Analisi matematica 2

0910312020

Topologia

PI Pollo ?

in )

indico Ho EIR

Yo Io )

• punto Yo

come oppure

un

, ,

,

↳ " Pollo ) ( )

IR Xe

analogamente punti ton

indicai

di Xon

Xor

i oppure

sono con e .

, .

. ,

. .

.

, ,

-

Vcxo )

(

la PI )

17

Pollo No

distanza ' ? )

( )

tra Papa dove

din

è Yn

• Xi

Yu

in

punti ti

yoi

= xn

due e

: -

- ,

,

↳ -

V

"

in 113 la t.o.tt

'

Pat

distanza definisce dissipa Ho Yd

si : = -

, din-lpqpel-VI.nl/s-Y-t

↳ ?

forma

in si può scrivere

composta { " }

( (E) EIR

Dr 11

) e)

dir

intervallo

Discorrer aperto <

e

• ; v >

r

: o

= ,

,

"

DÌ

chiuso {

( }

EIR

)

intervallo dritta e) Er

e >

Dislochi ) v

= o

;

• : ,

,

PROPRIETA-dlllaDISTANZA-IX-X.ie )

din X

(

• Xo

-

" + ( )

lol

SIR

1.1

1) IR lei

Io o ±

: =

e o

=

- R"_

IIII

2) Il

le K¥1

=

- e

, VAI

lett

letti III

E

3) lei txn

; t

e . .

.

in ha si

in chiuse

sfere

si tratta

→ aperte

si

disco

2 n =3

a- o

un ,

→ osservazione per . lei XD

. e ,

I

)

Dritto d

A

X2 a

arte "

i

:

.DE#iZONEdNSEMEAPERTO

" 7

Un è tutto

AEIR

insieme )

le

Dr

k disco aperto contenuto

aperto EA

detto in A

eo un

se

-

, i .

- ? lei ,

/ i

i \ ,

- .

IEFinnoneodACCUMULAZNE.IO

" intorno

è AEIR

di in

accumulazione te

di

ogni EA

cade punto e

un

punto #

quando e ± Io

per

" ha "

in IR

che

IR infiniti di

quindi punti

cadono

ogni intorno

si

per

⇐ :

.

DEFINIZIONE di insieme

• CHIUSO

eterne

tutti punti

i di accumulazione

suoi

eoDEFINIZIONEdif-RONTERASonoipuntieoc.IR

" di

intorno del

contiene di

punti

lo

tali che A complementare

ogni e

- -

-

punti ,

)

Dr ( ci

in che

Io di

punti A

sono

Oss ÌÌÈ

e

: i ,

stanno in

non A i ,

'

- -

.

1) di chiuso

esempio b-

insieme ! mi

n -2

-

2) esempio insieme

di O_0

aperto nei

0 1 ma

3) di che

esempio insieme noi

%

g-

un

nè divo

è né

aperto

non ma

DEFINIZIONE di

• LIMITE Y a

- lt E - i

-

-

-

- .

ftp.fcxi-l accumulazione

nel finito di

ne e

• io punto

caso e .

.

, oclx-xolc.de

1

074 Hai lfcxs.lk

significa ÌL

V' E

che E

> ladro È tde ×

Xo

lfciilcm

limitata 7

IR

che M

f UEIR è ttxeu

dico che

tale

→ Det → in o

u se >

: :

.

→ è ftp.gcxt-o

dico infinitesima

che

DEI : →

+

per se

xo

g

DX teorema

Itp Sia f limitata in

a) di

interno punto e

un un

2) infinitesima

ftp.gcxi-olg

sia )

- . f-

allora lim

E o

g-

-

⇐ Il

181=1

=]

figo sin 1

±

fuse ¥ fcxs in

sin uco)

esempio → ma

+2

gcx ) = III f- è

quindi figo ninfeo

g. funzioni più

DEFINIZIONE variabili

LIMITE

di per a

"

f

Sia figo

AEIR sia che

R fcxiel finito

Aica

di accumulazione

→ A.

punto

e ⇐ per :

: se

7

VE l

del de

70 ll E

lfcx

I dirti

# <

o re c

±

a )

> o -

,

→ nelcason-a-h.sn significa

finito

fc che

=L :

"

,

(

( → × »

)

x. y .

fcxie .

