

= -

, -

, .

due

nfatti atteniamo

l'ordine

per : fyx(0

fx fy(x0

f(x0 fxx (y(x0

fx(x

y) 40(X

x

40)(X 40/(x

yo) x)(y

x) 40(y + 2 ye) =

+ 2

40 40

+ xo + +

-

-

= - - -

, -

-

, - - ,

resto Peano

fuyx0 -yo Xo) di

y0)

(y

40) 0 (x

40)y +

=

4 +

+

- -

-

, h 40 +

+

Xo k

,

-

Simostrazione seguente

Consideriamo funzione

la : totth Th

Yo

,

York

F

-T th +

: + o 1 40

Xo

: .

. funzioni e'

di

Risulta flo

-ed' perché

che +p

e per

composizione

Quindi ordine

formula di

la di Taylor per

possiamo :

scrivere a

"lo +

Fo otz

+

-St -1 -

1

+ +

+

= 2

Jobbiamo -"loi

-0

calcolare lo

solo ,

,

f

-10 40 40 Di

= .

it 14 -10

E fy +kk

+kb +h

+h Ex

tk

otth h fy 40k

+

- Xo

Xo +

40,4

+

+ 40

+ +

+ yo

yo ye

=

= =

, .

, -

doppia da +

dipendenza

h

Y

ok

+

d

d+ +

2 10.0

-"( + 0h

f

fxx xy(xay0hk hik

fu

yolk 40k k

0

2 +

+ con

+ +

=

= o .

.

"vettoriale"

aylor Gradiente

F fu

=le torto

X0 40

40 40 ,

, ,

S Fu

= lessiano

Tolo ataice

%o e

40

. fut simmetrica

Sefeca e

%0 40

. di

gradiente

il Hessiana

Con "compatta

la

e Taylor

formula

possiamo versione

scrivere in :

Dif

- +olitk

+

F hik nik

/hk)

+

xoth + :

Yotk xato

40 40

Xa4o

= .

, . . 2

stremi locali locale perfx4 fixoryo EBS

Fixy

8

40

Xo e o

se :

minimo X

-

un 4 yo

xor

, .

Fx -FixaYo

locale EBS

fixy

e so

per se Yo

Xo

massimo

un 4

X

-

*. Yo : 4 .

. .

Condizioni del ordine

necessarie

- di -ermat

corema

Sia f demivabile . estremo fu

fa

locale

Supponiamo che + 40

Xo

o

un 40

to

sia + avvero

40

volo max.omin e

= .

. ,

fi

Un E

Definizione critico

punto dove di

dice punto

frayo

Xorto si

zo

-

punti estremo

In di

generale unici

sono

i

Dimostrazione consid