Analisi matematica 2

RIASSUNTO

1) L'implicazione fondamentale tra la continuità e l'esistenza delle derivate è enunciata nel teorema di Yolano. In particolare, se una funzione è differenziabile in un punto, allora le sue derivate parziali sono continue in quel punto.

2) Dal teorema di Yolano segue anche l'inclusione stretta tra le classi di funzioni con derivate continue e le funzioni differenziabili. In altre parole, se una funzione è differenziabile, allora le sue derivate sono continue, ma non viceversa.

3) È chiaro che abbiamo l'inclusione stretta tra le funzioni differenziabili e le funzioni con derivate continue. Questo è dimostrato nel teorema di Cocati.

Dimostrazione:

1) Se una funzione ha derivate continue, allora per definizione è differenziabile.

2) Per dimostrare che una funzione è differenziabile, è sufficiente applicare il teorema della differenziabilità. Questo teorema afferma che se le derivate parziali di una funzione sono continue, allora la funzione è differenziabile.

3) Se una funzione è differenziabile, allora per il teorema di Taylor possiamo approssimarla con polinomi regolari. Nel caso delle funzioni con derivate continue, si può dimostrare che i polinomi di Taylor convergono a essa.

In conclusione, lo studio delle derivate e delle loro condizioni di massimi e minimi è fondamentale per comprendere il comportamento delle funzioni.

puntose 0xoe o =,"Quindi perchèdistinguonof # massimiiHot i minimi siose e :)" ' (¥fcxoif ) XOTAf fHoth le( XD XD exte Hox.per- -= - = ,Guardiamo (→ )della derivatail concavitàsecondasegno↳ %: !!'e" bisognaf )CX ose =termini ordineguardare i dipiùsuperiore èed complicatoTEOREMA• FORMULA di TAYLOR in VARIABILIDUE: ERINSia c'f.↳ fe CAIA siaeSia ) h KEIRHoth Yotk° lxo ) EAEAyo e ,,,,I. allora : :[ fxxlkqtdhtlfxylko.to/hktfyylXo,4oIkItolh2tk4fx Ydktf(fcxo Ydhtfy Xo(fcioth )Af KIYo lhXo)Yotk -70per- == ,, ,,,,è riducein laosservazionesempliceDimostrazione si al maquanto: con una caso, ,1) Fct f (Xotth )Consideriamo ) KEIRIR Yottkfunzione ) h( XotthYottk EAtela EA)hodove Yo e= ,, , , ,, ,fe c'C' CIRIche funzionifunzioneOsservo le yltkyottkCheCA ) Xotthla e×e ,2) Quindi FCHteorema funzione èil derivabiledella due voltecompostaper, .FltkflxlttAllora ) che ''

a-perché macaso : &{La7 ) 0( Yo EXo ,¥ lemma1) Fermatèpcxoieo ) dimin ilse Max pero# , fyko.to ) o=µ| 2) il AfdiD8 segno- ktfyylxq.INs.gg#fy:%ff-gcxoieoi--o.hto-kt%Efxxlxo,1dhIzgxdxoiedh| i; → , è quadraticaformadato dalla↳Homo)&× ?Ydhltzfxyoflh Ydhktfyy) ( Ho Ydk(fxx XoK to=, , , ,FIGII{?Khan ' tzbhktckqui formaè la quadraticacon, fyy=<tTUDlOdelSEGn0MFOADRAHEdefinizionediformaq-raial nafozmaquadro.in→ RIR ?funzione 'ah Zbhktckèof qb) ERqui Ktipo. condeluna t: cca =, ,forma può simmetricasi realerappresentarequadratica matrice• OSSERVAZIONE ogni: una ecome- :):X ::X:) ! :anni:) H1 :: I"* →)tbkh )( !tklbhtckah ? )qlhah tzbhktck K= = ,hÌAh=qlhquindi È" aishihs)Che .hnhaIR:B• Osservazione qq →- : =, . .,, .. indichiamo Achesimmetricarealerappresentasi motrice consideriamocome nxn euna e conÌn!¥ ! "?" !: eh !! ÷:: :::&:in

:a.an⇐ .clanifi cazionedelleformequaarati chef.io→ qchtehtah èforma simmetricarealeAquadratica matricedoveuna una e .Allora è9dico che :

1. Alta )DEFINITA >HA O#POSITIVA se oHa qcta )DEFINITA -70 coseNEGATIVA
2. ti(b)" IO ho9tth EIR a)allasemi tale che#DEFINITA POSITIVA One e o e-- ti(b) Io" hooftthNEGATIVA EIR a)allaSEMI tale che#DEFINITA One e o e--
3. te quellola "7 quelcheEIRINDEFINITA tali 20se e eCasoIIX 2A- ')qlh ?K ah bhozbhktck ,b CEIR+ a=, ,, ,chehaallora si :

1. KtzbhkSe qlh è perchè bquindi ad esempioq indefinitaoào e se⇐ >0 :,Zb1)( (1)K Zb(1)hq -1 >o= =--, ) ZbfChe Ken 1) (1) Zbco-1q = -=, bco( considerazionestessa per2) Supponiamo )( analogamenteato HoneAllora # scrivereaper posso :oha[ ' ]zbzhktfakKI9lb +a ==, )hhzb-ahktbfkhtfeak-E.kz/)=aIlhtb-akIt(ac-aY- )ri([a= { )[(Osservo ?b quindila associatache detta dettamatriceA q aca == -, ( n' detonaretbaKKqch a +,allora cheespressione

dedurre da possiamo questa:

1. 4(A) DEFINITA POSITIVA det 70 0

   • a) se 4(A) DEFINITA det 70 NEGATIVA
   • b) se Ì( tbak ?Khquadrati Dimostrazione quindi è9 la di esomma ( () )q h9=0 Io ⇐ K 0,0 ma =, ↳ ( ) Kolhopuò ko ) 0 Io qlhoche diacapitare #non =o, ,

2. ta ERRO} è9(A) INDEFINITA dei LOre Se hadetta differenza quindiquadrati) disi una<o sempretrovo :sempre ( )hqko ( )qlho )( tali che # ) ko » #e0,0 a o,( Kithe qlhi (che) Kelso )( tali ato0,0# e, ,

3. è(A) POSITIVAq DEFINITA semidctse o0 a)ee- è(A) DEFINITAq SEMI det aco NEGATIVA al 0 ee- kt-afhtbzkfto.KZsiDino ha ha forma qlhche 9 ,klzo Quindi qlha >ose , 7 ( Kolhohotbako ha Ma IoO qlho Kokoche che)# talisiper o= ,,,( )simile discorso acoper Esempio* ?htta) 3kqch qlh.klsov-lh.KIFO.atquadrati) di quindi K → somma--, Inoltre ( )) ( quindicheosserviamo qch h K 0,01K o- =, ,è DEFINITA POSITIVA

4. 'Neh ?qlh K cheancora :-, ?911,0 ) 1 70o= - ?910,11=0 Lo1-quindi è INDEFINITA

5. c) ?'

è3h) ?ok qlhoflh KI 3hperchè iK SEMI IoPOSITIVADEFINITA =+= perma,, anche10 9 )KI K¥0K( =3 0=0punti o se-, ,rossette- eSi il quadratica rettangolaridirettamente formadi i terminipuò vedere segno quando mancanounah InfattiK re :, . "'kit) Riki IR! :Bq trnkn( ka kn tra* 9OSSERVAZIONE importante →=,, ,... .. .→ è70 alloraJil DEFINITA POSITIVAse 1 n-] ,., ., . èRJ LO alloraJ→ DEFINITAh NEGATI