)

E-

a

# VK.xoh-iocdeaebralfcxs.LI

1

LE

7 E

Ho

TE <

)

» 04

Yo so se

. ,

'

E -

< - , • y

i )

1×0,40

Da X (

teorema )

che si

teoremi estendere da nzz

a

1

possono A-

teorema

• "

Ha siamo R

AEIR sia

1) f accumulazione

→ di

punto

e a

:

g

. , che limiti

2) finiti

Supponiamo esistano seguenti

i

figo fcxk Le la

fifa geme

e

ftp.lft.gl La

Ts ha La

a) ±

si che

Allora =

:

. b) figo Li La

f. g = .

feti ¥

c) § la #

se o

=

simili

Di al

sono nei

: caso

DEFINIZIONEdi-TNTAS.io

• " funzione

IN

AEIR

f

Io di accumulazione mia

A

C- un e

punto : una

- .

Dico fcxs

fingo feed

f continuo

che è in eo se =

↳ COCA

(

dico è

è ) spazio continue

f continuata

che funzioni

continuo in CCA

EA di

)

A →

se ,

chi

E Z

Un Mio

è EM

→ che

tale

insieme tt

LIMITATO E

se lei a c-

tteoREEERSTRASSHp.DS.io "

E insieme chiuso in IR

limitato

un e

"

EEIR -7M continua E

2) Sia f su

:

I f massimo

Allora minimo assoluti e

assume e se

. 7 fc

che flat

Questo fa

significa

→ V'

che

E quindi

) E

tali E E

)

#

e C-

# c- :

±

,

,

fca

fcxi E

amene ) e c-

me

• = ,

fcxiefc

M

• i e

= [ ⇐

# e

x

⇐ ,

CALCOLO dei

• PER

LIMITI NZZ strategie

→ esistono

nel nel

nzz =L

caso semplici caso

non ?

come y funzione

[ ↳

↳ tra ← µ

avvicinare

ci direzioni

si solo in

Xo

può

se retta

a

n

se > %

due µ

µ

XO "

• infinite

ci Hanoi

si traiettorie

avvicinare

può

non parabola

seguendo

se a →

quindi traiettorie

avvicinandoci diverse

CXO si

)

40 •

i

seguendo

a ×

Xo

, esempio

diversi

limiti ad

trovare

possono lim lim

fumi ¥ fumi

Xo xo

× → parabola

Yo

retta y

yo →

y →

→ ip

è del

il limite

molto

metodo calcolo

utile

un per

{ !

fan

? oeea .

.

fritta ¥

tgo

; =

Supponiamo fcxie

bin in coordinate ha

polari

calcolare

di si

) passando

LXO )

Yo

4)

IX. → , è

quindi limite

sino

coso il

Yo

Y quindi

→

X 0

-70

× Yo -70 xo

Xo =p g

per

=p

y -

- - -

,

, ) 610

fino

fltotfcosoilotfsino )

I

¥7 =L

8 - µ

in

" -

, ,

µ

Illimitcnmseùvabedilnondipended

in 0=04

formaggio )

in

coordinate )

si piano

nel

polari

assegnazione : curva

assegna oppure

una

limite ftxotfcosoieotgsino

figo

il

IIiffjfomffffj.am doniamo

) =L

yo -

1 -

× i-ffgfcosjsino-efi.gg?cos3Osino=o

III

②

Esempio

→ =

»,

« 0=04

ora quindi ha

si il

) esiste

ricordarmi che perché

che limite

però devo

?

figo aItro cioè

il

=L è

limite rispetto «

uniforme

g → 0 o

a

t traiettoria )

0=04

I a

limitata

infinitesima

②

Esempio

→ fcosopsino-i-fi.IO/cos0cprin0cp 7

)

III. fifo il dipende

limite

→ dalla

non

=

⇐ ,

o quindi

µ traiettoria 0=09

)

esiste

non

( fatto

③

Esempio )

intuitivo

→ contro

Dimostrare limite

bin lungo

limite il

il esiste vola

che E- o ogni

ma

non

« Mhcao

' origine

che l'

retta per

pone

che è far il

che

limite sufficiente

dimostrare il limite

esiste è

• diverso

per vedere

non

avviciniamo traiettorie

ci diverse

lungo

10,0 ) due

a

re

a) lungo metti

le y MX

rette = ,

t.fi II.

