Analisi matematica 2 - Appunti

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Revisionato il 13/04/2026

di lorenzolosi94

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Appunti di Analisi Matematica 2 o anche denominata Complementi di analisi matematica per l’esame del professore Cataldo Grammatico corso di Ingegneria per l'Ambiente e il Territorio …

Esame Analisi matematica II

Facoltà Ingegneria

Dal corso del Prof. Grammatico Cataldo

Università Università degli Studi di Bologna

A.A. 2013-2014

112 pagine

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Appunto

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Estratto del documento

Analisi delle equazioni differenziali del primo ordine

Osservazione

Si definisce f continua in (t₀, y₀) se ∀ε>0, ∃ δ>0 tale che |f(t, y) - f(t₀, y₀)| ≤ ε per |(t, y) - (t₀, y₀)| ≤ δ.

Equazioni differenziali del primo ordine

Sia f:D→R continua in (t₀, y₀)∈D, sia D = (t₀-h, t₀+h) x (y₀-k, y₀+k).

Vogliamo risolvere il seguente problema di Cauchy (P.C.):

{ Y'(t) = f (t, Y(t))
{ Y(t₀) = y₀

Ci chiediamo quindi: se esistono almeno due funzioni definite in un intorno I di t₀ tali che abbiano derivata prima e valori al punto iniziale (t₀, y₀).

Teorema

Sia f:D→R continua in (t₀, y₀)∈D, sia D = (t₀-h, t₀+h) x (y₀-k, y₀+k). Se |f(t, y₁) - f(t, y₂)| ≤ L|y₁ - y₂|, ∀(t,y₁), (t, y₂)∈D allora ∃ un intorno I di t₀ tale che il P.C. ammette una e una sola soluzione.

Equazioni differenziali di primo ordine a variabili separabili

Sia y'(t, y) = a(t) b(y), sia a: I → R continua e sia b: S → R continua con I = [t₀-h, t₀+h] e S = [y₀-k, y₀+k].

Problema:

se il numero γ è soluzione di b(y) = 0, allora la funzione costante y(t) = γ è una soluzione dell'equazione differenziale y' = a(t) b(y(t))
se il numero γ è soluzione di b(y) ≠ 0, l'equazione differenziale a variabili separabili si può riscrivere nella forma, y'(t) / b(y) = a(t)

Quindi un'ipotetica soluzione y(t) soddisfa l'identità y'(t) / b(y(t)) = a(t). Sono dunque gli integrali:

∫ y'(t) / b(y(t)) dt = ∫ a(t) dt + c

ma effettuando il cambio di variabile al primo da y(t) a y:

∫ y'(t) / b(y(t)) dt = [∫ 1 / b(u) du] |_y₀ = ∫ a(t) dt + c

Sia quindi, scelto l'integrale, B(y) = ∫ (1 / b(u)) du puntato in S e A(t) = ∫ a(t) + c puntato in I, B(y) = A(t) + c.

Troveremo immediatamente y dall'ultima equazione tramite la funzione inversa di B; infatti B è sempre invertibile perché invertibilità = monotonia e sono sempre B'_i ≠ 0; y = B^-1(A(t)+c) troverà tutte le y = B^-1(A(t)+c) che sono soluzioni dell'equazione nel caso b(y) ≠ 0 in S al variare di c ∈ ℝ.

Teorema esistenza e unicità

Sia {y' = a(t)b(y) P.C. {y(t₀) = y₀ allora:

∃ un intervallo T ⊆ I e ∃ una funzione y ∈ C¹(I) soluzione del P.C.
se b ∈ C¹(S), allora tale soluzione è unica.

Esercizio

{y' = 1 {y(0) = 2

Dal P.C. discende che a(t) = 1 e b(y) + y > 0 ← b(y(t₀)) = 1/y₀; poiché y' = 1 → 1/y₀ t > 0, y₀ = 2 troviamo B(y) = ∫₄^y 1/y ₁ dυ = ∫ 1/u dυ = ∫1/y dυ = y²/2, A(t) = ∫a(τ)dτ = ∫1 dτ = t quindi By = At + c.

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