→ ritiene

se %

o

⇐ "

è

»

»

.

simile E-

→ o

se y →

o

= }

merito

→ generale

caso '

bin

è

lim +3M

bin

)

cmx in

×

= =

= -

- -

- "

Hill Xlt

-70 ?

( [ ]

+4

→ ) mxiz ×

( X ma è ma

0,0 X

-710,0 t

( )

× y )

+ ,

Y mx

-

-

lim km tratta

limite

il lo

→ origine

è l'

m_

x. che

0 passa

= = per

Htm '

-70

× µ E limitata

infinitesima

b) ha

prendiamo x2 che

si

parabola

la

se :

y -

-

lim

x

bin il

I limite esiste

# o → non

= =

-7C

( )

0,0

)

( +4

(

) +42 44

→

Xii ) (

0,0 + 7=+2

4=+2

PARZIALI

DERIVATE

• '

'

Sia IR f

A IR

AEIR

sia funzione

→ una

di

aperto :

e

un .

Supponiamo finiti

che limiti

seguenti

i

esistano :

fcxothyygf-fcxo-dxfcko.to

him ) )

h (

-70 EA

Yo

Xo

,

fcxo

him FCXO

fcxo.to )

) Dy

Yotk ) yo

=

-

, ,

K so

- Dxf )

)

( nel

Allora Ho

f

derivata rispetto

Yo parziale

è di

detta Yo

Xo

: ×

e punto

a ,

, .

di

è )

) f rispetto

parziale (

Dyf nel Yo

Ho derivata

detta Xo

Yo punto

• y

a

, ,

diverse

in

parziali notazioni

derivate

le

osservazione per

: sono uso

¥ txf

Dxflxoiioi fx

f

, , ,

analogamente

e per y

AEN fy

è fx

f derivate

continua

Definizione A che

continue

: in diciamo

se : con ,

,

f c'

di classe

è )

CA

→ esempio ' ?

fcx -3Mt 5

X y

4) =

,

Dxflt 0

2 37

X

) t

y = -

,

Dyf )

LXM 3 Hoy

o X

= -

À f f

derivabile in in

continua

noi Xo

Xo

per ¥ f

f derivabile

è FALSO continua

2

n

per :

= 10/03/2020

→ ha

Nel teorema

il

si

caso seguente

mese :

f

TL Se f è

in

derivabile allora continuo in

è Xo

xo

. ,

lfcxi-fcx.sk/fcxiif.III-/lx-xol

Infatti

Dim . ftp./fkIfII-/=f'cxoi lfcxi-fcx.it

Poiché Xd

Ix

ha che →

' 0

finito

7 f ha e

si

ipotesi si

allora

)

uomo per Axa -

:

per

Cioè ftp.fcxi-fcxoi è

cioè in

continuo xo .

Nel valido

teorema è

A-

2 questo non

caso '

Sfere loft !

è quindi

della sfera il

è

sfera ' il

th è

lz Yo

Ho

dove

• raggio

Zoi )

v

IX.

spazio zo centro

nello Xoi r

da

rappresentata se

e

: una -

- , , Z

( xlt

ha 47 =P

E

( Yo Yo Zok si nell'

sfera R

origine

la

) centro raggio

e

0,0 con

o

, .

, ,

Se VK

è f- 42 si hanno

Eh

' xzty

scriviamo ?

±

Z SFERE

SEMI

→ due POLARI

calotte

× O

= con

-

Ie ?

è ?

ZIO E

ty v

,

Piani × Y

• i piani axtbytcz

in

spazio rappresentati equazioni lineari

nello toto

: da xihz :

sono Z

piano

il l' origine

D=

se ,µ§#

o

• passa per da

Tzie

ha

si

• il piano

× o

= il

ha z

si

y

• piano

- o

- y

ha

E- piano

il

° si il

o -

Rette

• le intersezioni

spazio si piani

scrivere

: tra

possono

nello

rette come

È:

{

es : one × .

-

TI costruisco Dyflqo

dimostra f

implica continuità

Dxflqo

derivate la

che delle )

che

esempio l' esistenza parziali di

)

un non

e

(

nel ) ut Ho

×

punto { se

o

o f è in

1) continuo caos

, non

Si

Esempio funzione dimostrare

flx che

consideri la 4)

→ derivabile in

e 0,01

è

e- a)

o g

y

x.

se

, =

3

Z

A tz

È

2- =3 e- tre

o

se n

: iii. . .

fumi è com' tinta due

da rate

semisfera

era

Ye da

e una * ×

1) %ff.ae

CONTINUITÀ fcxihef

continuo deve

: essere )

per essere ' 90

,

fcxi-fizaa.fr/iT--fIE

effige quindicenne

fcqoi

ha che

fco

definizione si

=3 i # =3

a) e

per

• =

, »,

2) DENVABILITÀ Dxfco figo floth.gf-f-f.fm 3-ndi-f.iq f- o

ok

: =

,

Dyf ftp.flqotkt?=fffg3-#--ffIoz--

Lemanonècontinual

quindi f è

90K

' →

o

Derivate successive

2

Sia Supponiamo

f AEIR IR tutti

che A

i punti di

f

→ A derivabile in

sia

aperto

: .

, . '

funzioni fylx

fxlxih

considerare AEIR IR fxefy

derivate

definire

Allora parziali

le possiamo

fy le di

fx

possiamo →

)

due e y e

:

, .

,

Dxfx Dxfy lederivaùesecondediunafnnzioneindnevarialilioono

Dyfy

Dyfx

Otteniamo quindi a-

: , ,

,

queste si in

scrivere compito ;)

modo §

possono : µ

; ¥ ) -1

( )

FI

gx , = ,

-

MATRICE HESSIANA

Se D'

fcxie è in

f derivabile

esistono

le parziali diremo

in che

) volte )

derivate Yo

cxo

(

) Yo due

Xo

4 .

, ,

Se ttlxo

D' derivabile

f

diremo è

flxie che

) esistono YOIEA volte in A.

due

, 43 fy '

consideriamo '

fcxie fx

)

funzione le

Osservazione la calcoliamo

: 3×4

derivate i

seconde =

xy : =

, e

= ) Di

Dxfx

i o

=

Dyfx Dyfy 6×7

=

312

in

Osserviamo Dxfy

che Dyfx

ha

si

questo caso = = .

Questo applicazioni

fatto nelle è

molto in Non

avviene generale sempre vero

ma .

Infatti Dxfylqos

laborioso che Dyfx

in cui

costruire

può si

si 10,9

' dimostra

esempio semplice #

un

un ma po

Esempio {

X3

fcx è

6,07 funzione

lxih #

)

: volte

questa

se due

y =

, A si

derivabile ha

- e : §%

cnn.io , I

?

se o

• , quindi dyfxco.at#Dxfiao

'

→ )

(

di

TEOREMA SCHWARZ derivate

teorema uguali

che

che mine

garantisce due

le sono

ftp.9efxie ) fyx continue in

(

fy 40,401

fxy

esistono del

in Yo

interno Xo

punto e se sono

e e

un

× ,

, ,

fyxlxo.to )

)

fxy 40,10

TI Allora = .

.

In C'

f cioè fyx

ha

particolare f

CA derivate uguali

) derivate

le che continue miste fxy

se allora

c- le

seconde sono

se sono ,

→ caso funzioni più

in

di variabili

di due

" IR

EIR

f. A →

Per prima dobbiamo

le derivate rapporti

dei incrementali

limiti

i

considerare :

flnthi.az/...,Xn)-#...Xn

)

DIGLI figo

) = ha

;

I ftp..ci/JthJ,...Xnl-flXn,...,XnI-

D (f)

Xjf figIio h

5=1,2

= . .

.

HJ dx

f fa

f

Dxsf

le

e notazioni

useremo , ,

, .

,

Le derivate matrice

seconde sono nxn

una .

fx

Ad fy fz

fcxie derivate

si hanno prime

esempio =3 )

z

n

per o

: ,

,

, , II. I

fosti :)

• derivarono

fxz fyz fzz

Definizione TÀ

DIFFERENZIABILI

di

→DEfInne②

Sia AEIPI aperto lxo.ro ) EA

sia

e .

' ( 7

1) f cioè fylxoieo

Una fxcxo

funzione AEIR

f IR derivabile

differenziabile Yd

lxo

è Yo) )

si in

dice

→ e

:

: se , ,

relazione %ffgflxoth-K-f-ffkeovhzt.kz

2) vale la

2)

simbolo si

" può